基于二次測(cè)量的曲面反求自適應(yīng)采樣方法研究*

□ 郭俊鋒 □ 岳秀超 □ 魏興春

蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 蘭州 730050

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片無損檢測(cè)［1］中，超聲檢測(cè)［2］因其指向性好、穿透力強(qiáng)得到了廣泛應(yīng)用。超聲波垂直反射的特性，要求超聲檢測(cè)過程中探頭的入射方向要始終垂直于葉片表面［3］，這就需要從葉片CAD模型獲得葉片曲面信息。但是由于涉及到商業(yè)機(jī)密，用戶往往不能夠從生產(chǎn)廠家獲得葉片的CAD模型，這就需要運(yùn)用曲面反求技術(shù)獲得葉片的CAD模型。

曲面反求是指根據(jù)實(shí)物模型測(cè)得曲面數(shù)據(jù)信息，構(gòu)造出曲面CAD模型［4-5］，即利用三維數(shù)據(jù)測(cè)量設(shè)備檢測(cè)曲面的三維數(shù)據(jù)信息，根據(jù)獲得的曲面數(shù)據(jù)信息構(gòu)造出滿足擬合精度要求的曲面CAD模型［6］。曲面三維數(shù)據(jù)信息能否全面地反映曲面曲率變化，對(duì)于曲面擬合精度有著重要的影響。擬合曲面是否精準(zhǔn)，對(duì)超聲檢測(cè)過程中能否發(fā)現(xiàn)曲面缺陷有著重要的影響，因此在曲面反求過程中，采樣方法要能夠提高曲面反求的精度。

目前，對(duì)于曲面模型未知的情況一般采用等間距采樣，即三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在采樣方向上等間隔地進(jìn)行點(diǎn)的數(shù)據(jù)采樣。但等間隔采樣方法采樣點(diǎn)的分布不能反映曲面曲率變化，在檢測(cè)點(diǎn)數(shù)目一定的情況下，得到的反求曲面精度低于采用自適應(yīng)采樣方法［7］得到的反求曲面精度。

數(shù)學(xué)模型未知曲面應(yīng)用自適應(yīng)采樣方法的關(guān)鍵就是獲取曲面曲率變化信息，目前主要有兩種方法:①基于探路法的自適應(yīng)采樣［8］；② 視覺傳感器導(dǎo)航預(yù)測(cè)法［9］。兩種方法除了三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)外，還需要專用的輔助設(shè)備，不適用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的檢測(cè)。

筆者提出了基于二次測(cè)量的曲面反求變弧長(zhǎng)自適應(yīng)采樣方法，第一次利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)未知曲面測(cè)量少數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)據(jù)信息，擬合出初始曲面，獲得未知曲面的基本曲率信息；基于這些曲率信息，第二次進(jìn)行曲面變弧長(zhǎng)自適應(yīng)采樣測(cè)量，從而重構(gòu)出曲面的精確CAD模型。

1 基于杠桿原理的變弧長(zhǎng)自適應(yīng)采樣方法

曲面反求過程中，采樣點(diǎn)的分布要隨曲率的變化而變化，即在曲率大處采樣點(diǎn)密，反之采樣點(diǎn)稀疏。等弧長(zhǎng)自適應(yīng)采樣是簡(jiǎn)單、易用的自適應(yīng)采樣方法，但用這種方法采樣的點(diǎn)，其分布不能完全反映曲面曲率變化，有一定的局限性。本文基于杠桿原理提出了變弧長(zhǎng)自適應(yīng)采樣方法。

1.1 曲率與檢測(cè)點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)模型建立

等弧長(zhǎng)法是自適應(yīng)采樣中應(yīng)用比較多的方法，該采樣方法在一定程度上反映了曲率變化信息，曲率大處采樣點(diǎn)密，曲率小處采樣點(diǎn)稀疏，但是該自適應(yīng)采樣方法不能準(zhǔn)確反映曲線曲率的變化。曲線某點(diǎn)的曲率和曲線平均曲率，與運(yùn)動(dòng)學(xué)中瞬時(shí)速度和平均速度類似，即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度 （如圖1所示），該弧段的平均彎曲程度也稱為平均曲率，記作K

