楊志安，劉志偉

(1.唐山學(xué)院 唐山市結(jié)構(gòu)與振動(dòng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063000；2.華北理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063009)

碳納米梁受電壓激勵(lì)的非線性振動(dòng)分析

楊志安1，劉志偉2

(1.唐山學(xué)院 唐山市結(jié)構(gòu)與振動(dòng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063000；2.華北理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063009)

選取電荷、廣義位移為電路耦合機(jī)電系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，得到系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能、電能及耗散函數(shù)。根據(jù)經(jīng)典的拉格朗日-麥克斯韋方程建立數(shù)學(xué)模型，得到的振動(dòng)方程是弱非線性Duffing方程。應(yīng)用多尺度法求得系統(tǒng)的主共振的幅頻響應(yīng)方程，并進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，分析了不同的參數(shù)對(duì)共振的影響。隨著碳納米梁長(zhǎng)度和交流電壓幅值的增大，振幅和共振區(qū)增大；隨著碳納米梁與固定極板間距和阻尼系數(shù)的增大，振幅和共振區(qū)減小。

碳納米梁；多尺度法；弱非線性；主共振

0 引言

碳納米材料因本身具有的優(yōu)越性越來(lái)越受到學(xué)者們的關(guān)注，并對(duì)它的特性和結(jié)構(gòu)進(jìn)行了廣泛的研究。碳納米材料具有彈性高、密度低、絕熱性好及強(qiáng)度高等特殊性能，可以廣泛應(yīng)用于納米器件、傳感器和納米機(jī)械等[1-3]。因此，研究碳納米梁動(dòng)力學(xué)特性很有意義[4]。

以前，學(xué)者們的研究?jī)H局限于線性振動(dòng)，但是碳納米梁的應(yīng)變?cè)诒举|(zhì)上是非線性的，越來(lái)越多的研究者已經(jīng)意識(shí)到這點(diǎn)，并且開(kāi)始對(duì)碳納米梁的非線性行為進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[5]采用多尺度法研究了共振微梁在電場(chǎng)中的非線性響應(yīng)問(wèn)題，并建立了微梁在靜電驅(qū)動(dòng)下的模型。文獻(xiàn)[6]研究了NEMS靜態(tài)驅(qū)動(dòng)梁在直流、交流電壓下靜態(tài)和穩(wěn)態(tài)的特性。文獻(xiàn)[7]研究了雙壁碳納米管強(qiáng)迫振動(dòng)，在主共振和二階主共振條件下，兩層的雙壁碳納米管振動(dòng)頻率相同。文獻(xiàn)[8]研究了碳納米管非線性振動(dòng)和單壁碳納米管自由振動(dòng)的幅頻響應(yīng)曲線。文獻(xiàn)[9]研究了雙壁碳納米管的隨機(jī)振動(dòng)和系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。文獻(xiàn)[10]分析了彎曲梁的非線性主共振及內(nèi)部共振，并且研究了雙倍分叉導(dǎo)致的混沌。目前尚未見(jiàn)研究碳納米梁在電壓激勵(lì)下的非線性系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的報(bào)道。本文將研究碳納米梁在電壓激勵(lì)下的非線性系統(tǒng)主共振的共振問(wèn)題。

1 碳納米梁受電壓激勵(lì)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

圖1為碳納米梁受電壓激勵(lì)振動(dòng)模型。兩端固定、長(zhǎng)度為L(zhǎng)、半徑為R的矩形截面梁，它與電極板通過(guò)電路連接，g表示電極板與梁的初始距離，碳納米梁在電壓的橫向簡(jiǎn)諧激勵(lì)下發(fā)生自由振動(dòng)。

圖1 碳納米梁受電壓激勵(lì)振動(dòng)模型

建立極板的坐標(biāo)系，選橫向位移u和電量q為廣義坐標(biāo)。

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：u(x，t)為位移，A為截面面積，I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，E為楊氏模量，ρ為質(zhì)量密度，c為梁在粘性介質(zhì)中的阻尼系數(shù)，N為梁的內(nèi)部壓力。

根據(jù)拉格朗日函數(shù)：

(5)

式中ε0為真空介電常數(shù)。

根據(jù)經(jīng)典的拉格朗日-麥克斯韋方程有：

(6)

