條(環(huán))狀干摩擦阻尼器的微滑移數(shù)值模型*

趙寧，藺彥虎(西北工業(yè)大學(xué)機電學(xué)院，陜西西安710072)

條(環(huán))狀干摩擦阻尼器的微滑移數(shù)值模型*

趙寧，藺彥虎
(西北工業(yè)大學(xué)機電學(xué)院，陜西西安710072)

提出一種求解彈性條(環(huán))狀阻尼器微滑移接觸運動的數(shù)值方法。將阻尼器和外部激勵歷程在空間和時間上離散，將相同數(shù)量的干摩擦觸點布置于離散阻尼器上；把接觸運動判據(jù)應(yīng)用到各離散接觸點，確定其運動狀態(tài)并修正剛度矩陣，求解整個阻尼器的平衡方程。該方法避免了有限元軟件求解含摩擦接觸問題的迭代過程，從而保證了求解的可執(zhí)行性。同時，克服了微滑移模型理論解法對法向載荷分布規(guī)律及載荷時變性的限制，為求解具有局部性以及時變性的法向載荷的結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)提供了更為精確的邊界條件，從而可提高結(jié)構(gòu)頻響分析的準(zhǔn)確性。應(yīng)用多諧波平衡法分別計算宏滑移和微滑移阻尼器約束下的結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)在結(jié)構(gòu)減振中，微滑移模型能夠適應(yīng)更寬范圍的法向力。

干摩擦阻尼器；微滑移；接觸運動；多諧波平衡法；動響應(yīng)

由于結(jié)構(gòu)簡單、在高溫及復(fù)雜環(huán)境的穩(wěn)定性及優(yōu)良的減振性能，干摩擦阻尼器被廣泛應(yīng)用于工程中。如為了降低筒形結(jié)構(gòu)的航空發(fā)動機的篦齒封嚴裝置振動幅值，在其定子或轉(zhuǎn)子上安裝有阻尼環(huán)或阻尼套筒；航空發(fā)動機的葉-盤系統(tǒng)中，葉片設(shè)計有凸臺，通過振動時凸臺間的擠壓和相對運動來降低葉片振動幅值；航空薄壁齒輪上安裝的阻尼環(huán)等結(jié)構(gòu)［1］，均是應(yīng)用干摩擦進行結(jié)構(gòu)減振的實例。

葉片減振結(jié)構(gòu)中，凸臺面積以及凸臺間的法向力較小，可將其簡化為單對觸點，進行非線性結(jié)構(gòu)的動響應(yīng)求解［2］。然而，對于安裝阻尼環(huán)、阻尼套筒的結(jié)構(gòu)，由于接觸面積大，加上筒狀結(jié)構(gòu)進行周波型振動或者盤狀結(jié)構(gòu)進行節(jié)徑型振動時，將引起不同接觸部位的法向力變化，局部法向力可能會變得較大，這時還將阻尼器與結(jié)構(gòu)間的作用通過單對接觸點來表示，將不符合阻尼器與結(jié)構(gòu)間的實際。

微滑移模型用多對觸點來表達其與結(jié)構(gòu)間的局部摩擦作用，Menq［3-4］建立了考慮微滑移效應(yīng)的矩形桿模型，桿與結(jié)構(gòu)間分布有厚度可忽略的剪切層，用該剪切層模擬阻尼器和結(jié)構(gòu)表面微觀凸起，給出了接觸運動以及干摩擦力的理論解［3］，并將該理論解應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)計算，并與實驗結(jié)果［4］對比，驗證了該模型的準(zhǔn)確性。徐自力［5］將該模型引入葉片減振分析，并分析了最優(yōu)正壓力的影響因素。Csaba［6］的微滑移模型忽略了Menq模型中的剪切層，用單元節(jié)點切向剛度模擬阻尼器的切向剛度。Menq與Csaba模型均采用解析法求解，法向力分布為特定形式，不可時變，激勵力或激勵位移也被設(shè)定為諧波形式。這些假設(shè)往往不符合應(yīng)用中的載荷分布以及變化特性，具有一定的局限性。

