有限元技術在基于能量平衡的機床動態(tài)設計中的應用

□ 徐廣晨 □ 翁澤宇 □ 張南南

1.營口理工學院 機電工程系 遼寧營口 115014

2.浙江工業(yè)大學 機電工程學院 杭州 310014

1 概述

隨著機械制造向著高速和精密加工方向的發(fā)展，對機床動態(tài)性能的要求也越來越高。在已知工作條件下，為滿足機床期望的動態(tài)性能，尋找機床最優(yōu)結構的過程就是機床的動態(tài)設計。美國UCA大學的G Bianchi等［1］將機床的動態(tài)設計與控制相結合，進行動態(tài)優(yōu)化設計；衣阿華州立大學的J M Vance與ISU研究中心的T P Yeh等［2］應用虛擬現(xiàn)實技術來進行機床結構的形狀優(yōu)化設計；天津大學的張學玲等［3］運用結構動態(tài)設計原理和有限元法的變量化分析技術，提出一種數(shù)控機床床身結構的動態(tài)設計方法和流程；昆明理工大學的尹志宏等［4］討論了利用優(yōu)化準則法優(yōu)化磨床主軸系統(tǒng)機械性能的基本過程，并探討了優(yōu)化準則法對機械結構進行優(yōu)化設計的優(yōu)越性。

在機床的動力分析和動態(tài)設計時，常見的模型有分布質量模型、集中參數(shù)模型和有限元模型三種。M Yoshimura和T Hoshi建立了單柱刨銑床分布質量動力學模型；1964年，Malitback和Toylor Tobias提出了用兩種簡單的單元連接集中質量建立動力學模型方法；1970～1971年間，國際生產(chǎn)工程研究協(xié)會CIRP對基于集中質量法建立機床動力學模型方法進行了聯(lián)合研究。為提高分析和設計精度，用更接近實際結構的模型來進行機床動態(tài)研究，一些學者把有限元法引入機床動態(tài)特性研究中。1968年，Stephan把有限單元模型應用于機床結構建模中［5］；到了20世紀90年代，隨著計算機科學的發(fā)展，許多商業(yè)的有限元軟件不斷成熟，在對復雜機械結構動力分析和動態(tài)設計方面，有限元法已成為一種應用廣泛的建模方法。

基于能量平衡的結構優(yōu)化方法研究同樣也取得了一定的成果，得到了廣泛的應用。M Yoshimura、T Hoshi等［6-8］對以發(fā)生再生顫振危險最小為目標，對模態(tài)柔度和能量平衡為基礎的動態(tài)優(yōu)化設計原理和方法進行了詳細的介紹；星鐵太郎［9］對基于能量平衡法的結構修改方法進行了系統(tǒng)研究，其核心是把結構的振動強度或動柔度限制在一定的范圍內(nèi)；哈爾濱工業(yè)大學機床教研室的張宗蘭［10］應用能量平衡原理，建立了光學曲線磨床的集中質量模型，對其進行了動態(tài)特性的研究,利用數(shù)學模型對機床進行了理論分析與計算,指出機床結構中的危險模態(tài)及薄弱環(huán)節(jié),并對薄弱部件提出優(yōu)化意見；湖南大學的熊萬里等［11］建立了高速精密電主軸單元的集中質量模型，采用模態(tài)柔度和能量平衡相結合的原理，找出電主軸單元的薄弱環(huán)節(jié)，然后在一定條件下，修改這些薄弱環(huán)節(jié)的結構設計參數(shù)，降低模態(tài)柔度，提高了優(yōu)化效率；上海交通大學機電分校的鄭偉中［12］利用能量平衡原理，采用集中質量模型對M1432A萬能外圓磨床砂輪架進行了能量分布計算，找出整機的薄弱部件，為后面的砂輪架部件的抗振優(yōu)化設計提供了理論基礎。