▲圖1 平均曲率原理圖

式中：K為平均曲率；Δl為兩點(diǎn)間弧長(zhǎng)；Δα為曲線上兩點(diǎn)切線的夾角。

若每段弧長(zhǎng)所包含的曲率信息相同，即采樣點(diǎn)切線轉(zhuǎn)過的夾角相等（Δα1=Δα2），那么平均曲率大的弧段對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)較短，反之弧長(zhǎng)較長(zhǎng)。因此為了能夠使檢測(cè)點(diǎn)充分反映曲線曲率變化，弧長(zhǎng)應(yīng)隨曲率變化而變化。由物理學(xué)杠桿平衡原理可知：

式中：m1、m2為物體的質(zhì)量；x1、x2為物體到支點(diǎn)的距離。

要保持杠桿的平衡，物體質(zhì)量大的一邊離杠桿支點(diǎn)近，而質(zhì)量小的一邊離杠桿支點(diǎn)遠(yuǎn)，即x1＜x2，如圖2所示。

▲圖2 杠桿原理示意圖

曲線自適應(yīng)采樣在曲率大的位置采樣點(diǎn)間弧長(zhǎng)短，曲率小的位置采樣點(diǎn)間弧長(zhǎng)長(zhǎng)。因此基于杠桿原理的特點(diǎn)，可建立曲率與檢測(cè)點(diǎn)弧長(zhǎng)之間的數(shù)學(xué)模型。若曲線方程為 y=f（x），其中（a≤x≤b），a、b 為函數(shù)自變量上限與下限，則曲率計(jì)算公式為:

設(shè)曲線上 3 個(gè)點(diǎn) i、i+1、i+2，其曲率分別為 ki、ki+1、ki+2，與其對(duì)應(yīng)檢測(cè)點(diǎn)間弧長(zhǎng)分別為li、li+1，基于杠桿原理建立曲率與弧長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型：

因此便可在曲線曲率大處的檢測(cè)點(diǎn)間弧長(zhǎng)短，曲率小處的檢測(cè)點(diǎn)間弧長(zhǎng)長(zhǎng)。檢測(cè)點(diǎn)的分布反映曲線曲率的變化，因?yàn)榍€存在曲率為零的情況，為了使公式更具普遍性，對(duì)式（5）進(jìn)行了修正，在曲率上加了一個(gè)正數(shù)c，c值的大小可以調(diào)節(jié)采樣點(diǎn)間距隨曲率變化的程度，c值越小，采樣點(diǎn)間距隨曲率變化越大，反之變化小。最終建立曲率與采樣點(diǎn)間弧長(zhǎng)數(shù)學(xué)模型：

若已知曲線數(shù)學(xué)模型，如圖3所示，點(diǎn)i與li給定，可求得點(diǎn)i+1，并可計(jì)算出該點(diǎn)的曲率ki+1，則該點(diǎn)與下一個(gè)采樣點(diǎn)i+2間的弧長(zhǎng)li+1就可得到。

對(duì)于已知數(shù)學(xué)模型曲線，根據(jù)曲率公式可計(jì)算出曲率最大值kmax與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)（x0，y0），給定 kmax對(duì)應(yīng)點(diǎn)到下一采樣點(diǎn)弧長(zhǎng)為l0，l0取值應(yīng)略大于三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的最小采樣間隔。根據(jù)弧長(zhǎng)公式可計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)（x1，y1）和該點(diǎn)的曲率k1，給定 c 的值，便可計(jì)算出點(diǎn)（x1，y1）到下一個(gè)采樣點(diǎn)（x2，y2）對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng) l1：

依次可計(jì)算出（x2，y2）、…、（xn，yn）與 l2、…、ln，設(shè)曲線總弧長(zhǎng)為l，則有以下關(guān)系：

▲圖3 變弧長(zhǎng)采樣示意圖

計(jì)算弧長(zhǎng)所得的弧長(zhǎng)之和會(huì)出現(xiàn)大于l的情況，則此時(shí)點(diǎn)（xn，yn）為曲線的端點(diǎn)。

1.2 等弧長(zhǎng)采樣與變弧長(zhǎng)采樣擬合精度比較

對(duì)已知數(shù)學(xué)表達(dá)式的曲線分別運(yùn)用等弧長(zhǎng)采樣方法和變弧長(zhǎng)采樣方法進(jìn)行三次B樣條擬合驗(yàn)證。

