最大值指標(biāo)截尾正態(tài)分布精度換算方法*

韓旭，孫翱(.中國(guó)人民解放軍9550部隊(duì)，遼寧大連6023；2.中國(guó)人民解放軍92493部隊(duì)博士后工作站，遼寧葫蘆島2500)

最大值指標(biāo)截尾正態(tài)分布精度換算方法*

韓旭1，2，孫翱1
(1.中國(guó)人民解放軍91550部隊(duì)，遼寧大連116023；
2.中國(guó)人民解放軍92493部隊(duì)博士后工作站，遼寧葫蘆島125001)

提出了面向最大值指標(biāo)的截尾正態(tài)分布精度換算方法，為最大值指標(biāo)與常用精度指標(biāo)間的精度換算以及真值測(cè)量系統(tǒng)精度指標(biāo)的確定提供了參考依據(jù)。該方法假設(shè)系統(tǒng)輸出序列中各觀測(cè)點(diǎn)的合格概率服從對(duì)數(shù)截尾正態(tài)分布；根據(jù)給定最大值指標(biāo)的置信水平及序列樣本量，證明并推導(dǎo)了截尾正態(tài)分布之截尾上限、截尾下限、均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算公式，導(dǎo)出了最大值精度指標(biāo)與1σ等常用精度指標(biāo)間的換算關(guān)系；結(jié)合精密儀器有關(guān)理論給出了最大值指標(biāo)下真值測(cè)量系統(tǒng)精度指標(biāo)的確定方法。實(shí)例應(yīng)用的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法是可行的。

精度換算；截尾正態(tài)分布；最大值指標(biāo)

現(xiàn)代武器系統(tǒng)對(duì)于武器在極端條件下的長(zhǎng)期可靠性工作能力要求越來(lái)越高，這也對(duì)系統(tǒng)的試驗(yàn)、測(cè)試實(shí)施等提出了更高的要求，以至于有些沿用多年的試驗(yàn)方法、試驗(yàn)理論也必須隨之做出調(diào)整。最大值指標(biāo)就是在這樣的歷史條件下為適應(yīng)武器實(shí)戰(zhàn)需求而產(chǎn)生的。文獻(xiàn)［1-2］中通過(guò)大量的理論研究與實(shí)例分析，為最大值指標(biāo)的實(shí)踐應(yīng)用提供了較好的理論支撐。但最大值指標(biāo)與其他精度指標(biāo)度量基準(zhǔn)間的精度換算仍是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。由最大值指標(biāo)的定義可知，最大值指標(biāo)的精度換算問(wèn)題并不是簡(jiǎn)單的恒等換算就能解決的。而從科學(xué)研究的層面看，各領(lǐng)域中有關(guān)此類復(fù)雜、非恒定等價(jià)換算關(guān)系的研究也容易形成熱點(diǎn)。例如，在軟件工程領(lǐng)域，文獻(xiàn)［3］對(duì)功能點(diǎn)分析(Function Point Analysis，F(xiàn)PA)及通用軟件度量國(guó)際協(xié)會(huì)(COmmon Software Measurement International Consortium，COSMIC)準(zhǔn)則之間的功能點(diǎn)估算規(guī)模換算問(wèn)題進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［4-6］則對(duì)視頻處理領(lǐng)域二維、三維視頻標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)據(jù)格式換算問(wèn)題進(jìn)行了探討；而在微處理器電路設(shè)計(jì)領(lǐng)域，文獻(xiàn)［7-8］則對(duì)信號(hào)處理領(lǐng)域中定、浮點(diǎn)數(shù)據(jù)間的格式換算問(wèn)題進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［9-13］也分別針對(duì)各自領(lǐng)域生產(chǎn)實(shí)踐中遇到的坐標(biāo)變換問(wèn)題進(jìn)行了研究?？偠灾?，盡管人們對(duì)于這類復(fù)雜、非恒定等價(jià)換算關(guān)系的研究手段有所不同，但其基本解題思路卻是一致的，即采取設(shè)定某些約束條件的方法將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而求得有條件的等價(jià)換算關(guān)系，為特定工程實(shí)踐提供參考。

1 最大值指標(biāo)的精度換算

1.1 問(wèn)題分析

由文獻(xiàn)［1］中最大值指標(biāo)的定義可以看出:在給定的最大值指標(biāo)H0的條件下，最大值指標(biāo)之高低由樣本區(qū)間及其給定的置信水平?jīng)Q定。事實(shí)上，樣本區(qū)間對(duì)于最大值指標(biāo)的影響主要是經(jīng)由被測(cè)系統(tǒng)樣本量n來(lái)體現(xiàn)的。從而，當(dāng)給定置信水平1-α?xí)r，若被測(cè)系統(tǒng)的最大值指標(biāo)也等于H0，則對(duì)于單個(gè)樣本觀測(cè)點(diǎn)，其合格概率(即不超過(guò)最大值指標(biāo)H0的概率)應(yīng)介于區(qū)間(1-α，1)內(nèi)。設(shè)對(duì)于單個(gè)樣本觀測(cè)點(diǎn)i而言，其合格概率為pi∈(1-α，1)，則:

故可做如下假設(shè):設(shè)所有樣本觀測(cè)點(diǎn)的對(duì)數(shù)合格概率都服從均值為n(1-α)的雙側(cè)截尾正態(tài)分布，其截尾下限A=ln(1-α)，截尾上限B=ln1=0。由于當(dāng)n＞2時(shí)，總有-(1-α)＜(1-α)，且分布的均值點(diǎn)更接近于截尾上限，故該截尾分布為非對(duì)稱的雙側(cè)截尾正態(tài)分布。

1.2 原正態(tài)分布與截尾正態(tài)分布函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)原正態(tài)分布與截尾正態(tài)分布的主要區(qū)別在于其自變量的取值范圍不同，原正態(tài)分布為(-∞，+∞)，截尾正態(tài)分布為［A，B］。假設(shè)截尾正態(tài)分布的均值及標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為μc和σc，原正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差為μ0和σ0。則由式(3)可得:

而對(duì)原正態(tài)分布N(μ0，σ0)而言，其概率密度函數(shù)為:

工程實(shí)踐中，若被試系統(tǒng)工作穩(wěn)定，其最大值指標(biāo)下各觀測(cè)點(diǎn)合格概率也不會(huì)差別過(guò)大，即分布N(μ0，σ0)的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ0變化不大。因此，可假設(shè)截尾正態(tài)分布的截尾上限B為原正態(tài)分布N(μ0，σ0)的3σ分界點(diǎn)，即:

則根據(jù)條件概率計(jì)算公式，當(dāng)自變量x∈［A，B］時(shí)，截尾正態(tài)分布之概率密度函數(shù)及累積分布函數(shù)分別為:

下面推導(dǎo)原正態(tài)分布與截尾正態(tài)分布均值及方差的關(guān)系。假設(shè)原正態(tài)分布為N(μ0，σ0)，則截尾正態(tài)分布均值:

下面推導(dǎo)截尾正態(tài)分布的方差。首先求取截尾正態(tài)分布二階原點(diǎn)矩:

從而求得截尾正態(tài)分布的方差為: DX=E(x2)-

進(jìn)而得到截尾正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)偏差如式(17)所示:

從前面的推導(dǎo)過(guò)程看，由式(4)可計(jì)算得到截尾正態(tài)分布均值μc；由式(7)可得到原正態(tài)分布均值μ0與標(biāo)準(zhǔn)偏差σ0的函數(shù)解析式；若再能利用截尾正態(tài)分布均值μc推導(dǎo)得到μ0，則根據(jù)式(17)即可解算出σc，從而得到截尾正態(tài)分布的分布函數(shù)。

1.3 求解截尾正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)偏差

由于根據(jù)式(12)直接由μc求解μ0的函數(shù)關(guān)系過(guò)于復(fù)雜，這里以式(12)為依托，使用數(shù)值方法求取函數(shù)μ0(μc)的近似解。首先驗(yàn)證式(12)中函數(shù)的單調(diào)性。

將式(7)代入式(12)，有:

再對(duì)式(18)做求導(dǎo)運(yùn)算，可得:

可得:

故總有˙μc＞0，即當(dāng)μ0∈［A，B］時(shí)，函數(shù)μc(μ0)是自變量μ0的單調(diào)遞增函數(shù)，可使用數(shù)值方法求取函數(shù)μ0(μc)的近似解，再將μc，μ0，σ0代入式(17)，即可解算出截尾正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差σc。數(shù)值方法近似求解σc的流程如圖1所示。pi下的對(duì)數(shù)截尾正態(tài)分布均值μc及標(biāo)準(zhǔn)偏差σc。故，當(dāng)取截尾正態(tài)分布置信水平為βc時(shí)，根據(jù)單邊正態(tài)分布的有關(guān)特性，截尾正態(tài)分布的分位數(shù):

圖1 截尾正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù)值求解流程Fig.1 Workflow for approximate solution of standard error under truncated normal distribution

式中，k=Φ-1(βc)。則合格概率分位水平βc下觀測(cè)點(diǎn)的保精度合格概率:

這樣，當(dāng)取最大值指標(biāo)為H0時(shí)，其最大值指標(biāo)度量基準(zhǔn)換算為1σ度量基準(zhǔn)下的精度指標(biāo)為:

根據(jù)式(27)，圖2、圖3分別給出了給定截尾正態(tài)分布置信水平βc=0.5及給定最大值指標(biāo)置信水平1-α=0.9條件下最大值指標(biāo)與kσ(k＞0)精度度量基準(zhǔn)間的換算關(guān)系。

圖2 βc=0.5時(shí)，最大值指標(biāo)與kσ基準(zhǔn)的換算關(guān)系Fig.2 Precision conversion relationship between maximum-error specification and kσ specification whenβc=0.5

由圖2、圖3可知，當(dāng)樣本量n＞10 000時(shí)，最大值指標(biāo)與kσ度量基準(zhǔn)的精度換算主要受樣本量n影響，截尾正態(tài)分布置信水平βc對(duì)精度換算的影響小于10%，而最大值指標(biāo)置信水平1-α對(duì)精度換算的影響也不超過(guò)20%。當(dāng)樣本量n＞107時(shí)，最大值指標(biāo)與kσ度量基準(zhǔn)的精度換算受樣本量n的影響更為顯著，截尾正態(tài)分布置信水平βc對(duì)精度換算的影響小于5%，最大值指標(biāo)置信水平1-α對(duì)精度換算的影響則小于10%?？梢?jiàn)，樣本量越大，βc，1-α取值對(duì)精度換算的影響就越小。當(dāng)樣本量大于10 000時(shí)，可忽略βc的影響，此時(shí)，若令βc=0.5，則有k==0，則由式(26)、式(4)得p=(1-α)代入式(27)可得大樣本量下最大值指標(biāo)H0換算為1σ度量基準(zhǔn)下精度指標(biāo):

圖3 1-α=0.9時(shí)，最大值指標(biāo)與kσ基準(zhǔn)的換算關(guān)系Fig.3 Precision conversion relationship between maximum-error specification and kσ specification when 1-α=0.9

2 真值測(cè)量系統(tǒng)精度指標(biāo)的確定

2.1 常值精度指標(biāo)的確定方法

真值測(cè)量系統(tǒng)精度指標(biāo)的選定應(yīng)主要參照精密儀器領(lǐng)域的“1/3法則”或“1/10法則”［14］進(jìn)行。這樣，結(jié)合式(27)、式(28)后，即可確定出能夠滿足最大值指標(biāo)設(shè)備標(biāo)定的1σ度量基準(zhǔn)下真值測(cè)量系統(tǒng)的最低精度指標(biāo)需求。方法如下:

設(shè)真值測(cè)量系統(tǒng)調(diào)節(jié)系數(shù)為c∈(1/10，1/3)，根據(jù)式(28)，大樣本條件下，按1σ度量基準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)時(shí)，真值測(cè)量系統(tǒng)的最低精度指標(biāo)要求:

而當(dāng)樣本量不大時(shí)，根據(jù)式(27)，可按式(30)確定1σ度量基準(zhǔn)下的真值測(cè)量系統(tǒng)最低精度指標(biāo):

這里要注意，最大值指標(biāo)條件下的“低精度”在工程實(shí)踐中可能并非就是低精度。由圖2、圖3可知，當(dāng)樣本量大于1000時(shí)，最大值指標(biāo)總是高于3σ條件下的相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)，此時(shí)的最大值指標(biāo)應(yīng)按照通常意義下的高精度測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)對(duì)待，式(29)、式(30)中調(diào)節(jié)系數(shù)c應(yīng)參照“1/3法則”取值。真值測(cè)量系統(tǒng)精度指標(biāo)的選擇必須綜合考查實(shí)踐成本等現(xiàn)實(shí)因素。

2.2 帶有時(shí)間協(xié)變量的精度指標(biāo)的確定方法

對(duì)于帶有時(shí)間協(xié)變量的情形，設(shè)協(xié)變量序列為Xi，設(shè)協(xié)變量X與最大值指標(biāo)H間的函數(shù)關(guān)系為:

式中:H0為最大值指標(biāo)的常值部分；f(X)為變值部分，由時(shí)間協(xié)變量決定。由此，帶有時(shí)間協(xié)變量的最大值指標(biāo)真值測(cè)量系統(tǒng)精度指標(biāo)可按式(32)確定:

式中，E(f(X))為協(xié)變函數(shù)f(X)均值。低精度測(cè)量中可取:

式中，?f(X)」為協(xié)變函數(shù)f(X)值域下界。

3 應(yīng)用舉例

下面參照美國(guó)MK39 MOD3C型激光陀螺慣性導(dǎo)航系統(tǒng)［1］的精度指標(biāo)，對(duì)最大值指標(biāo)下的真值測(cè)量系統(tǒng)精度指標(biāo)確定方法進(jìn)行舉例說(shuō)明。

例1假設(shè)被測(cè)高精度慣導(dǎo)的數(shù)據(jù)輸出頻率為100Hz，其240h內(nèi)的最大值精度指標(biāo)為:

航向角:7'/cosφ，其中，-85°≤φ≤85°，為載體所在緯度；位置:10海里；線速度:0.6節(jié)；縱/橫搖角:3'；角速度變化率:0.003°/s。

計(jì)算樣本量n=240×3600×100=8.64×107?10 000，屬大樣本。由式(29)，令α=0.1，βc= 0.5，c=1/3，求得該型慣導(dǎo)的真值測(cè)量設(shè)備按1σ精度度量基準(zhǔn)考量時(shí)的最低精度指標(biāo)分別為:

航向角:23.33″/cosφ；位置:0.55海里；線速度:0.033節(jié)；縱/橫搖角:10.0″；角速度變化率: 0.6″/s。

例2假設(shè)被測(cè)低精度慣導(dǎo)數(shù)據(jù)輸出頻率為1Hz，其2h內(nèi)的最大值精度指標(biāo)如下:

航向角:15'/cosφ，其中，-85°≤φ≤85°，為載體所在緯度；位置:5海里；線速度:1.2節(jié)；縱/橫搖角:7'；角速度變化率:0.005°/s。

計(jì)算樣本量n=2×3600×1=7200＜10 000，屬小樣本。對(duì)低精度被試品，可適當(dāng)增加βc取值，令α=0.1，βc=0.8，則由式(4)可得截尾正態(tài)分布均值μc=-1.463 34×10-5。再參照?qǐng)D1流程，由式(12)可用數(shù)值方法求解原正態(tài)分布的均值μ0=-1.465 5×10-5，將其代入式(7)，可得原正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)偏差σ0=4.885 0× 10-6。再將μc，μ0，σ0代入式(17)可得截尾正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差σc=4.981 7×10-7。最后，根據(jù)式(27)，將α，βc，μc，σc代入后可求得該最大值指標(biāo)與4.4σ度量基準(zhǔn)近似等價(jià)，就慣導(dǎo)領(lǐng)域而言，該指標(biāo)已屬高精度指標(biāo)。故考慮到現(xiàn)實(shí)真值測(cè)量條件，仍取c=1/3，代入式(30)后，即可求得1σ基準(zhǔn)下真值測(cè)量系統(tǒng)的最低精度指標(biāo):

航向角:1.14'/cosφ；位置:1.36海里；線速度:0.076節(jié)；縱/橫搖角:31.82″；角速度變化率: 1.36″/s。

當(dāng)工作于赤道附近(φ=0°)時(shí)，協(xié)變函數(shù)f(X)=?f(X)」=1為值域下限。這樣，根據(jù)式(34)得:其航向角真值測(cè)量設(shè)備最低精度指標(biāo)為1.14'。

4 結(jié)論

對(duì)最大值指標(biāo)的精度換算問(wèn)題進(jìn)行了研究，并以此為基礎(chǔ)提出了面向最大值指標(biāo)的真值測(cè)量系統(tǒng)精度指標(biāo)確定方法，給出了該方法在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)真值測(cè)量設(shè)備精度指標(biāo)遴選中的應(yīng)用實(shí)例。實(shí)驗(yàn)分析及實(shí)踐應(yīng)用的結(jié)果表明，該方法是可行的。

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Precision conversion methodology w ith truncated normal distribution theory assumption oriented to maximum-error specification

HAN Xu1，2，SUN Ao1
(1.The PLA Unit91550，Dalian 116023，China；2.PostdoctoralWorkstation of the PLA Unit92493，Huludao 125001，China)

A precision conversionmethodology with truncated normal distribution theory assumption oriented tomaximum-error specification was brought forward，and it could be taken as a reference frame for the precision conversion between maximum-error specification and other precision measurement specifications，so that the precision class of according true valuemeasurement systems could be determined in advance.Themethod assumes that the conformity probability of the observation sequence is subjected to logarithmic truncated normal distribution；based on the aimed confidence level formaximum-error specification and the given sample size of target sequence，the calculation formulation of upper truncated limit，lower truncated limit，mean and standard deviation of the truncated normal distribution were proved and derived，thus the precision conversion relationships between maximum-error specification and other precisionmeasurement specifications，such as 1σ，were turned out；through referring to the corresponding theories on precision instrument fields，the determination methodology for precision class of true valuemeasurement systems undermaximum-error specification was given.The application on related example cases proved the feasibility of the proposed method.

precision conversion；truncated normal distribution；maximum-error specification

N94

A

1001-2486(2015)05-110-06

10.11887/j.cn.201505017

http://journal.nudt.edu.cn

2014-11-14

教育部博士點(diǎn)新教師基金資助項(xiàng)目(200802881012)

韓旭(1975—)，男，遼寧開(kāi)原人，工程師，博士，E-mail:china_hanxu@163.com