本文以有限元技術為基礎，應用基于能量平衡的結構優(yōu)化方法，通過能量的分析，進行結構動態(tài)特性的評價、修改及優(yōu)化。

2 能量計算及結構動態(tài)特性評價

整個系統(tǒng)在振動過程中的總能量是各子結構能量的總和。設整個結構A的第s個子結構以第r階模態(tài)振動時的最大慣性能為Tsr、最大彈性能為Vsr。由于能量是標量，整個結構A以第r階模態(tài)振動時的最大慣性能T、最大彈性能V，它們分別是所有子結構相應各類能量的總和，即：

子結構各類能量可以分別表示為：

式中：ωr為結構的第 r階固有頻率；｛A（r）｝s為系統(tǒng)以第r模態(tài)振動時，第s個子結構的所有節(jié)點在各運動坐標方向的振幅列陣；｛A（r）為｛A（r）｝s的轉置矩陣；［m］s為 s的慣性矩陣；［k］s為 s的剛度矩陣。

將子結構的各類能量與整個結構的相應能量之比稱為子結構s第r階模態(tài)的慣性能分布率和彈性能分布率。能量分布率高的子結構，說明它與其它子結構相比質量過大或剛度過低，是需要進行結構優(yōu)化的子結構。慣性能分布率高的子結構應著重減小其質量，彈性能分布率高的子結構應著重提高其剛度，使結構的能量分布均勻化，這就是基于能量平衡的機床結構優(yōu)化理論［13］。

對于機床能量分布均勻程度的估計，可以借助于振動系統(tǒng)各階次模態(tài)的動能和勢能分布的均方差來定量描述機床結構各階次模態(tài)的能量分布的均勻性，并判定其偏離最優(yōu)設計的程度。

機床振動系統(tǒng)各階次模態(tài)的動能和勢能的均方差可以表示為：

▲圖1 磨床前六階動能分布圖

式中：σrT為機床第r階動能的均方差；Ti為第i個單元的動能值；T為第r階的動能平均值；σrV為機床第r階勢能的均方差；Vi為第i個單元的勢能值；V為第r階的勢能平均值；i為第 i個單元；n 為單元數(shù)［14］。

在現(xiàn)有的文獻中，國內(nèi)外學者進行基于能量平衡的結構優(yōu)化均針對的是結構的集中參數(shù)模型。集中參數(shù)模型在建模過程中進行參數(shù)估算較繁瑣，而結構的有限元模型在進行結構動力學建模、結構修改和能量分布率計算的過程中將充分顯示其優(yōu)勢［15］。

▲圖2 磨床前六階勢能分布圖

3 基于能量平衡的機床有限元模型動態(tài)分析

將有限元技術應用于基于能量平衡的結構動態(tài)特性分析是一種有效和便捷的方法，本文用這種方法來分析某超精密平面磨床的動態(tài)特性。

用有限元分析軟件ANSYS對床身進行模態(tài)分析，得出其前六階模態(tài)的固有頻率分別為：50.9 Hz、86.7 Hz、120.5 Hz、154.7 Hz、171.6 Hz 和 232.2 Hz。