已知曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

▲圖4 n=22時(shí)兩種采樣方法擬合精度比較

▲圖5 兩種采樣方法不同采樣點(diǎn)數(shù)的誤差示意圖

式中：x∈［0，10］，運(yùn)用式（3）計(jì)算得到，當(dāng) x=10 時(shí)，kmax=0.5859。

基于式（6），分別取 c=1、0.3、0.2、0.1，n=22、15、13、11，進(jìn)行等弧長(zhǎng)與變弧長(zhǎng)采樣。

基于這些采樣點(diǎn)，運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行三次B樣條曲線擬合并計(jì)算出與原曲線的誤差，如圖4所示，三次B樣條曲線可表示為：

式中：pj為已知的采樣點(diǎn)，這里作為特征多邊形頂點(diǎn)；u為參數(shù)，u∈［0，1］；Bj3（u）為三次 B 樣條基函數(shù)；P（u）為三次B樣條函數(shù)。

計(jì)算擬合曲線與原曲線誤差 e=|f（x）-P（u）|，得到最終誤差如圖4～圖6及表1所示。結(jié)果表明：①在采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)相同的情況下，變弧長(zhǎng)采樣擬合精度優(yōu)于等弧長(zhǎng)采樣；②隨著采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)的增大，兩種采樣方法擬合精度也在提高，但變弧長(zhǎng)采樣相對(duì)于等弧長(zhǎng)采樣擬合精度提高不明顯；③當(dāng)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)取適中，變弧長(zhǎng)采樣相對(duì)于等弧長(zhǎng)擬合精度提高最明顯。曲面反求過程中采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)既不能太多也不能太少，采樣點(diǎn)太多擬合精度提高不明顯，太少誤差變大。

▲圖6 初始采樣示意圖

2 基于二次測(cè)量的未知曲面變弧長(zhǎng)自適應(yīng)采樣策略

2.1 曲面曲率信息的獲取

對(duì)于未知自由曲面，由于曲面曲率信息未知，不能進(jìn)行自適應(yīng)采樣，因此采用二次測(cè)量的方法對(duì)未知曲面進(jìn)行重構(gòu),即利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)反映曲面形狀信息關(guān)鍵幾何要素（曲面邊緣線、截面形狀曲線）進(jìn)行采樣，重構(gòu)出初始曲面如圖7、8所示，得到未知曲面近似數(shù)學(xué)模型，獲取曲面曲率信息。

2.2 葉片自適應(yīng)采樣策略

葉片曲面形狀具有一定的特殊性，曲率變化在一個(gè)方向上劇烈，在另一方向上曲率變化緩慢?；讷@得的曲面曲率信息，確定采樣方向和進(jìn)給方向，如圖9所示。采樣點(diǎn)要盡可能依據(jù)曲面曲率信息分布，采樣方向應(yīng)選擇曲率變化比較劇烈的方向V,而曲率變化緩慢的方向U作為采樣進(jìn)給方向。曲面自適應(yīng)采樣除了在采樣方向上自適應(yīng)采樣，同時(shí)還要保證在進(jìn)給方向上的自適應(yīng)分布采樣。因此在規(guī)劃葉片自適應(yīng)采樣時(shí)，需通過重構(gòu)的初始曲面找出曲面邊緣線，確定進(jìn)給方向上的自適應(yīng)進(jìn)給，自適應(yīng)采樣流程如圖10所示。

表1 n=22時(shí)兩種采樣方法擬合誤差

▲圖7 初始曲面擬合圖

▲圖8 葉片曲面圖

▲圖9 葉片自適應(yīng)采樣策略圖

▲圖10 自適應(yīng)采樣流程圖

3 自適應(yīng)采樣仿真試驗(yàn)

為了驗(yàn)證方法的有效性，本文采用了已知CAD模型的自由曲面進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)已知曲面進(jìn)行初始離散，得到曲面關(guān)鍵幾何要素的離散點(diǎn)信息，擬合出曲面初始模型。根據(jù)得到的曲面初始模型，分別采用等弧長(zhǎng)、等弦弧比、等弦弧差和變弧長(zhǎng)4種自適應(yīng)采樣方法對(duì)初始曲面進(jìn)行離散，然后對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行曲面擬合，從而得到曲面精確模型。仿真試驗(yàn)步驟如下所述。

