保持算子張量積凸組合的非線性映射

劉 亮，侯晉川

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

保持算子張量積凸組合的非線性映射

劉 亮，侯晉川

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

保凸組合性映射；可分態(tài)；量子測(cè)量

1 問題的研究背景及主要結(jié)論

和

由于在量子信息理論中主要研究的是多體系統(tǒng),故張量積結(jié)構(gòu)有著基本的重要性。受文獻(xiàn)[2]的啟發(fā),文中我們考慮在二體系統(tǒng)情況,即Ssep(H1?H2)上保凸組合性映射的刻畫問題。我們證明了,在一個(gè)比較溫和的附加條件下,如果雙Φ:Ssep(H1?H2)→Ssep(H1?H2)保持凸組合性。則存在可逆算子S∈B(H1)和T∈B(H2)使得

對(duì)所有簡(jiǎn)單張量積態(tài)ρ?σ都成立,其中Ψ是恒等映射,或轉(zhuǎn)置,或?qū)Φ谝粋€(gè)張量因子取偏轉(zhuǎn)置,或?qū)Φ诙€(gè)張量因子取偏轉(zhuǎn)置,或它們與交換映射(swap)的復(fù)合.更確切地,本文證明的主要結(jié)果如下:

1) 存在可逆算子S∈B(H1)和T∈B(H2)使得

對(duì)所有的ρ?σ∈Ssep(H1?H2)成立；要么

2) 存在可逆算子S∈B(H2?H1)和T∈B(H1?H2)使得

對(duì)所有的ρ?σ∈Ssep(H1?H2)成立。

這里Ψ表示單位變換,或轉(zhuǎn)置,或?qū)Φ谝粋€(gè)系統(tǒng)取偏轉(zhuǎn)置,或?qū)Φ诙€(gè)系統(tǒng)取偏轉(zhuǎn)置。

2 一些重要的引理

首先,我們給出幾個(gè)引理,它們對(duì)于有限維情形還是無(wú)限維情形都是成立的。

引理1 集合Ssep(H1?H2)中的端點(diǎn)集是所有形如Ρ(H1)?Ρ(H2)的純態(tài)的集合。

引理2 令H1和H2為復(fù)希爾伯特空間,且Φ:Ssep(H1?H2)→Ssep(H1?H2)為雙射。假定對(duì)任意ρ1,ρ2∈Ssep(H1?H2)和任意的t∈(0,1),存在s∈(0,1)使得Φ(tρ1+(1-t)ρ2)=sΦ(ρ1)+(1-t)φ(ρ2).那么Φ(]ρ1,ρ2[)=]Φ(ρ1),Φ(ρ2)[對(duì)所有的ρ1,ρ2∈Ssep(H1?H2)成立,進(jìn)而有Φ(E(H1?H2))=E(H1?H2).

證明略。

引理3[3]令H1和H2為復(fù)希爾伯特空間。假定T1,…,Tm∈B(H1),S1,…,Sm∈B(H2).如果T1,…,Tm是線性無(wú)關(guān)的,那么T1?S1+T2?S2+…+Tm?Sm=0當(dāng)且僅當(dāng)S1=S2=…=Sm=0.

對(duì)于純態(tài)P∈B(H1)和Q∈B(H2),我們定義兩個(gè)集合

(i)對(duì)所有的純態(tài)P∈S(H1),都存在某個(gè)純態(tài)P′∈S(H1)使得Φ(LP)?LP′;要么

(ii)對(duì)所有的純態(tài)P∈S(H1),都存在某個(gè)純態(tài)Q′∈S(H2)使得Φ(LP)?RQ′;

證明略。

與引理4類似地討論,可以證明下面的引理。

(i)對(duì)每個(gè)純態(tài) Q∈S(H2) 都存在某個(gè)純態(tài)Q′∈S(H2)使得Φ(RQ)?RQ′.

(ii)對(duì)每個(gè)純態(tài)Q∈S(H2)，都存在某個(gè)純態(tài)P′∈S(H1)使得Φ(RQ)?LP′.

3 定理的證明

定理1的證明(有限維情形) 設(shè)H1和H2都是有限維的。假定引理4中的(i)和引理5中的(i)同時(shí)成立，也就是說(shuō)，對(duì)所有的純態(tài) P∈S(H1)和所有的Q∈S(H2)我們有Φ(LP)?LP′和Φ(RQ)?RQ′.那么對(duì)每個(gè)Q∈ε(H2)，存在兩個(gè)投影算子φ(P)和ψp(Q) (與P有關(guān))使得

容易證明ψp(Q)與P 無(wú)關(guān)。

進(jìn)而存在兩個(gè)映射 φ:ε(H1)→ε(H1)和ψ:ε(H2)→ε(H2),使得

(1)

對(duì)所有P∈ε(H1)和Q∈ε(H2)都成立。

類似地,我們可以證明,若引理4中的(ii) 和引理5中的(ii)成立，則存在兩個(gè)映射 φ′:ε(H2)→ε(H1) 和 ψ′:ε(H1)→ε(H2)使得

(2)