磨床前六階模態(tài)的動能分布如圖1所示。

由動能分布圖可知，能量集中的地方主要有立柱的上下兩端、磨頭、拖板的兩端以及床身的前板面，分析知道，主要是以下幾個方面原因造成。

（1）由于立柱縱向剛度小、兩端質量大，使立柱兩端特別是立柱上端振幅大，出現(xiàn)立柱兩端動能集中的情況；

（2）由于磨頭本身質量大，或者磨頭與立柱的結合面剛度小，造成磨頭振幅大，增大了其動能；

（3）由于拖板與床身結合面上方的位置剛度低，拖板兩端質量大，使拖板兩端振幅變大，其動能也隨之變大。

磨床前六階模態(tài)的勢能分布如圖2所示。

由勢能分布圖可知，能量集中的地方主要有拖板-床身結合面上方的位置、磨頭-立柱結合面以及床身前板面，分析知道，主要是以下幾個方面原因造成。

（1）由于拖板兩端跨度比較長，引起剛度不足，容易產(chǎn)生較大的變形。

（2）磨頭-立柱結合面的結合面剛度偏低，容易造成結合處勢能集中；

前六階模態(tài)的動能均方差和勢能均方差見表1，由表1分析可知，該磨床能量分布較為分散，均勻度低，離結構的最優(yōu)設計還有很大的距離。

上述仿真分析結果可以對機床結構優(yōu)化設計起到指導作用，以減小在結構改進過程中的盲目性。

表1 前六階模態(tài)參數(shù)

4 結論

將有限元技術應用于機床結構動態(tài)特性分析，在進行結構動力學建模、結構修改的過程中，提高了建模的精度，充分顯示了其優(yōu)勢。利用基于能量平衡的有限元技術進行動態(tài)設計，可以直接分析結構的能量分布情況和振型。對結構進行改進時采用能量平衡為主、振型分析為輔的薄弱環(huán)節(jié)分析方法，提高了動態(tài)設計的效率。

［1］ G Bianchi， F Paolucci， P Vanden Braembussche et al.Towards Virtual Engineering in Machine Tools Design ［J］.CIRP Annals-manufacturing Technology，1996,45（1）：381-384.

［2］ T P Yeh， J M Vance.Applying Virtiual Reality Techniques to Sensitivity-based Structural Shape Desigh ［J］.Journal of Mechanical Design，1998，120：620-627.

［3］ 張學玲，徐燕申，鐘偉泓.基于有限元分析的數(shù)控機床床身結構動態(tài)優(yōu)化設計方法研究 ［J］. 機械強度，2005，27（3）：353-357.

［4］尹志宏，周新民，廖伯瑜.磨床主軸系統(tǒng)優(yōu)化設計［C］.2001年西南三省一市自動化及儀器儀表學術會議，昆明，2001.

［5］ 梁祖峰.TH6350加工中心主軸系統(tǒng)試驗模態(tài)分析 ［D］.昆明：昆明理工大學，2003.

［6］ M Yoshimura，T Hoshi.Computer Approach to Dynamically Option Design of Machine Tool Structure［C］.Proceedings of the 12th International Machine Tool Design and Research Conference，Manchester，1971.

［7］ T Hoshi，M Yoshimura.InitialApplication ofDynamic Structural Analysis to Computer-aided Design of Machine Tool ［C］.Proceedings of the 14th International Machine Tool Design and Research Conference，Manchester，1973.

［8］ M Yoshimura.Analysisand Optimization ofStructural Dynamics of Machine Tool by a Synthesis of Dynamic Rigidity Program System ［C］.Proceedingsofthe 16th International Machine Tool Design and Research Conference，London，1976.

［9］ 星鐵太郎著，顧崇銜等譯.機械加工顫振的分析與對策［M］.上海:上?？萍汲霭嫔纾?984.

［10］張宗蘭.能量平衡法在機床結構動態(tài)參數(shù)優(yōu)化中的應用［J］.哈爾濱工業(yè)大學學報，1987（4）：37-43.

［11］熊萬里，溫建立，黃紅武.高速精密電主軸單元的動態(tài)優(yōu)化設計［J］.機械設計,2004（Z1）：121-122.

［12］鄭偉中.用能量平衡原理分析砂輪架的動態(tài)特性［J］.機床，1982（1）：34-37.

［13］ 楊肅，唐恒齡，廖伯瑜.機床動力學Ⅱ［M］.北京：機械工業(yè)出版社，1983.

［14］翁澤宇，張南南，蔡勇，等.有限元技術在基于能量平衡的機床動態(tài)設計中的應用［J］.機械強度，2011，33（3）：411-417.

［15］蔡勇.基于能量平衡原理的機床動態(tài)設計技術研究［D］.杭州：浙江工業(yè)大學，2007.