例談數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的局部調(diào)整法

盧學(xué)謙 (泰安市第一中學(xué) 山東泰安 271000) ●盧 健 (萊城區(qū)羊里中學(xué) 山東萊蕪 271118)

?

例談數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的局部調(diào)整法

盧學(xué)謙 (泰安市第一中學(xué) 山東泰安 271000) ●盧 健 (萊城區(qū)羊里中學(xué) 山東萊蕪 271118)

局部調(diào)整法也稱(chēng)為逐步調(diào)整法，就是暫時(shí)固定問(wèn)題中的一些可變因素，研究另一些可變量對(duì)求解問(wèn)題的影響，取得局部成果后，再設(shè)法求得整個(gè)問(wèn)題的結(jié)果.例如著名的算術(shù)-幾何平均值不等式的證明，2014年“北約”自主招生考試數(shù)學(xué)試題第10題以及2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第4題都可用局部調(diào)整法.先來(lái)看一道經(jīng)典競(jìng)賽題：

1 趣味調(diào)整，進(jìn)入境界

例1 已知銳角△ABC中，∠A>∠B>∠C.在△ABC的內(nèi)部(包括邊界上)找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到3條邊的距離之和最小.

分析 這是一道趣味競(jìng)賽題.我們先考慮特殊情況，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC邊界上的什么位置時(shí)，點(diǎn)P到3條邊的距離之和最小，然后再對(duì)點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部時(shí)進(jìn)行研究.

解 1)先研究點(diǎn)P在△ABC的邊界上時(shí)的情況：

①若點(diǎn)P在邊BC上.如圖1，記△ABC的頂點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c，邊a,b,c上的高分別為ha,hb,hc，點(diǎn)P到邊c,b的距離分別為x,y，聯(lián)結(jié)PA.因?yàn)椤螦>∠B>∠C,所以ha

因此hb≤x+y(當(dāng)x=0時(shí),取到等號(hào)),即點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí)，點(diǎn)P到3條邊的距離之和最小.

②若點(diǎn)P在邊AC上，點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)，點(diǎn)P到3條邊的距離之和最小.

③若點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)，點(diǎn)P到3條邊的距離之和最小.

綜合①，②，③，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)，點(diǎn)P到3條邊的距離之和最小.

圖1 圖2

2)再研究點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部時(shí)的情況:如圖2，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，固定x，由第1)小題知，

x+y+z>EG+EH.

讓x變化，得

EG+EH≥ha,

從而

x+y+z>ha.

綜合1)，2)知，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A處時(shí)，x+y+z最小.

注 本題先對(duì)點(diǎn)P在邊界上進(jìn)行調(diào)整，獲得問(wèn)題的局部解決.經(jīng)過(guò)若干次這樣的局部調(diào)整，逐步逼近目標(biāo)，最終得到問(wèn)題的整體解決.

2 逐次調(diào)整，妙不可言

例2 已知x1,x2,…,xn∈R+,且x1x2…xn=1，求證：

(2014年“北約”自主招生考試數(shù)學(xué)試題第10題)

分析 本題解法很多，但利用調(diào)整法最為簡(jiǎn)便.

證明 1)若x1=x2=…=xn=1,待證式等號(hào)成立.

所以f(x1,x2,…,xn)>f(1,x1x2,x3,…,xn).這說(shuō)明把(x1,x2)調(diào)整成(1,x1x2)后，f(x1,x2,…,xn)的值變小，依此類(lèi)推，每調(diào)整一次,f(x1,x2,…,xn)的值減少一次，這樣，最多經(jīng)過(guò)n-1次調(diào)整，(x1,x2,…,xn)變成(1,1,…,1),從而

f(x1,x2,…,xn)>f(1,x1x2,x3,…,xn)>

f(1,1,x1x2x3,…,xn)>

綜上所述，原不等式成立.

(1)

于是 (1-x1)(1-x2)…(1-xn)≥

(1-x1) (1-x2)…(1-xn)≥

注 本題把變量的取值向左、右2個(gè)方向調(diào)整，直至最大量的值是1，其余量都是0,與例1稍有區(qū)別,代表了局部調(diào)整法證明不等式的2種風(fēng)格.