商用有限元軟件應(yīng)用迭代法求解含摩擦的接觸問題，迭代過程實際上是確定觸點運動狀態(tài)的過程。有限元軟件能較好地模擬含摩擦的局部接觸作用，并對結(jié)構(gòu)做時域內(nèi)的響應(yīng)分析，然而，多數(shù)商業(yè)有限元軟件，如Ansys、Abaqus等均不能用來做非線性頻響分析，而非線性頻響求解又是薄壁結(jié)構(gòu)減振設(shè)計的重要內(nèi)容。馬曉秋［7］用諧波法描述干摩擦力，將干摩擦力等效為結(jié)構(gòu)內(nèi)阻，用Ansys軟件計算了葉片頻響。然而一階諧波法是一種近似方法，不能準(zhǔn)確表達接觸運動的粘-滑效應(yīng)，等效方法對求解的準(zhǔn)確性也有一定影響。因此有必要針對阻尼器具體結(jié)構(gòu)，發(fā)展出能夠方便求解接觸運動的數(shù)值模型，將其應(yīng)用于非線性頻響分析，擺脫應(yīng)用有限元軟件求解接觸問題的束縛。

本文將Yang［8］發(fā)展的宏滑移模型黏滯—滑移—分離判據(jù)應(yīng)用于微滑移模型，形成了求解微滑移接觸運動的數(shù)值方法。相比微滑移模型理論解法，該方法對微滑移模型法向載荷分布規(guī)律及其時變性沒有限制，同時取消了Menq［3］模型中防止剛體位移的限位彈簧，可對剛體位移進行準(zhǔn)確求解。求解過程無須迭代，從而保證求解的可執(zhí)行性。最后，應(yīng)用多諧波平衡法(Multiple Harmonic Balance Method，MHBM)計算微滑移數(shù)值模型約束下的結(jié)構(gòu)動響應(yīng)，以證實所發(fā)展模型的實用性，并分析了宏滑移模型和微滑移模型對結(jié)構(gòu)動響應(yīng)影響的異同。

1 Yang模型及算例

1.1 Yang宏滑移模型

相比于微滑移模型，對宏滑移模型的研究較多，也較為成熟。Sanliturk和Ewins［9］發(fā)展了一種求解宏滑移模型的“軌跡跟蹤法”，該方法將求解周期離散為若干時間點，對每一時間步的運動狀態(tài)進行判斷，確定運動狀態(tài)后，計算出相應(yīng)狀態(tài)下的位移量及干摩擦力。重復(fù)進行以上步驟，即可得到整個周期內(nèi)的觸點運動狀態(tài)及干摩擦力，一般地，跟蹤過程只需維持兩個周期，即可得到穩(wěn)定的運動狀態(tài)。單穎春［10］應(yīng)用類似方法計算葉片動響應(yīng)，并與實驗值對比，取得了很好的效果。

Yang于1998年發(fā)表文章［8］詳細討論了宏滑移模型的運動狀態(tài)確定以及狀態(tài)判定依據(jù)，并假設(shè)激勵為諧波形式時運動狀態(tài)的轉(zhuǎn)換角。所建立的滑移模型如圖1所示。

圖1中，body1和body2表示兩接觸物體，通過觸點表示兩者的作用力，body2可運動也可固定。n0表示初始法向力；ku，kv分別為切向及法向剛度；u，v分別為切、法向運動；f表示干摩擦力；μ為干摩擦系數(shù)；w表示觸點切向運動；n表示法向力。兩接觸體可能存在3種運動狀態(tài)，黏滯、滑移或分離狀態(tài)，在接觸運動周期內(nèi)，這幾種狀態(tài)可能會相互轉(zhuǎn)化，如表1所示。

圖1 Yang接觸運動模型Fig.1 Yang’s contact kinematicmodel

表1中，“E”表示黏滯狀態(tài)，“P”表示正向滑動，“N”表示反向滑移，“S”表示分離狀態(tài)，“當(dāng)前”表示當(dāng)前時刻觸點的運動狀態(tài)，“后繼”表示運動狀態(tài)從當(dāng)前到下一時刻的轉(zhuǎn)化。