對(duì)所有P∈ε(H1)和Q∈ε(H2)都成立。

對(duì)每一個(gè)P∈ε(H1)和Q∈ε(H2),存在φ(P)∈ε(H1)和ψP(Q)∈S(H2)使得

(3)

并且，存在φ1(Q)∈ε(H1)和ψ1Q(P)∈S(H2)使得

(4)

式(3)和式(4)對(duì)所有P,Q都同時(shí)成立意味著存在P0∈ε(H1)使得φ(P?Q)∈LP0對(duì)所有P∈ε(H1)和Q∈ε(H2)都成立,這與引理 2的結(jié)論φ(ε(H1?H2))=ε(H1?H2)矛盾。

類似地,可以證明引理4中的(ii)和引理5中的(i)不能同時(shí)發(fā)生。

接下來(lái)我們將考慮兩種不同的情形完成證明。

情形1 引理4中的(i)和引理5中的(i)成立。

在這種情況下，由以上的證明，式(1)成立，也就是說(shuō)，存在兩個(gè)映射φ:ε(H1)→ε(H1)和ψ:ε(H2)→ε(H2)使得對(duì)任意的P∈ε(H1)和Q∈ε(H2)都有Φ(P?Q)=φ(P)?ψ(Q).

(5)

(6)

對(duì)所有的ρ∈S(H1)和一個(gè)固定的Q成立。顯然這樣定義的φ1Q是無(wú)歧義的。

斷言 映射φ1Q是保持凸組合性的雙射,即對(duì)任意的ρ1,ρ2∈S(H1) 和任意的t∈(0,1),存在s∈(0,1) 使得

φ1Q雙射性的驗(yàn)證是平凡的。由引用文獻(xiàn)[4]可知，存在可逆的算子SQ∈B(H1)使得要么

(7)

要么

(8)

成立。 現(xiàn)在我們證明 SQ與Q無(wú)關(guān)，進(jìn)而 φ1Q和Q 無(wú)關(guān).為了說(shuō)明這點(diǎn)，任取兩個(gè)不同的純態(tài) Q1,Q2∈ε(H2).不失一般性，我們假設(shè)式(7)成立。 對(duì)任意的P∈ε(H2)，由式(1)和式(7)，我們有

和

以上兩個(gè)等式說(shuō)明，

對(duì)所有的純態(tài)P成立。因此SQ1和SQ2是線性相關(guān)的。吸收一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù),我們有SQ1=SQ2.令S=SQ1=SQ2.因此,我們已證明存在一個(gè)算子S∈B(H1)和一個(gè)映射ψ:ε(H1)|→ε(H2)使得或者

(9)

(10)

都成立。

類似地,我們可以證明存在一個(gè)可逆算子T∈B(H2)使得要么

(11)

要么

(12)

都成立。

那么有

和

成立。結(jié)合以上的等式,我們可以得到

對(duì)所有的ρ?σ∈S(H1?H2)成立。 因此，我們得到

對(duì)所有的ρ?σ∈S(H1?H2)成立，此處Ψ是單位變換，轉(zhuǎn)置映射,對(duì)第一個(gè)系統(tǒng)取偏轉(zhuǎn)置和對(duì)第二個(gè)系統(tǒng)取偏轉(zhuǎn)置中的一個(gè)。 所以在此情形定理1中的結(jié)論(1)成立。

情形2 引理 4中的(i)和引理 5中的(ii)成立。

在這種情況下，式(2) 成立，也就是說(shuō)，存在兩個(gè)映射φ:ε(H1)→ε(H2)和ψ:ε(H2)→ε(H1)使得對(duì)任意的P∈ε(H1)和Q∈ε(H2)都有φ(P?Q)=ψ(P)?φ(Q).由于Φ雙邊保端點(diǎn)且是保凸組合性的，故一定有dimH1=dimH2.與情形1類似地討論，我們可以證明

對(duì)所有的ρ?σ∈S(H1?H2)成立，此處Ψ是單位變換，轉(zhuǎn)置映射,對(duì)第一個(gè)系統(tǒng)取偏轉(zhuǎn)置或?qū)Φ诙€(gè)系統(tǒng)取偏轉(zhuǎn)置中的一個(gè)。 至此,我們?cè)谟邢蘧S情形下完成了定理的證明。

對(duì)于無(wú)線維的情形(dimH1?H2=∞).定理也可得到證明,由于篇幅原因在這里就不詳細(xì)給出過(guò)程。

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(編輯：朱倩)

Nonlinear Maps Preserving Convex Combination of Tensor Products of Operators

LIU Liang,HOU Jinchuan

(CollegeofMathematics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

convexcombinationpreservers；separablestates；quantummeasurement

2014-01-23

劉亮(1985-),男,湖南茶陵人,博士研究生,主要從事算子理論及量子理論研究,(E-mail)Jakie-liu@126.com,(Tel)13753171340

侯晉川(1954-),男,教授,博導(dǎo)，(E-mail)houjinchuan@tyut.edu.cn

1007-9432(2015)01-0115-04

O

ADOI：10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2015.01.023