式中L代表拉格朗日函數(shù)，L=T+Wm-Π-We，即動(dòng)能加磁能減去勢(shì)能再減去電能。F代表電與機(jī)械的耗散函數(shù)之和。

當(dāng)電路系統(tǒng)處于放電結(jié)束的瞬間，電容器極板電量q=0，此時(shí)耦合系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為納梁振動(dòng)系統(tǒng)，代入式(6)中，整理得：

(7)

上述各式在經(jīng)過(guò)哈密頓變分原理、伽遼金方法后，可以推出梁在電壓作用下的數(shù)學(xué)模型及相應(yīng)的微分方程。將式(7)偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，對(duì)于兩端簡(jiǎn)支約束的納米梁，將滿(mǎn)足內(nèi)力和位移邊界條件的解取為如下形式：

(8)

式中u0(t)為納米梁中點(diǎn)處的位移。

將式(8)代入式(7)中，并采用伽遼金方法進(jìn)行積分，得

(9)

對(duì)(9)式進(jìn)行無(wú)量綱化處理，得：

(10)

式(10)等號(hào)右邊的非線性電場(chǎng)力可以由泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行展開(kāi)，得：

(11)

將式(11)代入到式(10)進(jìn)一步簡(jiǎn)化得：

(12)

通過(guò)代入數(shù)據(jù)可知，非線性項(xiàng)系數(shù)的數(shù)量級(jí)比線性項(xiàng)系數(shù)的數(shù)量級(jí)小，可以確定靜電驅(qū)動(dòng)下碳納米梁模型的數(shù)學(xué)方程式(12)為弱非線性方程。

2 2Ω=ω0主共振弱非線性理論分析

由圖1推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型，可以得到納米梁有阻尼的非線性振動(dòng)方程。所謂主共振是指外激勵(lì)頻率2Ω接近派生系統(tǒng)固有頻率ω0時(shí)的共振。如果系統(tǒng)是線性小阻尼系統(tǒng)，很小的激勵(lì)幅值ζ2ζ3就能激起強(qiáng)烈的共振。這時(shí)阻尼力、外激勵(lì)、非線性力與慣性力、線性力相比是小量，在它們前面冠以小參數(shù)ε，不考慮項(xiàng)cosΩτ，得到系統(tǒng)的方程為：

ζ2ζ3cos 2Ωτ]。

(13)

令2Ω=ω0+εσ，σ=o(1)，代入式(13)中，得

(14)

研究一次近似解，采用兩個(gè)時(shí)間尺度，故設(shè)

φ(τ)=φ0(T0，T1)+εφ1(T0，T1)，

(15)

式中T0=τ，T1=εT0。

將式(15)代入到式(14)中，比較ε同次冪的系數(shù)，得到一組線性微分方程：

D02φ0+ω02φ0=0，

(16)

D02φ1+ω02φ1=-2D1D0φ0-μD0φ0-(ζ1-4ζ2ζ5)φ03+4ζ2ζ3cos(ω0+εσ)T0φ03+ζ2ζ3cos(ω0+εσ)T0。

(17)

式(16)的解為：

(18)

(19)

(20)

將式(20)由歐拉公式變化得：

(21)

將式(21)分離虛部、實(shí)部得：

(22)

令φ=σT1-β，由D1a=0，D1φ=0，且消去φ，得到幅頻響應(yīng)方程：

X6a6+X4a4+X2a2+X0=0。

(23)

式中：X6=9(ζ1-4ζ2ζ5)2，X4=-48ω0σ(ζ1-4ζ2ζ5)，

X2=4(ω0μ)2+64(ω0σ)2，X0=4ζ22ζ32。

為了定量求解，給各參數(shù)賦值：

圖2至圖5為系統(tǒng)滿(mǎn)足2Ω=ω0時(shí)主共振條件的幅頻響應(yīng)曲線，改變系統(tǒng)中的參數(shù)，納米梁的振幅和振動(dòng)區(qū)間能夠發(fā)生明顯的變化。圖2是不同的納米梁的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線，可以看出增大梁的長(zhǎng)度，幅值和共振區(qū)增加。圖3是不同的交流電壓幅值對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線，可以看出增大電壓幅值，幅值和共振區(qū)增加。圖4是不同的極板間距幅值對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線，可以看出增大梁與極板間距的幅值，幅值和共振區(qū)減小。圖5是不同的阻尼對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線，可以看出增大阻尼的幅值，幅值和共振區(qū)減小。從圖6可以看出一次近似解存在多頻成分，一個(gè)周期內(nèi)，振幅最值出現(xiàn)多個(gè)。而1次近似解比0次近似解的振幅大很多，所以時(shí)間歷程算到1次近似解是很有必要的。