表1 運動狀態(tài)轉(zhuǎn)化條件Tab.1 Translation criterion of kinematic state

干摩擦力遵循Coulomb摩擦定律，即

式中，sgn為符號函數(shù)，abs為絕對值符號，t為時間。

1.2 宏滑移接觸運動模型算例

選取圖1中“body1”的運動參數(shù)如表2所示，“body2”固定不動，求解該模型。求解時將周期離散，按表1中所示的“當(dāng)前狀態(tài)”，計算運動狀態(tài)參數(shù)及力值，然后依據(jù)表1中的不等式，判定是否發(fā)生了運動狀態(tài)轉(zhuǎn)化，如果轉(zhuǎn)化，則按照新的狀態(tài)求解各參量，如果未發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)化，則計算下一個時刻各參數(shù)。計算取摩擦系數(shù)μ為0.5，t代表離散時間點。

結(jié)果如圖2所示，圖中每列為表2中計算參數(shù)的運動狀態(tài)、力及滯回環(huán)。可以看出應(yīng)用Yang發(fā)展的判據(jù)可求解復(fù)雜的運動狀態(tài)。從圖2第二行可以看出在運動過程中，兩物體遍歷了分離—黏滯—滑移運動，所以該行的第三列所示的滯回環(huán)中有相當(dāng)一部分值為0。第三行表示在平面內(nèi)的運動頻率不同時的運動狀態(tài)，類似于李薩如的運動形式，這時摩擦力及滯回曲線顯得更為復(fù)雜，平面內(nèi)y向運動頻率為x向的3倍，所以滯回環(huán)也呈現(xiàn)出這種關(guān)系。

表2 宏滑移模型計算參數(shù)Tab.2 Parameters ofmacro-slip model

圖2 運動狀態(tài)、力及滯回曲線Fig.2 Curve of kinematic state，force and hysteresis

2 微滑移數(shù)值模型及求解方法

2.1 條(環(huán))狀阻尼器的離散

工程中經(jīng)常用到的阻尼器為環(huán)狀或條狀結(jié)構(gòu)，如阻尼環(huán)、阻尼塊。干摩擦模型的建立是為了研究法向力存在時的切向運動及受力，故適合用桿模型等效條狀阻尼器［3］。圖3(a)為Menq［3］建立的微滑移模型，在阻尼塊與結(jié)構(gòu)的接觸面上布有剪切層，用來模擬接觸面的切、法向力學(xué)行為。該模型認為，當(dāng)接觸體表面粗糙度足夠小時，將接觸表面均勻劃分為若干塊，盡管各分塊的凸起和凹陷形貌不盡相同，然而，從統(tǒng)計學(xué)的角度看，他們表現(xiàn)出來的力學(xué)行為是相同的。因此剪切層的不同部位具有相同的切、法向剛度。

用數(shù)值方法對微滑移理論模型求解的第一步是對阻尼器離散。根據(jù)求解問題，在Menq模型底部預(yù)設(shè)一定數(shù)量觸點來替代剪切層，將模型均勻離散，離散數(shù)量與觸點數(shù)相同，如圖3(b)所示。由于均勻離散，各觸點的力學(xué)特征相同，所以觸點切向剛度Ku相等。條(環(huán))狀阻尼器法向尺寸遠小于接觸平面尺寸，法向力引起的彎曲效應(yīng)較小，可將法向力作用直接施加在觸點上。若阻尼器為開口環(huán)或條狀阻尼器，則連接第n塊與第1塊的彈簧將不存在，對于整體環(huán)，則彈簧存在。圖中fn，x(t)(x=1，2，…，n)表示法向載荷，該載荷可時變。k為離散單元間的剛度。

圖3 Menq微滑移模型及其離散Fig.3 Menq’smicro-slipmodel and its discretization

2.2 求解流程

與宏滑移模型相似，求解微滑移模型也需要在求解周期內(nèi)離散。

如圖3(b)所示，假設(shè)在第1號離散體上作用位移載荷，則該位移載荷也可被離散為有限多個值，用uj和d uj表示j時刻的位移以及j+1時刻與j時刻的位移變化量。用Fi，j表示觸點i在j時刻的受力，d Fi，j表示第j+1時刻與j時刻觸點i受力變化量。類似地，用wi，j和d wi，j表示觸點位移量及其變化量，用xi，j和d xi，j表示離散段的位移量及其變化量。用s表示u，F(xiàn)，x，w則有

