張 峰,謝振華,程江濤,崔高侖,李 林
(海軍航空工程學(xué)院青島校區(qū),山東 青島 266041)
基于主成分的改進(jìn)馬氏距離TOPSIS方法
張 峰,謝振華,程江濤,崔高侖,李 林
(海軍航空工程學(xué)院青島校區(qū),山東 青島 266041)
針對指標(biāo)變量線性相關(guān),導(dǎo)致變量協(xié)方差矩陣行列式(廣義樣本方差)為零無法應(yīng)用馬氏距離的情況,采用主成分分析法對指標(biāo)變量進(jìn)行線性組合,在不減少信息量的同時(shí),得到少數(shù)幾個(gè)不相關(guān)的主成分,由主成分構(gòu)成的協(xié)方差矩陣行列式不再為零。依據(jù)降維后的主成分變量,采用基于馬氏距離的逼近理想解法對五種預(yù)警機(jī)探測引導(dǎo)能力進(jìn)行了排序,經(jīng)檢驗(yàn)其結(jié)果與實(shí)際情況相符。
逼近理想解法(TOPSIS),主成分,馬氏距離,廣義樣本方差
TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)法[1-3]是多屬性決策法的一種,它計(jì)算簡便、評估結(jié)果合理、易于被人們理解,因此應(yīng)用廣泛。但TOPSIS法存在不足之處[4]:與理想解歐式距離近的方案可能與負(fù)理想解的歐式距離也近,因此,按歐式距離計(jì)算方案的相對貼進(jìn)度并不能反映出方案的優(yōu)劣性。文獻(xiàn)[5]采用基于垂面距離的正交投影法對TOPSIS法進(jìn)行了改進(jìn),消除了上述的不足,但在以理想解點(diǎn)與負(fù)理想解點(diǎn)連線為法向量的平面上的方案點(diǎn)與理想解點(diǎn)和負(fù)理想解點(diǎn)的歐氏距離都相同,故無法對這些方案點(diǎn)進(jìn)行排序。此外,由于方案的指標(biāo)之間難免會(huì)有重復(fù)的信息,此法無法消除指標(biāo)間的重復(fù)信息,因此,基于垂面距離的正交投影法存在很大缺陷。為了消除以上不足,文獻(xiàn)[6]從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度出發(fā),引入基于統(tǒng)計(jì)原理的馬氏距離來度量方案點(diǎn)之間的距離,且消除了指標(biāo)間的重復(fù)信息,科學(xué)、合理地對方案進(jìn)行了排序。但是,該方法受制于指標(biāo)變量協(xié)方差矩陣為可逆矩陣的限制,如果指標(biāo)向量組線性相關(guān)則無法計(jì)算方案點(diǎn)與理想解點(diǎn)的馬氏距離。因此,本文應(yīng)用主成分分析法(principle component analysis,PCA)[7]對指標(biāo)變量進(jìn)行信息無損失壓縮,即對指標(biāo)變量進(jìn)行線性組合,得到少數(shù)幾個(gè)不相關(guān)的主成分,因主成分的協(xié)方差矩陣為可逆矩陣,從而可以計(jì)算方案點(diǎn)與理想解點(diǎn)和負(fù)理想解點(diǎn)的馬氏距離,依據(jù)各方案與理想方案的貼進(jìn)度對五種預(yù)警機(jī)的探測引導(dǎo)能力進(jìn)行了合理排序。
1.1 傳統(tǒng)TOPSIS法介紹
1.1.1 TOPSIS法概述
TOPSIS法是由Hwang等[8]于1981年首次提出的一種適用于根據(jù)多屬性指標(biāo)對多個(gè)評價(jià)對象進(jìn)行比較選擇的分析方法。它采用加權(quán)歐氏距離作為一種測度,來度量各備選方案與理想方案和負(fù)理想方案的距離,并依據(jù)各備選方案與理想方案的相對貼進(jìn)度進(jìn)行排序。
1.1.2 TOPSIS法基本原理
TOPSIS法的應(yīng)用步驟如下[9]:
Step 1:構(gòu)建樣本數(shù)據(jù)的評價(jià)矩陣
該矩陣中,m表示評價(jià)方案的數(shù)量,n表示屬性指標(biāo)數(shù)量,xij表示第i(i=1,2,…,m)個(gè)評價(jià)方案的第j(j=1,2,…,n)個(gè)屬性指標(biāo)所對應(yīng)的原始指標(biāo)值。
Step 2:對矩陣A進(jìn)行歸一化處理,同時(shí)消除不同屬性指標(biāo)之間的量綱與數(shù)量級(jí)影響,從而解決屬性指標(biāo)不可公度問題,即:
其中rij表示第i個(gè)評價(jià)對象在第j個(gè)屬性指標(biāo)下所對應(yīng)的經(jīng)過歸一化處理后的指標(biāo)值。
Step 3:將權(quán)重矩陣W=(W1,W2,…,Wn)右乘評價(jià)矩陣得到價(jià)值矩陣:
Step 4:確定理想解S+與負(fù)理想解S-,即
其中,J+為效益型指標(biāo),J-為成本型指標(biāo)。
Step 5:分別計(jì)算第i個(gè)評價(jià)方案到理想解S+的距離以及到負(fù)理想解S-的距離Di-,即:
Step 6:計(jì)算各評價(jià)方案相對貼近度
1.1.3 傳統(tǒng)TOPSIS法的缺點(diǎn)分析