圖2 不同的納米梁長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線

圖3 不同的交流電壓幅值對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線

圖4 不同的極板間距幅值對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線

圖5 不同的阻尼對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線

圖6 時(shí)間響應(yīng)曲線

3 結(jié)論

本文建立了碳納米梁系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)代入?yún)?shù)比較線性項(xiàng)與非線性項(xiàng)的系數(shù)可知，碳納米梁受電壓激勵(lì)非線性振動(dòng)系統(tǒng)為弱非線性系統(tǒng)。數(shù)值計(jì)算結(jié)果分析顯示：當(dāng)碳納米梁外激頻率2ωf等于系統(tǒng)固有頻率ω0時(shí)能激起系統(tǒng)的主共振。隨著碳納米梁長(zhǎng)度和交流電壓的增加，振幅和共振區(qū)增加；隨著碳納米梁阻尼系數(shù)和梁與固定極板的距離增大，振幅和共振區(qū)減小，一次近似解出現(xiàn)多個(gè)幅值，說(shuō)明出現(xiàn)多頻的成分。以上分析對(duì)于單壁碳納米管參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)有參考價(jià)值。

[1] 郭永，鞏雄，楊宏秀.納米微粒的制備方法及其進(jìn)展[J].化學(xué)通報(bào)，1996(3)：1-4.

[2] 周雙生，周根陶.納米材料的制備及應(yīng)用概況[J].化學(xué)世界，1997，38(8)：399-401.

[3] 易文輝，郭焱.超微細(xì)粒子的制備及應(yīng)用[J].化工新型材料，1996，24(11)：7-9.

[4] 魏方芳.納米材料的研究及應(yīng)用[J].化學(xué)工程與裝備，2007(3)：38-40.

[5] Younis M I， Nayfeh A H. A study of the nonlinear response of a resonant microbeam to an electric actuation[J]. Nonlinear Dynamics，2003(31)：91-117.

[6] Bhushan A， Inamdar M M， Pawaskar D N. Investigation of the internal stress effects on static and dynamic characteristics of an electrostatically actuated beam for MEMS and NEMS application[J]. Microsyst Technol，2011(17)：1779-1789.

[7] Hajnayeb A， Khadem S E. Nonlinear vibration and stability analysis of a double-walled carbon nanotube under electrostatic actuation[J]. Journal of Sound and Vibration，2012(331)：2443-2456.

[8] Fu Y M， Hong J W， Wang X Q. Analysis of nonlinear vibration for embedded carbon nanotubes[J]. J. Sound Vib，2006(296)：746-756.

[9] Yan Y， Zhang L X， Wang W Q. Dynamical mode transitions of simply supported double-walled carbon nanotubes based on an elastic shell model[J]. J.Appl. Phys，2008(103)：113523.

[10] Samir A Emam， Ali H Nayfeh. Nonlinear response of buckled beams to 1∶1 and 3∶1 internal resonances[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics，2013(52)：12-25.

(責(zé)任編校：夏玉玲)

An Analysis of Nonlinear Vibration of Electrically Actuated Carbon Nanobeam

YANG Zhi-an1， LIU Zhi-wei2

(1.Key Laboratory of Structure and Vibration of Tangshan City， Tangshan College， Tangshan 063000， China； 2.College of Mechanical Engineering，North China University of Science and Technology， Tangshan 063009， China)

Changing charge and generalized displacement as generalized coordinates of circuit coupling electromechanical system， kinetic energy， potential energy， electrical energy and dissipation function are obtained of a circuit coupling electromechanical system. According to Lagrange function，the weak nonlinear dynamic equation of carbon nanobeam system is established. By means of the multiple scale method of nonlinear vibration of primary resonance of the system are acquired and numerical calculation is carried out. Numerical analysis of the influence of different parameter is analyzed. With the increase of the length of the carbon nanobeam and ac voltage， the amplitude of the response curves and the resonance region enlarge； With the increase of the damping coefficient of the carbon nanobeam and spacing of the nanobeam and fixed plate， the amplitude of the response curves and the resonance region decrease.

carbon nanobeam； multiple scales method； weak nonlinear； primary resonance

O322

A

1672-349X(2015)03-0001-03

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.03.001