三角函數(shù)恒等變換七字訣

唐興隆

眾所周知，三角函數(shù)是高考中的必考題之一。而考試題型一般有兩種，一是考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二是考查三角形中的三角函數(shù)問題。而無論是哪一種，都離不開三角恒等變換，而三角恒等變換又是以三角函數(shù)定義和眾多公式的理解和記憶為基礎(chǔ)的，能否熟練理解和記憶公式、應(yīng)用公式成為能否得滿分的關(guān)鍵。而我在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中有兩個難點：一是在記憶公式時，只能死記硬背。二是應(yīng)用公式時只能堆砌公式，不能將公式用活。那么如何解決這個問題呢？教學(xué)中應(yīng)從哪幾個方面下工夫呢？下面結(jié)合自己的教學(xué)體會談兩點看法。

一、記憶公式三字訣：順、逆、變

要記憶公式，首先要搞清公式的來龍去脈，理解其推導(dǎo)過程。教學(xué)中要求每個同學(xué)都能自己推出公式，因為推導(dǎo)過程中有很多思維方法在后面解題時還會用到。然后從順用、逆用、變用三個方面加深對公式的認(rèn)識和理解，避免死記硬背。

例一：（2013·江西高考文科）若sin=，則cos a=（ ）

A.- B.- C. D.

【解題指南】直接利用二倍角的余弦公式即可.

【解析】選C.cos α=1-2sin2=1-=.

例二：（2013·新課標(biāo)全國Ⅱ高考文科）已知sin 2α=，則

cos2（α+）=（ ）

A. B. C. D.

【解題指南】利用“降冪公式”將cos2（α+）化簡，建立與

sin 2α的關(guān)系，可得結(jié)果.

【解析】選A.因為cos2（α+）===，所以cos2（α+）===，選A.

二、解題的思維方向四統(tǒng)一：角、名、冪、形

在解題時如何應(yīng)用公式？如何思考呢？要在教學(xué)中給學(xué)生創(chuàng)設(shè)情景，引導(dǎo)學(xué)生觀察題目中的角有哪些，函數(shù)名稱有哪些，每一項的次數(shù)是多少，結(jié)構(gòu)是怎樣的。特別是角的差異，名稱的差異，冪的差異，結(jié)構(gòu)的差異。然后考慮如何應(yīng)用公式逐漸縮小差異，最終形成統(tǒng)一，即統(tǒng)一角，統(tǒng)一名稱，統(tǒng)一次數(shù)，統(tǒng)一結(jié)構(gòu)。最終完成恒等變換，化繁為簡。

例三：化簡：sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-cos2α·cos2β= .

方法一：（從“角”入手，復(fù)角→單角）

原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-·（2cos2α-1）·（2cos2β-1）

=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-·（4cos2α·cos2β-2cos2α-2cos2β+1）

=sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β-

=sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β-

=sin2β+cos2β-=1-=

方法二：（從“名”入手，異名化同名）

原式=sin2α·sin2β+（1-sin2α）·cos2β-cos2α·cos2β

=cos2β-sin2α（cos2β-sin2β）-cos2α·cos2β

=cos2β-sin2α·cos2β-cos2α·cos2β

=cos2β-cos2β·（sin2α+cos2α）

=-cos2β·[sin2α+（1-2sin2α）]

=-cos2β=.

方法三：（從“冪”入手，利用降冪公式先降次）

原式=·+·-cos2α·cos2β=（1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β）+（1+cos2α·cos2β+

cos2α+cos2β）-cos2α·cos2β=.

方法四：（從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方）

原式=（sinα·sinβ-cosα·cosβ）2+2sinα·sinβ·cosα·cosβ-cos2α·cos2β

=cos2（α+β）+sin2α·sin2β-cos2α·cos2β

=cos2（α+β）-·cos（2α+2β）

=cos2（α+β）-·[2cos2（α+β）-1]=.

答案：

綜上所述，若想學(xué)生全面把握三角恒等變換的技巧和方法，首先必須要求學(xué)生從順、逆、變?nèi)齻€方面牢記公式，然后從角、名、冪、形四個思維方向加強(qiáng)對學(xué)生的指導(dǎo)和訓(xùn)練，方能完美。

編輯 王團(tuán)蘭