對圓錐曲線中的一道試題的探究和思考

☉江蘇省如皋市第一中學 陳山云

對圓錐曲線中的一道試題的探究和思考

☉江蘇省如皋市第一中學 陳山云

圓錐曲線是解析幾何中的重點，歷來都是高考的重點、熱點、難點，在高考試卷中占有很大的比例.在解決圓錐曲線范圍、最值問題時主要策略是：函數(shù)思想、不等式思想、數(shù)形結(jié)合思想.其中，在解填空題時，切忌“小題大做”，這時候的數(shù)形結(jié)合、巧用定義其實是一種很好的方法.如果方法不當，我們可能會感慨“時間都去哪兒啦”，從而導致考試時間不夠用.

其實，學生的潛能和智慧是無窮無盡的.課堂是學生思維提升的主陣地，有效的數(shù)學課堂需要學生思維的積極加盟.新課程倡導“以人為本”的理念，強調(diào)教師是學生學習活動的引導者，而學生是學習的主人.教師應當在課堂中創(chuàng)設一種民主、和諧的教學氛圍，促進生生互動、師生互動，讓學生最大限度地參與教學活動，使思維活動成為課堂的主角.有時學生的思維活動會給我們意外的收獲.

筆者在課堂上遇到一道圓錐曲線試題，這與2009年浙江省杭州市高考數(shù)學二模試卷（理科）第9題類似，接下來我們先看看下面的試題以及學生的不同解法.

又因在Rt△OMT中，|OT|=1，根據(jù)勾股定理可以求出|MT|

生2：我認為以上解法比較煩瑣，既然點P在雙曲線上，我們可以試試用定義解題.

解：設雙曲線的右焦點為F1，連接PF1.

由M為FP的中點，O為FF1的中點，得

在直角三角形OFT中，易求得|FT|=3，而|MT|=|FT|-|FM|=3|PF|，則|OM|-|MT||PF1|-（|PF1|+|PF|）-3.

設|PF1|=x，則|PF|=2+x.

到此，只要求出x即可

事實上，在直角三角形OMT中，由|OM|2=|OT|2+|MT|2，可得

生3：既然生2都已經(jīng)想到了雙曲線定義的應用，那么我們?yōu)槭裁床荒軐⒍x進行到底呢？請看以下解法.

在直角三角形OMT中，由|OM|2=|OT|2+|MT|2，即|OM|2-|MT|2=|OT|2，得（|OM|-|MT|）（|OM|+|MT|）=1，故|OM|-|MT|=

此時，同學們都沉浸在剛才同學解法的思考中，這時，又一位同學（生4）站起來說，我的方法與學生3的方法一樣，可答案怎么不一樣呢？后來發(fā)現(xiàn)生4畫圖時將點M畫在點T的上方，故有

問題就在于點M的位置變了，那么，點M究竟在何處呢（相對于點T）？事實上，從生1的方法中，根據(jù)求出的M點的坐標，我們可以判斷點M的位置在點T的左下方.所以生4的方法看上去很簡單，但圖形出錯，結(jié)果也就不對

了.當點M在點T的左下方時，|MT|=|FT|-|FM|=b

這時候，我們應該會考慮到這樣一個問題：點M可能在點T的右上方嗎？如果有可能的話，會是什么情況下的呢？接下來，我們來看2009年浙江省杭州市高考數(shù)學二模試卷（理科）第9題.

說明：這是一道選擇題，答案是選項：b-a.但筆者個人認為此答案只是其中的一種情況.以下是筆者的想法，希望能與你共享.

分析：在a與b不確定的情況下，筆者個人認為這個答案是不對的.首先，為了讓直線FT與雙曲線的右支有交點，根據(jù)對稱性，不妨設直線FT的斜率不小于0，借助

解：（仿照生1的解法）由題意可以求出F（-c，0）.由于|OT|=a，不難求出|FT|=b，故直線FT的斜率為

由直線FT與圓x2+y2=a2相切于點T，不難求出點T的橫坐標為

當xM-xT>0，即M點在T點的右上方時，a

當xM-xT<0，即M點在T點的左下方時，b>2a，此時有：

在直角三角形OMT中，由|OM|2=|OT|2+|MT|2，即|OM|2-|MT|2=|OT|2，得（|OM|-|MT|）（|OM|+|MT|）=a2，故|OM|-|MT|=

當xM-xT=0，即M與T重合時，b=2a，此時有：

|OM|-|MT|=|OM|=|OT|=a.

綜上所述，（1）當a

我們回過頭來再看試題，a=1，b=3，滿足以上第二種

回顧以上解法，我們會不由自主地感慨利用圓錐曲線的定義解題的巧妙之處.方法的選擇決定了解題速度、運算量的大小，圓錐曲線的定義無處不在，在我們解決這一類問題時，應該充分利用定義，一切的變化都源于定義，所以說定義就是我們解決此類問題的一把利器，當然要好好利用才對！近幾年高考對圓錐曲線的考查，大多題目煩瑣，解答過程復雜.但如果能透徹理解圓錐曲線的定義，將會使問題化繁為簡.時刻不忘定義會讓我們的同學在考場上解決圓錐曲線相關問題時不至于無從下手！