①對(duì)已知CAD模型曲面進(jìn)行離散，獲取曲面關(guān)鍵幾何要素（曲面邊緣線、截面線）離散點(diǎn)的坐標(biāo)信息；

②基于離散點(diǎn)坐標(biāo)信息，進(jìn)行曲面擬合，確定曲面的采樣方向與進(jìn)給方向；

③對(duì)曲面分別進(jìn)行自適應(yīng)離散，獲得離散點(diǎn)的坐標(biāo)信息；

④基于坐標(biāo)信息進(jìn)行曲面擬合，得到曲面精確模型并與原曲面進(jìn)行誤差分析。

多次模擬試驗(yàn)結(jié)果如表2、圖11所示，利用變弧長(zhǎng)自適應(yīng)采樣方法相對(duì)于等弧長(zhǎng)等自適應(yīng)采樣方法提高了模型的擬合精度，效果明顯：①當(dāng)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)相同時(shí)，變弧長(zhǎng)采樣策略曲面擬合精度優(yōu)于其它3種采樣策略。②采樣點(diǎn)過多或者過少，變弧長(zhǎng)采樣曲面擬合精度相對(duì)于等弧長(zhǎng)采樣曲面擬合精度提高的效果不太明顯，采樣點(diǎn)少則所有采樣方法都會(huì)遺漏曲面曲率信息，導(dǎo)致曲面擬合精度低，而采樣點(diǎn)過多所有采樣方法基本上都能包含所有曲面曲率信息，擬合精度比較高。③當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)目適中時(shí)，變弧長(zhǎng)采樣策略對(duì)曲面擬合精度提高最明顯。④本文提出的方法只需要一臺(tái)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)，無需任何輔助設(shè)備。

表2 不同采樣方法曲面擬合誤差

▲圖11 不同點(diǎn)數(shù)的等弧長(zhǎng)與變弧長(zhǎng)曲面擬合誤差示意圖

4 結(jié)論

對(duì)于航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片超聲無損檢測(cè)，針對(duì)葉片曲面反求問題，基于杠桿原理提出了變弧長(zhǎng)自適應(yīng)采樣方法，并基于此提出了基于二次測(cè)量的未知曲面反求變弧長(zhǎng)自適應(yīng)采樣策略。模擬仿真試驗(yàn)結(jié)果表明，變弧長(zhǎng)自適應(yīng)采樣方法重構(gòu)曲面精度優(yōu)于其他三種自適應(yīng)采樣方法，且無需其它的輔助設(shè)備，易于實(shí)現(xiàn)。

［1］耿榮生,景鵬.蓬勃發(fā)展的我國(guó)無損檢測(cè)技術(shù) ［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào),2013,49（22）：1-7.

［2］應(yīng)燁軍,劉松平.熔焊焊縫超聲掃描成像檢測(cè) ［J］.無損檢測(cè),2013,35（2）:23-28.

［3］吳思源,周曉軍,江健,等.超聲檢測(cè)中曲面重構(gòu)和路徑規(guī)劃方法研究［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版）,2006,40（5）:763-767.

［4］金濤,童水光.逆向工程技術(shù)［M］.北京：機(jī)械工程出版社,2003.

［5］周富強(qiáng),李章,張廣軍.基于三維測(cè)量掃描線點(diǎn)云的表面重建［J］.儀器儀表學(xué)報(bào),2006,27（6）:619-623.

［6］Brujic D,Ainsworth I,Ristic M.Fast and Accurate Nurbs Fitting for Reverse Engineering ［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2011,54（5-8）:691-700.

［7］來新民，黃田，陳關(guān)龍，等.自由曲面數(shù)字化的自適應(yīng)規(guī)劃［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào),1999,33（7）:837-841.

［8］盧科青,王文,陳子辰.未知自由曲面數(shù)字化自適應(yīng)采樣方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào),2010,46（9）:143-149.

［9］Carbone V,Corocci M,Savio E,et al.Combination of a Vision System and a Coordinate Measuring Machine for the Reverse Engineering ［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2001,17（4）:263-271.