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    正交各向異性磁電彈性圓板的哈密頓體系方法

    2015-06-23 16:27:58王莉娜何文明
    關(guān)鍵詞:圓板哈密頓磁電

    王莉娜,何文明

    (溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,浙江溫州 325035)

    正交各向異性磁電彈性圓板的哈密頓體系方法

    王莉娜,何文明

    (溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,浙江溫州 325035)

    基于哈密頓體系求解方法,針對(duì)具有軸對(duì)稱性的正交各向異性磁電彈性圓板的彎曲問題進(jìn)行求解.解決問題的基本思路為:首先將該問題的基本方程導(dǎo)入哈密頓體系,得到哈密頓方程;然后研究哈密頓方程的零本征值對(duì)應(yīng)的本征解;最后得到原問題的解析解.與該問題的其它求解方法相比較,哈密頓體系方法具有明顯的優(yōu)越性.

    正交各向異性;哈密頓體系方法;本征解;磁電彈性圓板

    隨著各種各樣智能材料的不斷涌現(xiàn),人們對(duì)壓電材料和壓磁材料的研究更為深入,尤其是將壓電和壓磁材料有機(jī)結(jié)合起來的復(fù)合材料更是引起了廣大學(xué)者的極大關(guān)注.早在1972年,Van Suchtelen就指出,壓電和壓磁材料的結(jié)合會(huì)導(dǎo)致新的材料特性即磁電耦合效應(yīng)的出現(xiàn)[1],隨后,于1974年,Van Run和Van Den Boomgaar等學(xué)者對(duì)BaTiO3-CoFe2O4壓電、壓磁復(fù)合材料進(jìn)行了測(cè)定,得到該材料具有非凡磁電耦合效應(yīng)的結(jié)論[2].之后,這種具有獨(dú)特非凡的磁電耦合效的智能材料在工程中得到了廣泛應(yīng)用.在彈性力學(xué)中,求磁電彈性圓板的解析解是一個(gè)經(jīng)典問題.文獻(xiàn)[3]給出了橫觀各向同性層合圓板軸對(duì)稱彎曲問題的解析解,文獻(xiàn)[4]得到了彈性薄板混合邊界問題的解析解,文獻(xiàn)[5]用邊界積分法分析了薄圓板,文獻(xiàn)[6-8]也用不同方法求得解析解.就作者所知,目前尚未有文獻(xiàn)采用哈密頓體系方法對(duì)正交各向異性磁電彈性圓板的彎曲問題進(jìn)行解析求解.本文將采用文獻(xiàn)[9]提出的哈密頓體系方法,對(duì)正交各向異性磁電彈性圓板進(jìn)行解析求解.具體思路為:首先將該問題的基本方程導(dǎo)入哈密頓體系,通過分離變量得到哈密頓方程;然后將原問題轉(zhuǎn)變?yōu)楣茴D空間算子矩陣的本征問題,研究哈密頓方程的零本征值對(duì)應(yīng)的本征解,再對(duì)本征解的各階約當(dāng)型分析求解,這樣理性地推導(dǎo)下去;最后得到問題的解析解.哈密頓體系方法是一種普通、理性的方法,采用該方法求解具有明顯的優(yōu)越性.

    1 正交各向異性磁電彈性圓板彎曲問題的基本方程

    選取柱坐標(biāo)(r,θ,z),其中r表示圓板的徑向坐標(biāo),θ表示圓板的角度坐標(biāo),z表示圓板的對(duì)稱軸,坐標(biāo)原點(diǎn)在材料的對(duì)稱軸中點(diǎn)處.材料厚度設(shè)為2h,直徑設(shè)為2a.下面將給出正交各向異性磁電彈性圓板彎曲問題的基本方程.

