冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法

王志英

【摘要】求冪指函數(shù)導(dǎo)數(shù)對(duì)高職學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，本文對(duì)冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法做一總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】函數(shù) ?導(dǎo)數(shù) ?偏導(dǎo)數(shù)

【中圖分類號(hào)】G71 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）05-0137-01

形如y=u（x）V（x）稱為冪指函數(shù)。例如，y=xcosx、y=（1+x2）2x均為冪指函數(shù)。

冪指函數(shù)既不是冪函數(shù)，也不是指數(shù)函數(shù)，因此在求導(dǎo)時(shí)不能使用冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式。下面舉例說明其求導(dǎo)方法。

（一）用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

定理：若函數(shù)u=？準(zhǔn)（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)y=f（u）在相應(yīng)的點(diǎn)u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[？準(zhǔn)（x）]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且■=■·■.

例1：求函數(shù)y=xcosx的導(dǎo)數(shù)。

解：由于y=xcosx=elnx■=ecosxlnx，于是它可以分解為y=eu，u=cosxlnx，所以■=■·■=eu·（-sinxlnx+■）=xcosx·（-sinxlnx+■）

說明：使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求冪指函數(shù)的關(guān)鍵在于正確分解復(fù)合函數(shù)，分解冪指函數(shù)是一個(gè)難點(diǎn)。

（二）用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是先在y=f（x）兩邊求對(duì)數(shù)，然后使用隱函數(shù)求導(dǎo)法則求其導(dǎo)數(shù)。

例2：求函數(shù)y=（1+x2）2x的導(dǎo)數(shù)。

解：先在兩邊求對(duì)數(shù)得 ?lny=2xln（1+x2）

上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

■·■=2ln（1+x2）+2x·■

所以 ■=y·2ln（1+x2）+■=2（1+x2）2x·ln（1+x2）+■ ? ? ? 說明：在掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法則后，使用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就比較容易了。

（三）用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

在分解冪指函數(shù)y=xx時(shí)，學(xué)生經(jīng)常分解為y=uV，u=x，v=x，這樣分解后y是關(guān)于u和v的二元函數(shù)，u和v是關(guān)于x的函數(shù)，此時(shí)可以利用二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求其導(dǎo)數(shù)。

定理：如果設(shè)u=？準(zhǔn)（x）及v=？漬（x）都在點(diǎn)x可導(dǎo)， 函數(shù)z=f（u，v）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（u，v）有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則復(fù)合函數(shù)z=f（？準(zhǔn)（x），？漬（x））在點(diǎn)x可導(dǎo)，且 ■=■·■+■·■。

例3：求函數(shù)y=xx■的導(dǎo)數(shù)。

解：令u=x，v=x2，則y=uv，于是

■=■·■+■·■=vuv-1+uvlnu·（2x）

=x2·xx■-1+xx■lnx·（2x）

=xx■+1+2xx■+1lnx=xx■+1（1+2lnx）

說明：在掌握偏導(dǎo)數(shù)求法后，才可以使用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙佳音.《高等數(shù)學(xué)》，北京大學(xué)出版社.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，《高等數(shù)學(xué)》，高等教育出版社.