構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用點(diǎn)滴體會(huì)

湖南省漢壽縣第二中學(xué) 王 飛

構(gòu)造法是指某些數(shù)學(xué)問題用通常辦法難以解決時(shí)，根據(jù)題目所給條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點(diǎn)觀察分析、解釋對象，抓住反映問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，用已知的數(shù)學(xué)關(guān)系為支架構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，使原問題中隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對象中清楚的表現(xiàn)出來，從而借助該數(shù)學(xué)對象解決數(shù)學(xué)問題的方法。

一、構(gòu)造法的解題思路

構(gòu)造法解題的基本思想方法是轉(zhuǎn)化思想，用構(gòu)造法解題的巧妙之處在于不是直接解決所給問題，而是把它轉(zhuǎn)化為與原問題有關(guān)的輔助新問題，然后通過新問題的解決幫助解決原問題。

二、構(gòu)造法的解題模式

構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，解題也沒有一個(gè)絕對統(tǒng)一的模式。它需要更多的分析、類比、歸納和判斷，同時(shí)能激發(fā)人們的思維。如何借助構(gòu)造法實(shí)現(xiàn)解題過程的轉(zhuǎn)化呢？關(guān)鍵是對題設(shè)條件進(jìn)行邏輯處理，通過一般的特殊化的想象，巧妙地對問題分析與綜合，構(gòu)造出一種思維的創(chuàng)造物或想象物。構(gòu)造法解題過程的大致模式和步驟如下：一是對題設(shè)條件特征的分析；二是通過創(chuàng)新思維進(jìn)行轉(zhuǎn)化；三是構(gòu)造方程、數(shù)列、函數(shù)（或圖像）、關(guān)系式；四是通過推演實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化；五是結(jié)論。

三、構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例

1.構(gòu)造方程法

方程，作為中學(xué)數(shù)學(xué)重要的知識(shí)之一，與數(shù)、式、函數(shù)等諸多知識(shí)密切相關(guān)。根據(jù)問題條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出一個(gè)新的方程，然后根據(jù)方程的理論，往往能使問題在新的關(guān)系下得以轉(zhuǎn)化而獲解。遇到等量性問題都可以使用方程，對于一些計(jì)算問題也可以運(yùn)用方程思想來解決，倘若不能或難于直接求的就設(shè)法導(dǎo)出它滿足的方程，這樣，問題就歸結(jié)為求方程的解了。

【例1】已知2 f(x)+f(-x)=3x+2，求函數(shù)f(x)的解析式。

分析：將“f(x)”和“f(-x)”看作兩個(gè)未知數(shù)，因此還需要構(gòu)造一個(gè)關(guān)于“f(x)”和“f(-x)”的方程，用解方程組的方法來解。

解：將方程組中的“x”用“-x”替換，

則有2f(-x)+f(x)=-3x+2

因此可得方程組

消去“f(-x)”，可得f(x)=3x+

點(diǎn)評：本題考查了用方程思想解函數(shù)方程問題，關(guān)鍵在于構(gòu)造一個(gè)同類方程，用消元方法解決。

2.構(gòu)造數(shù)列法

對于數(shù)列中一些非等差、非等比問題，特別是數(shù)列相鄰兩項(xiàng)是線性關(guān)系的題型，可以靈活的利用題目中的條件，巧妙地構(gòu)造一個(gè)等差或等比數(shù)列，使問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的基本問題來解決。

【例2】若求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。

分析：題設(shè)條件是一個(gè)遞推關(guān)系，數(shù)列｛an｝既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若想通過常規(guī)的公式法求通項(xiàng)公式不可能達(dá)到目的。經(jīng)觀察分析題設(shè)條件，屬于an+1=pan+q(p、q是常數(shù))型，用待定系數(shù)法求解，即令an+1+A=p(an+A)，(A為常數(shù))，與原式比較，求得A后，構(gòu)造等比數(shù)列，進(jìn)而達(dá)到求｛an｝通項(xiàng)公式的目的。

解：設(shè)則an+1

令得A=-3.

即變?yōu)?/p>

∴｛an-3｝是首項(xiàng)為an-3=-2，公比為的等比數(shù)列。

即的通項(xiàng)公式：

點(diǎn)評：本題是求數(shù)列通項(xiàng)公式的典型題目，方法是構(gòu)造等比數(shù)列求解，將問題轉(zhuǎn)化后，先利用公式法求出等比數(shù)列｛an-3｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an。

3.構(gòu)造函數(shù)（或圖像）法

在直接求解某些數(shù)學(xué)問題有困難時(shí)，我們往往根據(jù)問題的條件，構(gòu)想組合一種新的函數(shù)關(guān)系，使問題在新的觀念下轉(zhuǎn)化，并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合方法解決問題，是一種行之有效的解題手段。

【例3】若關(guān)于x的方程有負(fù)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：本方程中未知數(shù)x處在指數(shù)上，如果用代數(shù)的方法，則通過有負(fù)實(shí)數(shù)解而要求實(shí)數(shù)a的取值范圍較難入手。如果換一種思維方法，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)和常數(shù)函數(shù)，對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，用數(shù)形結(jié)合的方法求解，則問題變得簡捷。

解：令為常數(shù)函數(shù)。方程有負(fù)根，反映在函數(shù)圖象上就是兩函數(shù)曲線有交點(diǎn)且交點(diǎn)在y軸左側(cè)（如圖），故只須即可，于是由

∴ 實(shí)數(shù)a的取值范圍為：＜a＜5｝

點(diǎn)評：方程與函數(shù)是密切聯(lián)系著的兩個(gè)數(shù)學(xué)概念，方程的解是相應(yīng)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此對一些解起來很困難的方程，用數(shù)形結(jié)合的方法求解是很重要的方法，本題通過構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，常數(shù)函數(shù)，用數(shù)形結(jié)合的方法，以形助數(shù)達(dá)到簡捷解題的目的。

構(gòu)造法有利于提高轉(zhuǎn)化化歸思想的深刻性，從上述四個(gè)例子的解題實(shí)踐中，我們看到構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中所發(fā)揮出的化難為易的強(qiáng)大威力，要求教師在長期的教學(xué)過程中潛移默化的讓學(xué)生掌握。