d x為一向量，表示離散位移增量，長度等于離散體個數(shù)。k(t)為離散體剛度矩陣，呈帶狀，是時變量:黏附于離散體的觸點(如第q個觸點)處于黏滯時，剛度矩陣對應(yīng)的k(q，q)值為k(q，q)= 2k+ku，ku為剪切剛度，如圖3(b)所示。若處于滑移或分離狀態(tài)時，對應(yīng)節(jié)點的剛度值為k(q，q) =2k。需要注意的是，由于激勵形式為位移激勵，因此在任何時間點上任何離散塊體都處于受力平衡狀態(tài)，即每個離散塊體所受合力為0，故f為0向量，注意式(3)中的f是各離散體所受合力，不是摩擦觸點的受力。求解結(jié)果有可能出現(xiàn)阻尼器的剛體位移，這取決于位移載荷的大小和法向力值。圖4給出求解流程，圖中i表示干摩擦觸點，j表示離散時間點。

圖4 微滑移模型計算流程Fig.4 Flowchart of solving micro-slip model

3 算例

3.1 算例1均布載荷的整體環(huán)狀阻尼器

圖5所示的整體環(huán)狀阻尼器，與圖3(a)相比，除了結(jié)構(gòu)與載荷變化外，做了兩個調(diào)整:一是激勵形式變?yōu)槲灰菩问?，帶來的好處是可以求解剛體位移，既可求解出整體滑移也可求解出局部滑移。在阻尼器實際工作中，也屬位移激勵的情形，摩擦力伴隨接觸運動產(chǎn)生。二是解除了防止阻尼器產(chǎn)生剛體位移的彈簧β，對原模型的假設(shè)限制進一步減少。

圖5 均布載荷的環(huán)狀阻尼器Fig.5 Circular damper with uniform load

如圖5所示，阻尼環(huán)橫截面為矩形，彈性模量E=2.07×105MPa，寬b=30mm，阻尼環(huán)內(nèi)徑r= 140mm，外徑R=150mm，μ=0.5，切向剛度kd按Mindlin［11］理論計算。激勵取x(t)=0.31sin(2πt)，方向沿環(huán)的切向，法向力q(t)=137N，t為離散時間點，將結(jié)構(gòu)均勻離散，得到圖6所示的滯回環(huán)。

如圖6所示，離散數(shù)取n=1時，阻尼器模型為宏滑移模型，由于未考慮阻尼器本身的彈性變形，其滯回環(huán)的斜率最大。其求解結(jié)果與跟蹤求解［9］方法一致，當(dāng)n逐步增大時，求解結(jié)果越逼近微滑移模型理論解，當(dāng)離散數(shù)n=15時，數(shù)值模型的滯回曲線與理論解重合，已經(jīng)足夠接近理論解［3］了。在激勵歷程中，微滑移觸點逐次滑移，最終達到整體滑移，形成剛體運動。

圖6 微滑移模型滯回環(huán)Fig.6 Hysteresis curve ofmicro-slip model

3.2 算例2非均布載荷

如圖7所示，阻尼器橫截面為矩形，楊氏模量與寬度，即干摩擦系數(shù)同算例1，高h=3mm，激勵x(t) =0.32sin(2πt)，長L=80mm；載荷呈拋物線狀，最大值分布于兩端，均為34.5N，最小值為5N。

圖7 非均布載荷模型Fig.7 Modelwith non-uniform load

求解阻尼器離散為15段，得到如圖8所示的滯回環(huán)。從滯回環(huán)可以看出，該模型在激勵下并未發(fā)生剛體滑動，只是產(chǎn)生了局部滑移。

圖8 非均布載荷下的滯回環(huán)曲線Fig.8 Hysteresis curve of non-uniform load

圖9滑移等值線圖Fig.9 Contourmap of slip

圖9 為各摩擦觸點在一個運動周期內(nèi)的滑移量等值線圖，可以看出8號觸點的滑移量最大，成為滑移核心，結(jié)合圖7，可以發(fā)現(xiàn)這是由于法向載荷較小造成的；等值線圖不是關(guān)于點8對稱而是偏向于編號小的觸點，這是由于計算中考慮了阻尼器的變形以及切向載荷的位置共同造成的。1～4號觸點及11～15號觸點一直處于黏滯狀態(tài)，所以模型呈部分滑移狀態(tài)，與圖8的結(jié)論是一致的。

