表面擴散下銅內(nèi)沿晶微裂紋演化的數(shù)值模擬

杜杰鋒，黃佩珍

（南京航空航天大學(xué)機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，江蘇南京 210016）

表面擴散下銅內(nèi)沿晶微裂紋演化的數(shù)值模擬

杜杰鋒，黃佩珍

（南京航空航天大學(xué)機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，江蘇南京 210016）

基于表面擴散和蒸發(fā)－凝結(jié)的經(jīng)典理論及其弱解描述，對應(yīng)力誘發(fā)表面擴散下銅內(nèi)沿晶微裂紋演化進行了有限元分析。結(jié)果表明：沿晶微裂紋演化分節(jié)存在臨界外載和臨界形態(tài)比，當外載或形態(tài)比小于臨界值時，微裂紋逐漸圓柱化；當外載或形態(tài)比大于等于臨界值時，微裂紋沿晶界方向擴展并分節(jié)為三個裂腔。微裂紋分節(jié)時間隨外載的增大和形態(tài)比的增大都減小，即外載和形態(tài)比的增大加速微裂紋分節(jié)。而臨界外載和臨界形態(tài)比隨著形態(tài)比或外載的增大而減小，表明形態(tài)比和外載的增大都將有助于微裂紋分節(jié)。此外，沿晶微裂紋中晶界能與表面能比值的增大會加快微裂紋的分節(jié)。

沿晶微裂紋；表面擴散；應(yīng)力遷移；有限單元法；裂腔分節(jié)

1 引 言

金屬中晶內(nèi)、晶界孔洞的萌生、擴張、連接或者失穩(wěn)會形成裂紋型缺陷，這是導(dǎo)致微電子器件中薄膜導(dǎo)線失效的關(guān)鍵因素之一。晶界是應(yīng)力集中、裂紋萌生和擴展的重要位置，晶界的存在將對金屬材料內(nèi)部微裂紋演化過程產(chǎn)生重要影響。Hull和Rimmer［1］首次建立了一個球狀晶界孔洞在拉應(yīng)力作用下由晶界擴散控制的孔洞長大模型。此后的工作中主要是發(fā)展數(shù)值方法，如使用有限差分法、有限元法等對孔洞、裂紋演化過程進行數(shù)值模擬［2－5］。包含表面擴散和蒸發(fā)－凝結(jié)機制的有限元方法首次由Sun和Suo［6］提出，沿用此方法，He等［7］通過研究發(fā)現(xiàn)拉壓應(yīng)力作用下的晶內(nèi)微裂紋也會發(fā)生裂腔分節(jié)現(xiàn)象。徐春風(fēng)等［8］研究了電作用下沿晶微裂紋系統(tǒng)的演化。

本文基于材料微結(jié)構(gòu)演化的有限元理論，詳細分析了外載、形態(tài)比以及晶界能與表面能比值對沿晶微裂紋演化的影響。

2 二維沿晶微裂紋模型

圖1所示為雙向受拉外載作用下沿晶微裂紋模型。裂紋形貌由形態(tài)比β＝a／h0確定，其中a與h0分別為橢圓在x、y方向上的半軸長。晶界與裂面的連接處滿足力的邊界條件：

圖1 應(yīng)力場下沿晶微裂紋的簡化模型Fig.1 A simp lified model of an intergranular m icrocrack under stress field

式中：2θ為裂尖裂面的二面角，γs為表面能，γb為晶界能。

3 基本理論

3.1 表面擴散及蒸發(fā)－凝結(jié)的弱解描述

當微結(jié)構(gòu)固體表面同時存在表面擴散和蒸發(fā)－凝結(jié)兩種質(zhì)流過程時，表面擴散驅(qū)動力F與蒸發(fā)凝結(jié)驅(qū)動力p作用下系統(tǒng)自由能的減少量－δG為［2］：

