證明不等式的“減項(xiàng)”策略

陜西省武功縣教育局教研室 李 歆 (郵編：712200)

證明不等式的“減項(xiàng)”策略

陜西省武功縣教育局教研室 李 歆 (郵編：712200)

在初等數(shù)學(xué)符號(hào)里, “+”與“-”既是兩個(gè)簡(jiǎn)單的運(yùn)算符號(hào),又是兩個(gè)重要的性質(zhì)符號(hào),它們互相對(duì)立,又互相轉(zhuǎn)化,成為表現(xiàn)數(shù)學(xué)思維最基本的語(yǔ)言形式.在數(shù)學(xué)解題中,變“+”為“-”,或者變“-”為“+”,常常可以實(shí)現(xiàn)思維方向的大轉(zhuǎn)移.本文介紹的“-項(xiàng)”策略，就是在不等式的分式項(xiàng)(將分子看成1)前面通過(guò)添加一個(gè)“-”號(hào)后，對(duì)其分母使用均值不等式而不改變不等號(hào)方向的一種證明方法，這種方法不僅入手快,目標(biāo)明,而且規(guī)律性強(qiáng),操作簡(jiǎn)便,可以引發(fā)我們對(duì)這類不等式的進(jìn)一步思考與研究.下面舉例說(shuō)明.

例1 (2003年北京市高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)a、b、c為正實(shí)數(shù),求證:

①

以上三式相加,得

評(píng)注 對(duì)①式稍作變化,則可以證明本題的兩個(gè)類似題:

類似1 設(shè)a、b、c為正實(shí)數(shù),求證:

類似2 設(shè)a、b、c為正實(shí)數(shù),求證:

由42=(a+c+b+d)2≥4(a+c)(b+d)=4(ab+bc+cd)，得ab+bc+cd+da≤4，

例3(2010年首屆陳省身杯全國(guó)高中數(shù)學(xué)奧林匹克) 設(shè)正實(shí)數(shù)a、b、c滿足a3+b3+c3=3，證明:

②,

由“權(quán)方和不等式”得

即a+b+c≤3，

③

由柯西不等式,得

例5 (2011年克羅地亞數(shù)學(xué)奧林匹克)設(shè)a、b、c>0，且a+b+c=3，求證:

④

⑤

由柯西不等式,得

3(a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)2

≥3(b+c+a)(ab+bc+ca)

評(píng)注 若將④式和⑤式分別變?yōu)?

則可以證明本題的一個(gè)推廣:設(shè)a、b、c>0，且a+b+c=3，n∈N+，求證:

1 安振平.三十個(gè)有趣的不等式問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2011(11):58

2 徐文兵.證明不等式的搭橋術(shù)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2012(9):58-59

2014-12-26)