傳統(tǒng)TOPSIS計(jì)算簡單,易于理解,但存在許多缺陷:①與理想解歐式距離近的方案可能與負(fù)理想解的歐式距離也近,無法對方案進(jìn)行排序;②變化程度不同的坐標(biāo)在歐氏距離計(jì)算時(shí)起著相同的作用,可變性大的指標(biāo)加權(quán)應(yīng)該小于可變性小的指標(biāo);③不同指標(biāo)向量存在一定程度的相關(guān)性,即:Cov(xi,xj)≠0(i≠j),這意味著指標(biāo)信息重復(fù),因此應(yīng)用歐氏距離不合理。
1.2 基于正交投影的TOPSIS法的介紹
在對傳統(tǒng)TOPSIS法的改進(jìn)過程中,有許多學(xué)者引入基于垂面距離的正交投影法[5],正交投影法是以與理想解的“垂面”距離作為判斷方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn),它將待評方案點(diǎn)投影到理想解點(diǎn)與負(fù)理想解點(diǎn)連線上,與理想解“垂面”距離近且與負(fù)理想解的“垂面”距離遠(yuǎn),從而克服了上面述及傳統(tǒng)TOPSIS法的第1個(gè)缺陷,但沒有對第2個(gè)、第3個(gè)缺陷作出改進(jìn)。
1.3 基于馬氏距離的TOPSIS法介紹
1.3.1 馬氏距離概述
馬氏距離[10]是印度統(tǒng)計(jì)學(xué)家Mahalanobis于1936年提出的一種統(tǒng)計(jì)距離,由于該距離獨(dú)立于測量尺度,不受坐標(biāo)之間的量綱影響,采用標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)表達(dá)式作為指標(biāo)的權(quán)重,使得指標(biāo)變化值大的內(nèi)化權(quán)重賦值小,克服了在測度距離時(shí)各個(gè)變化程度不同的指標(biāo)起相同作用這個(gè)缺點(diǎn),并排除了變量之間不同程度的相關(guān)性的干擾。
1.3.2 基于馬氏距離的TOPSIS法基本原理[8]
Step 1:構(gòu)建第i個(gè)待評方案、理想解方案和負(fù)理想解方案向量
Step 2:第i個(gè)待評方案與理想解方案和負(fù)理想解方案之間的馬氏距離分別為:
其中,C為n個(gè)屬性變量的協(xié)方差矩陣,且為對稱矩陣,即
式中C-1為協(xié)方差矩陣的逆矩陣,第i個(gè)變量與第j個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)為ρij,σi為第i個(gè)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。
1.3.3 現(xiàn)有馬氏距離TOPSIS法的不足
計(jì)算馬氏距離時(shí),需要計(jì)算C-1,若廣義樣本方差,意味著構(gòu)成協(xié)方差矩陣的n個(gè)列向量線性相關(guān),無法應(yīng)用馬氏距離。
鑒于上面述及的如果指標(biāo)向量線性相關(guān),無法計(jì)算C-1的情況,本文引入主成分分析法對矩陣A進(jìn)行降維處理,即用少數(shù)k個(gè)主成分來代替n個(gè)屬性指標(biāo),且k個(gè)主成分和n個(gè)屬性指標(biāo)所包含的信息相同。具體計(jì)算步驟如下:
Step 1[11]:對初始A進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理
其中,
Step 2:計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的相關(guān)矩陣
Step 3:求相關(guān)矩陣的特征值—特征向量對(λ1,e1),(λ2,e2),…,(λm,em),其中,λ1≥λ2≥…≥λm≥0。則第i個(gè)主成分為:
Step 4:利用降維后的主成分指標(biāo)矩陣,依據(jù)基于馬氏距離的TOPSIS法進(jìn)行計(jì)算,得出相應(yīng)的貼進(jìn)度。
3.1 改進(jìn)馬氏距離TOPSIS方法計(jì)算過程
設(shè)五種預(yù)警機(jī)分別為E-2C、E-3A、A-50、Falcon、E-2T,用V=(v1,v2,v3,v4,v5)表示,其探測引導(dǎo)能力指標(biāo)有雷達(dá)最大探測距離、雷達(dá)搜索總方位角、雷達(dá)體制、可同時(shí)跟蹤目標(biāo)數(shù)、可同時(shí)引導(dǎo)作戰(zhàn)飛機(jī)數(shù),用X=(x1,x2,x3,x4,x5)表示。
鑒于預(yù)警機(jī)保密原因及資料準(zhǔn)確程度的問題,算例中的數(shù)值為估算值。此外,為了本文計(jì)算的需要,特將預(yù)警機(jī)探測引導(dǎo)能力指標(biāo)向量組設(shè)計(jì)為線性相關(guān),其具體數(shù)值如表1所示。
表1 預(yù)警機(jī)探測引導(dǎo)能力評估指標(biāo)數(shù)值
計(jì)算初始指標(biāo)向量的相關(guān)矩陣R,其特征值-特征向量對如表2所示。
表2 相關(guān)矩陣特征值-特征向量對