其中，δI是表面擴散下的物質(zhì)虛位移，δi是蒸發(fā)－凝結(jié)下的表面法向虛位移。

根據(jù)Herring［9］理論，采用線性動力學(xué)原理：

其中J為表面擴散的流量，j為表面法向速度，M與m分別為表面擴散與蒸發(fā)－凝結(jié)的原子遷移率。

結(jié)合線性動力學(xué)原理和質(zhì)量守恒定理，表面擴散與蒸發(fā)－凝結(jié)機制下的弱解描述為［6］：

在如圖1所示的模型中，系統(tǒng)的總自由能僅包括表面能、晶界能和應(yīng)變能：

式中：：γs是表面能，γb是晶界能，w是應(yīng)變能密度。

3.2 有限元方法

本文研究的二維微裂紋表面可近似為許多線性單元，節(jié)點的坐標及物質(zhì)位移I形成廣義坐標qi，廣義速度為表面虛位移則可表示為δqi。對式（5）進行積分，左端可得含及δq的雙線性型表達式，右端則為關(guān)于虛位移的總自由能變化：

其中：fi為廣義力。兩端消去δqi后可得：

基于以上控制方程，如給定當前構(gòu)形的沿晶微裂紋，使用當前的廣義坐標計算式中的粘度矩陣H以及載荷向量f，通過迭代求解得出各節(jié)點的速度，已知節(jié)點速度，對于給定的微小時間增量Δt，可得到更新表面的節(jié)點位移。循環(huán)該過程，就可模擬沿晶微裂紋的形貌演化。

4 數(shù)值計算

計算中選取各向同性線彈性銅材料參數(shù)［10］：E＝130GPa，ν＝0.33，γs＝1.725J／m2，γb＝0.654J／m2，外載為雙向等值受拉（σx＝σy＝σ）。為方便，采用無量綱化應(yīng)力：和無量綱化時間

4.1 外載對沿晶微裂紋演化的影響

對比圖2（a）和（b）可知，微裂紋在不同外載下存在一個臨界外載：當時，裂紋逐漸圓柱化；當時，微裂紋將會沿晶界方向拓展并最終分節(jié)為三個裂腔。

圖4給出了不同形態(tài)比下晶內(nèi)微裂紋與沿晶微裂紋發(fā)生裂腔分節(jié)的臨界載荷由圖4可見，隨著β的增大，晶內(nèi)與沿晶微裂紋發(fā)生裂腔分節(jié)所需要的都逐漸減小，說明大裂紋更易發(fā)生分節(jié)。對比相同形態(tài)比的晶內(nèi)微裂紋和沿晶微裂紋，前者臨界載荷大于后者的臨界載荷。

圖2 β=10時沿晶微裂紋的演化Fig.2 The evolution of the intergranular m icrocrack forβ=10

圖3 分節(jié)時間隨外載的變化Fig.3 The splitting timeas a function of)σ

4.2 形態(tài)比對沿晶微裂紋演化的影響

由圖5（a）可見，當β較小時，沿晶微裂紋未發(fā)生裂腔擴展，而是長軸逐漸縮短，趨于圓柱化；隨著β的增大，沿晶微裂紋會逐漸沿晶界擴展，并最終分節(jié)為三個裂腔。

圖4 隨β的變化Fig.4as a function ofβ

圖5 時沿晶微裂紋的演化Fig.5 The evolution of the intergranular m icrocrack for

由圖6可見，當外載比較小時，微裂紋分節(jié)時間隨形態(tài)比的增大而減小。由圖6中)σ＝22的曲線可以看出，當外載比較大時，由于沿晶微裂紋快速分節(jié)，形態(tài)比對分節(jié)時間的影響可忽略不計。

圖6 分節(jié)時間隨β的變化Fig.6 The sp litting timeas a function ofβ

圖7 βc隨的變化Fig.7 βcas a function of)σ

4.3 晶界能與表面能比值對裂紋演化的影響

5 結(jié) 論

本文應(yīng)用應(yīng)力誘發(fā)表面擴散主導(dǎo)微結(jié)構(gòu)演化的有限單元法數(shù)值模擬了雙向受拉銅材料內(nèi)部沿晶微裂紋的演化，得出結(jié)論如下：

圖8 隨的變化Fig.8as a function of)γ

（3）沿晶微裂紋比晶內(nèi)微裂紋更易發(fā)生分節(jié)。

［1］ Hull D，Rimmer D E.The growth of grain－boundary voids under stress［J］.Philosophical Magazine，1959，4（42）：673－687.