該計算流程還可以求解法向力時變條件下的微滑移接觸運動及干摩擦力，也可計算有分離運動的實例。限于篇幅，這里不再給出算例。

4 MHBM法計算計及微滑移的結(jié)構(gòu)動響應(yīng)

具有干摩擦約束的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出強邊界非線性，傳統(tǒng)的數(shù)值積分方法由于計算耗時太長而不能滿足結(jié)構(gòu)設(shè)計過程所要進行的頻響分析。因而人們發(fā)展出了攝動法，諧波平衡法，加遼金法等。經(jīng)研究［12］，應(yīng)用MHBM法結(jié)合Fourier變換及其逆變換法求解含干摩擦的動響應(yīng)問題，具有足夠的準(zhǔn)確度和求解速度。本文用該方法結(jié)合快速Fourier變換及快速逆Fourier變換法，計算計及微滑移的結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)。

4.1 多諧波平衡法

圖10為一裝有微滑移阻尼器的振動模型，該模型可用來表示航空發(fā)動機渦輪葉盤B-D型減振器。M，C，K分別表示質(zhì)量、阻尼和剛度。fex(t)為激振力，q為阻尼器法向載荷。其控制方程為

式中fnl［x，˙x，t］為由阻尼器產(chǎn)生的非線性力。諧波平衡假設(shè)認為，在周期性載荷作用下，系統(tǒng)的響應(yīng)也是周期的，因此可用傅里葉序列表示

圖10 裝有微滑移阻尼器的振子模型Fig.10 A vibratormodelwith a micro-slip damper

式中Λk=-(kω)2M+j kωC+K，為動剛度矩陣。

求解時，首先對位移序列傅里葉系數(shù)進行傅里葉逆變換，得出時域位移值，用該位移序列求解干摩擦力，之后對干摩擦力進行傅里葉變換，得到干摩擦力在頻域內(nèi)的諧波系數(shù)值。最后對位移序列的傅里葉系數(shù)值迭代，直到滿足式(8)為止。式(8)為一非線性方程，需用迭代方法求解，Newton法及其衍生格式是求解該方程的基礎(chǔ)。本文采用Broyden法求解。

4.2 計算結(jié)果

選取表3所列的計算參數(shù)，分別應(yīng)用微滑移模型和宏滑移模型計算結(jié)構(gòu)動響應(yīng)。

表3 計算參數(shù)表Tab.1 Parameters used in the calculation

微滑移模型計算的頻幅響應(yīng)如圖11所示，圖中Fn為法向載荷，即圖10中的q，計算微滑移模型離散為15段，切向剛度求解用Mindlin［11］理論。

圖11 微滑移模型結(jié)構(gòu)頻響圖Fig.11 Frequency response of structure withmicro-slip model

求出宏滑移模型頻響后，即可對比兩者減振性能的差異。如圖12所示，法向力較小時，微滑移模型與宏滑移模型的效果相差無幾，微滑移模型對振動的抑制效果稍差于宏滑移模型，這主要是微滑移模型考慮了阻尼器的彈性形變而顯示出切向剛性不足，不能給結(jié)構(gòu)提供足夠的干摩擦力約束振動幅值。隨著法向載荷的增加，則顯示出大的差異:采用宏滑移模型時，阻尼器很快處于黏滯狀態(tài)，這時可等效為一彈簧，因此隨著法向力的進一步增加，結(jié)構(gòu)振動幅值基本不再增加；而微滑移模型考慮了結(jié)構(gòu)的局部滑移，阻尼器仍未完全黏滯，因此可以提供不同幅值的干摩擦約束力，從圖6也可以觀察出這一點。直到法向載荷增加至1007N，微滑移模型所有觸點才完全黏滯，達到與宏滑移模型相同的振動幅值。由于在較大法向載荷下仍有觸點可以滑動，因此微滑移模型在較大法向載荷時，仍具有較明顯的減振效果。

圖12 宏、微滑移模型減振效果對比Fig.12 Contrast between themacro-slip model and themicro-slip model

Griffin［13］的用宏滑移遲滯模型為航空發(fā)動機葉片B-D型阻尼器建模，計算了葉片的頻響及動應(yīng)力，并搭建實驗臺驗證計算結(jié)果的可靠性。計算及實驗結(jié)果如圖13所示［13］。圖13為兩種不同剛度的阻尼器在不同法向力下葉片的動應(yīng)力。文獻［13］未給出葉片及阻尼器的幾何及力學(xué)參數(shù)，因此無法用本文發(fā)展的微滑移模型計算其動響應(yīng)。但觀察其計算結(jié)果與實驗結(jié)果可發(fā)現(xiàn):法向力值較低時，實驗結(jié)果和計算結(jié)果相符合；但隨著法向力的增加，實驗值與計算值出現(xiàn)偏離，尤其是在阻尼器剛度較小的條件下，并且法向力較大時，動應(yīng)力的計算值總是大于實驗值。