    應(yīng)力平衡方程和電學(xué)、磁學(xué)方程為:

    磁電彈性圓板的本構(gòu)方程為:

    其中,cij為彈性剛度系數(shù),eij為壓電常數(shù),qij為壓磁常數(shù),βii為介電常數(shù),dii為磁電常數(shù),μii為磁性常數(shù);Ei, Hi分別為電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度;u, w為位移,Dr, Dz為電位移,Br, Bz為磁感應(yīng)強(qiáng)度;φ, φ分別為電勢(shì)和磁勢(shì);σij為應(yīng)力,εij為應(yīng)變.

    由于本文研究的磁電彈性圓板具有軸對(duì)稱性,故環(huán)向位移為零,且與環(huán)向有關(guān)的剪切力以及電位移和磁感應(yīng)強(qiáng)度也為零.因此在本構(gòu)方程和以后的計(jì)算中都不再考慮.

    為簡(jiǎn)單起見,假設(shè)物體表面不受體力,也沒有自由電荷與磁場(chǎng)作用.這樣拉格朗日系統(tǒng)下的拉格朗日函數(shù)可以表示為:L( u, w,φ, φ)=U(u,w,φ,φ),勢(shì)能可由以下積分表示:

    2 導(dǎo)入哈密頓體系

    在對(duì)問題進(jìn)行求解之前,首先通過勒讓德變換給出該問題的哈密頓體系描述.令原變量q={u, w,φ, φ}Τ,引入對(duì)偶變量p={p1, p2,p3,p4}Τ,對(duì)偶變量可由以下方法獲得:

    由(1)式、(2)式和(7)式得:

    3 問題的零本征解及其約當(dāng)型

    上面采用哈密頓體系方法給出了具有軸對(duì)稱的正交各向異性磁電彈性圓板彎曲問題對(duì)應(yīng)的方程.現(xiàn)在要在此基礎(chǔ)上對(duì)該方程進(jìn)行求解,采用的主要方法是分離變量法:令ν=ΨZ( z ),其中Z( z)是有關(guān)z的函數(shù),Ψ是與z無關(guān)的2n維向量.將ν=ΨZ( z)代入(9)式,得到:

    這里λ是本征值,而Ψ是本征向量.

    因?yàn)榇嬖谧杂蛇吔纾瓎栴}必然存在零本征解,而且零本征向量會(huì)存在階數(shù)不同的約當(dāng)型,不同形式的約當(dāng)型解被賦予不同的物理意義.

    3.1 零本征值本征解

    當(dāng)λ=0時(shí),尋求其本征解,此時(shí)(10)式可變?yōu)椋?/p>

    求解上式,可得到零本征值的本征解:

    對(duì)應(yīng)的物理意義分別為:沿軸向的剛體平移、電勢(shì)的整體移動(dòng)、磁勢(shì)的整體移動(dòng).

    3.2 各階約當(dāng)型本征解

    對(duì)于零本征解,有方程:

    如果(13)式存在既符合問題的邊界條件,同時(shí)也滿足(14)式的本征解,那么就稱其為零本征解的第n+1階約當(dāng)型解.這里要說明的是,第n階約當(dāng)型解都不是原問題的解,但是可以利用它們得到原問題的解.具體來說,原問題的解可以表示為:

    1)一階約當(dāng)型解

    利用方程(13)得到一階約當(dāng)型的控制方程為:

    對(duì)該方程進(jìn)行求解,得到:

    結(jié)合(14)式與(16)式,得到原問題的一階約當(dāng)型解為:

    對(duì)應(yīng)的物理意義分別為:均勻拉伸、均勻電場(chǎng)、均勻磁場(chǎng).

    2)二階約當(dāng)型解

    二階約當(dāng)型解的控制方程為:

    考慮到方程(18)的解不滿足原問題的邊界條件,其對(duì)應(yīng)的約當(dāng)型解鏈到此中斷.

    綜上得到零本征值問題的所有本征解,也就是對(duì)偶方程的所有基本解向量,而它們覆蓋了所有的圣維南解.