［2］ Liu Z，Yu H.A numerical study on the effect of mobilities and initial profile in thin film morphology evolution［J］.Thin Solid Films，2006，513（1-2）：391－398.

［3］ Bower A F，Shankar S.A finite element model of electromigration induced void nucleation，growth and evolution in interconnects［J］.Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering，2007，15（8）：923－940.

［4］ Liu Z，Yu H.Stress relaxation of thin film due to coupled surface and grain boundary diffusion［J］.Thin Solid Films，2010，518（20）：5777－5785.

［5］ Huang P Z，Zhang Z Z，Guo JW，et al.Axisymmetric finite-element analysis for interface migration-controlled shape instabilities of plate-like double-crystal grains［J］.Advanced Materials Research，2012，460：230－235.

［6］ Sun B，Suo Z.A finite element method for simulating interfacemotion—II.Large shape change due to surface diffusion［J］.Acta materialia，1997，45（12）：4953－4962.

［7］ Dingni He，Peizhen Huang.A finite-element analysis of intragranular microcracks in metal interconnects due to surface diffusion induced by stress migration.Comp.Mater.Sci，2014，87：65－71.

［8］ 徐春風(fēng)，黃佩珍.力、電作用下沿晶微裂紋系統(tǒng)演化的仿真分析［J］.系統(tǒng)仿真技術(shù)，2012，8（2）：99－104.XU Chunfeng，HUANG Peizhen.Simulation and Analysis of the Evolution of Transgranular Microcracks System Induced by Stress and Electric Field［J］.System Simulation Technology，2012，8（2）：99－104.

［9］ Herring C.Surface tension as amotivation for sintering，Kingston WE，The Physics of Powder Metallurgy，1951［Z］.McGraw-Hill，New York，1951.

［10］ Shibutani T，Kitamura T，Ohtani R.Creep cavity growth under interaction between lattice diffusion and grainboundary diffusion［J］.Metallurgical and Materials Transactions A，1998，29（10）：2533－2542.

杜杰鋒 男（1990－），浙江紹興人，碩士，主要研究方向為微結(jié)構(gòu)演化。

黃佩珍 女（1972－），浙江浦江人，教授，博士，主要研究方向為工程問題的力學(xué)建模與數(shù)值仿真。

Numerical Simulation of the Intergranular Microcracks Evolution in Copper Due to Surface Diffusion

DU Jiefeng，HUANG Peizhen

（State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

Based on the classical theory of surface diffusion and evaporation-condensation along w ith its weak statement，a finite element program is developed for simulating the evolution of intergranular microcracks in Copper due to surface diffusion induced by stressm igration.The results show that there exists critical values of the stress and the aspect ratiofor the intergranular microcrack under the biaxial tensile stress.When the stress or the aspect ratio is less than the critical values，the microcrack w ill directly evolve into a cylinder.When the stress or the aspect ratio is equal or greater than the critical values，itw ill grow and split into three smallmicrocracks along the grain boundary.The splitting time of the intergranularm icrocrack reduces w ith increasing the stress or the aspect ratio，which means that the increase of the stress and the aspect ratio w ill accelerate the splitting process.The critical values of the stress and the aspect ratio decrease when the tress and the aspect ratio increase，that is，the increases of the stress and the aspect ratio are beneficial to themicrocrack splitting.In addition，the higher of the ratio between the grain-boundary energy and the surface energy，the shorter of the splitting time w ill be.

intergranular microcrack；surface diffusion；stress m igration；finite element method； microcrack splitting

TG 113

A

江蘇省自然科學(xué)基金資助項目（BK20141407）；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項目