切向剛度較大時，阻尼器更像是一個剛體，因而可用宏滑移模型描述，其計算結(jié)果與實驗值相差不大；當(dāng)切向剛度較小時，阻尼器在整體滑動之前更容易產(chǎn)生局部滑移，這時如果還用宏滑移模型來描述阻尼器，則會在法向力較大時無法計及局部滑移而使得計算值偏大。對比圖12，當(dāng)法向力增大時，使用宏滑移模型計算的結(jié)構(gòu)頻響值會很快上升，而使用微滑移模型的頻響值上升緩慢。可見用微滑移模型，動應(yīng)力計算結(jié)果會緩慢上升，因而更加接近于實驗值。這也說明使用微滑移模型可為結(jié)構(gòu)提供更加精確的邊界條件，使結(jié)算結(jié)果更符合實際；微滑移模型能夠在更寬的法向力范圍為結(jié)構(gòu)提供振動幅值衰減，從而使動應(yīng)力計算值降低。

圖13 Griffin計算結(jié)果與實驗結(jié)果對比Fig.13 Contrast between calculation result and test result of Griffin

5 結(jié)論

1)依據(jù)Yang發(fā)展的單觸點分離—接觸—滑移判據(jù)，求解了不同法向力及不同牽引切向運動時，干摩擦觸點的運動狀態(tài)及干摩擦力。

2)將Yang判據(jù)應(yīng)用于條狀或環(huán)狀微滑移模型，形成了求解微滑移觸點運動狀態(tài)及受力的數(shù)值方法，通過與理論模型對比，檢測了算法的準(zhǔn)確性。該方法克服了理論模型對于方向載荷分布及激勵條件的諸多假設(shè)，拓寬了微滑移模型的應(yīng)用范圍，可為結(jié)構(gòu)減振計算提供更加真實的邊界條件，同時該求解方法無須迭代，從而避免了有限元軟件求解含摩擦接觸的收斂問題。

3)用MHBM法分別求解了宏滑移及微滑移阻尼器約束的結(jié)構(gòu)動響應(yīng)。結(jié)果表明，在法向力較小條件下，兩者相差不大，隨著法向力的增加，兩者減振效果出現(xiàn)明顯差別，微滑移模型對法向力的適應(yīng)能力更強，可在較寬法向載荷范圍內(nèi)達到結(jié)構(gòu)減振的目的。

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A numericalmodel for the bar or circular m icro-slip dry friction damper

ZHAO Ning，LIN Yanhu
(College of Mechanical，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China)

A numericalmethod to solve the contact kinematic problems of elastic bar or circularmicro-slip dry friction damper was proposed.Firstly，the damper and the time course of external excitation were discretized in the space and time domain respectively，and the same number of contact points was attached to the discrete damper.Secondly，the determination criterion of the contact kinematic state of the contact point pairswas used to each contact pair，and the stiffnessmatrix of the damper wasmodified.Thirdly，the whole balance equation with the new stiffnessmatrix was solved in each time step.Differing from the way the finite element software dealing with the contact problem with friction，the iteration was avoided，thus the feasibility of the solution was guaranteed.Meanwhile，the restriction of the distribution and the time variability of the normal load was overcome，and therefore it provided a more accurate boundary condition for solving dynamic response of structure.Lastly，the response of structures constrained by themacro-slip and micro-slip damper were computed by the MHBM(Multi Harmonic Balance Method)respectively and the distinctness of the solution was analyzed.Results show that themicro-slip model damper can have a broader normal force range for vibration reduction.

dry friction damper；micro-slip；contact kinematic；multiharmonic balancemethod；dynamic response

TH133

A

1001-2486(2015)05-067-08

10.11887/j.cn.201505011

http://journal.nudt.edu.cn

2014-10-15

國家自然科學(xué)基金資助項目(51075328)

趙寧(1958—)，男，廣東廣州人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail:zhaon@nwpu.edu.cn