利用降維后的主成分指標(biāo)矩陣,依據(jù)基于馬氏距離的TOPSIS法進(jìn)行計(jì)算,得出相應(yīng)的貼進(jìn)度如表4所示。
表3 各預(yù)警機(jī)的相對貼進(jìn)度及排名
3.2 評價(jià)結(jié)果分析
采用傳統(tǒng)的TOPSIS方法的相應(yīng)的貼進(jìn)度及排名如表4所示。
表4 各預(yù)警機(jī)的相對貼進(jìn)度及排名
采用正交投影的TOPSIS方法的相應(yīng)的貼進(jìn)度及排名如表5所示。
表5 各預(yù)警機(jī)的相對貼進(jìn)度及排名
通過對比分析知,采用傳統(tǒng)的TOPSIS方法和正交投影的TOPSIS方法的排序結(jié)果一致,為v2v1v5v4v3,而采用改進(jìn)馬氏距離的TOPSIS方法結(jié)果為v2v5v4v3v1。三種方法均將排在首位,且v5v4v3的排序結(jié)果一致,不同的是前兩種方法對v5和v1的排序?yàn)関1v5,而采用改進(jìn)馬氏距離的TOPSIS方法結(jié)果為v5v1,且v3v1,結(jié)合實(shí)際情況可知,預(yù)警機(jī)E-2T與E-2C相比在雷達(dá)最大探測距離和可同時(shí)引導(dǎo)作戰(zhàn)飛機(jī)數(shù)兩個(gè)指標(biāo)數(shù)值上都具有一定的優(yōu)勢,因此,v5v1更合理。此外,由于五種預(yù)警機(jī)雷達(dá)體制指標(biāo)數(shù)值比較接近,因此,內(nèi)化于馬氏距離之中的權(quán)重小,實(shí)際預(yù)警機(jī)雷達(dá)體制對其探測引導(dǎo)能力影響很大,所以v3v1相對比較準(zhǔn)確。前兩種方法與第三種方法計(jì)算的排序結(jié)果不一致的原因是前兩者都存在指標(biāo)信息重復(fù)、且指標(biāo)相關(guān)等問題,后者消除了這兩個(gè)原因,更科學(xué)合理地對預(yù)警機(jī)的探測引導(dǎo)能力進(jìn)行了排序。
本文針對廣義樣本方差為零,無法計(jì)算變量協(xié)方差矩陣逆矩陣的情況,采用主成分分析方法對變量進(jìn)行降維處理,進(jìn)而計(jì)算出協(xié)方差矩陣逆矩陣,應(yīng)用馬氏距離度量了各方案與理想方案的貼進(jìn)程度,最后對預(yù)警機(jī)的探測引導(dǎo)能力進(jìn)行了排序。但是如何在協(xié)方差矩陣為非正定矩陣時(shí)計(jì)算馬氏距離的問題沒有涉及,應(yīng)該在這一方面開展相應(yīng)的研究。
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Method to Improved Mahalanobis Distance of TOPSIS Based on Principal Component
ZHANG Feng,XIE Zhen-hua,CHENG Jiang-tao,CUI Gao-lun,LI Lin
(Qingdao Branch,NAAU,Qingdao 266041,China)
Aim at the thing that indexes are linear correlative,which lead to the emergence of the thing that determinants of covariance matrix of variables(generalized sample-variance)is zero.In this condition,mahalanobis distance calculation can’t go along.Principal component analysis is adopted to combine indexes linearly.At the same time,a few irrelevant principal components are attained,and the indexes information isn’t decreased;accordingly,determinants of covariance matrix of principal components isn’t zero.The method to Mahalanobis distance of TOPSIS based on principal component is adopted to calculate performance guidance of five kinds of early-warning aircraft,and list in order of size. The results are verified by the fact.
TOPSIS,principal component,Mahalanobis distance,generalized sample-variance
TPO159;E92
A
1002-0640(2015)03-0092-04
2014-02-18
2014-03-11
張 峰(1979- ),男,山東淄博人,博士研究生,工程師。研究方向:武器裝備綜合保障理論與技術(shù),多屬性決策評估。