    4 哈密頓體系方法的優(yōu)越性

    文獻(xiàn)[6]提供了一種解析求解磁電彈性圓環(huán)板純彎曲問題的方法,在該文獻(xiàn)中講到在勢(shì)函數(shù)中,令D1j=0(j=1,2,3,4),可以平行推導(dǎo)出圓板r0=0的解析解.下面運(yùn)用該方法直接給出圓板的解析解.邊界條件為:

    對(duì)應(yīng)應(yīng)力場(chǎng)的應(yīng)力、電位移和磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為:

    由(20)表達(dá)式看出,應(yīng)力表達(dá)式與彈性力學(xué)中的表達(dá)式一樣,純彎曲問題不會(huì)引起電位移和磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化,但是電勢(shì)和磁勢(shì)卻發(fā)生了變化,因此只要求解下面式(21)方程組求出C3j,再代入式(22)中即可得出位移、電勢(shì)和磁勢(shì)的顯示表達(dá)式.

    下面利用哈密頓體系方法求解文獻(xiàn)[6]的問題.

    其中η11,η12,η13為待定系數(shù),由邊界條件式(19)決定.

    由(2)式及應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系可得:

    代入具體參數(shù)可以發(fā)現(xiàn)哈密頓體系方法和文獻(xiàn)[6]給出的湊合法是吻合的,這兩種方法最重要的區(qū)別是:哈密頓體系方法是通過給出材料所要研究問題的基本方程,導(dǎo)入哈密頓體系,再通過解哈密頓方程等的理性推導(dǎo)求得解析解;傳統(tǒng)的湊合法則采用的是一種試探式方法,先假設(shè)出一個(gè)解,然后代入要解決的問題中,判斷是否滿足邊界條件從而求得解析解.由此可以看出,哈密頓體系方法的優(yōu)勢(shì)在于它提供的是一種普通、理性的方法,并且可以滿足邊界條件.

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    [2] Van Den Boomgaard J, Terrell D R, Bom R A J, et al. An in situ grown eutectic magnetoelectric composite material. Part1: Composition and unidirection solidification [J]. J Mater Sci, 1974, 9: 1705-1709.

    [3] 盛宏玉. 彈性地基上自由層合圓板彎曲問題的解析解[J]. 巖土工程學(xué)報(bào), 2000, 22(3): 323-326.

    [4] 徐鷹. 彈性薄圓板混合邊界問題的解析解法: 分區(qū)聯(lián)合解法[J]. 南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào), 1995, 27(3): 319-325.

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    [7] 陳江瑛, 侯鵬飛, 丁浩江. 磁電彈性圓環(huán)板的三個(gè)解析解[J]. 寧波大學(xué)學(xué)報(bào): 理工版, 2002, 15(4): 8-21.

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    Hamiltonian System Method of Orthotropic Magneto Electric-elastic Circular Plate

    WANG Lina, HE Wenming
    (College of Mathematics and Information science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035 )

    Based on the Hamiltonian-system’s solving method, this paper mainly solves the problems of axial-symmetry perpendicular-anisotropy of magnetic-elastic circular-plate’s solution. The basic train of thought to solve this problem is as follows. First, the basic equations of the problem have to be guideded into the Hamiltonian-system to get the Hamiltonian-equation. Then, the Hamiltonian-equation’s zero eigen value is studied as well as its corresponding eigen solution vector. Finally, the analytic solution of the original problem is obtained. It is obvious that Hamiltonian-system method possesses the superiority compared with other solutions of solving meothods.

    Orthogonal Anisotropy; Hamiltonian-system Method; Eigen Solution; Magnetoelectric-elastic Circular-plate

    O24

    A

    1674-3563(2015)02-0019-09

    10.3875/j.issn.1674-3563.2015.02.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

    (編輯:王一芳)

    2014-09-09

    國家自然科學(xué)基金(11171257)

    王莉娜(1989- ),女,山西陽泉人,碩士研究生,研究方向:計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)控制

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