3 嘗試調(diào)整，觸類(lèi)旁通

例4n(其中n≥4)個(gè)盤(pán)子里放有總數(shù)不少于4的糖塊，從任意選出的2個(gè)盤(pán)子里各取1塊糖放入另一個(gè)盤(pán)子中稱(chēng)為一次操作，問(wèn)能否經(jīng)過(guò)有限次操作，把所有的糖塊集中到1個(gè)盤(pán)子里去？證明你的結(jié)論.

(第9屆CMO試題)

分析 經(jīng)過(guò)嘗試，可經(jīng)過(guò)有限步操作使所有糖塊集中到2個(gè)或3個(gè)盤(pán)子里，這就為進(jìn)一步探索打開(kāi)了缺口.

解 首先證明可經(jīng)過(guò)有限步操作使所有糖塊集中到2個(gè)或3個(gè)盤(pán)子里.

事實(shí)上，如果放糖的盤(pán)子不少于3個(gè)，任取其中3個(gè)盤(pán)子，分別記為A,B,C,并設(shè)A,B,C中分別有a,b,c(其中0

(a,b,c) →(a-1,b-1,c+2)→…

→(0,b-a,c+2a).

即放有糖塊的盤(pán)子的總數(shù)減少1個(gè)(當(dāng)a≠b時(shí))或2個(gè)(當(dāng)a=b時(shí))，這樣繼續(xù)下去，總可以將糖塊集中在2個(gè)或3個(gè)盤(pán)子中.

其次，不妨設(shè)所有糖塊集中在盤(pán)子A,B,C中，每個(gè)盤(pán)中放的糖塊分別為a,b,c(其中a≥b≥c≥0).另取一個(gè)空盤(pán)D(由n≥4,知至少有4個(gè)盤(pán)子)，上述狀態(tài)簡(jiǎn)記為(a,b,c,0).如果a,b,c中有2個(gè)相等，那么上述證明可經(jīng)過(guò)有限步將糖塊集中到1個(gè)盤(pán)子中，故只要考慮a>b>c≥0的情形，又分為下列2種情形：

2)若a>c+2，則先作如下操作：

(a,b,c)→(a-1,b-1,c+2),

因?yàn)閍>b>c及a>c+2，所以

a-1>b-1≥c,a-1≥(c+3)-1=c+2,

故經(jīng)過(guò)調(diào)整后，3個(gè)盤(pán)子中所放糖塊量的最大數(shù)減少1，而最小數(shù)不減少，故經(jīng)過(guò)有限調(diào)整可歸結(jié)為有2盤(pán)糖塊數(shù)相等或情形1)，于是由前面證明可知經(jīng)過(guò)有限步操作可將糖塊集中到1個(gè)盤(pán)子中.

4 直覺(jué)調(diào)整，茅塞頓開(kāi)

但在有些問(wèn)題的解決過(guò)程中，變量的流向并不明顯，需輔以直覺(jué)作出判斷.

1)當(dāng)x1,x2,x3,x4,x5取何值時(shí)，S取到最大值？

2)進(jìn)一步地，對(duì)任意1≤i≤j≤5有|xi-xj|≤2,當(dāng)x1,x2,x3,x4,x5取何值時(shí)，S取到最小值？說(shuō)明理由.

(2006年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

|xi-xj|≤1(其中1≤i≤5，1≤j≤5).

(2)

將S改寫(xiě)成

x1x2+(x1+x2)(x3+x4+x5)+x3x4+

x3x5+x4x5,

同時(shí)有

x3x5+x4x5,

于是

這與S在x1,x2,x3,x4,x5時(shí)取到最大值矛盾.因此

|xi-xj|≤1(其中1≤i≤5，1≤j≤5).

當(dāng)x1=402,x2=x3=x4=x5=401時(shí)取到最大值.

2)當(dāng)x1+x2+x3+x4+x5=2 006且|xi-xj|≤2時(shí)，只有如下3種情形滿(mǎn)足要求：

①402,402,402,400,400；

②402,402,401,401,400；

③402,401,401,401,401.

例6S是由在同一條直線上個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)集合，隨機(jī)地選擇其中的4n個(gè)點(diǎn)染成藍(lán)色，其余2n個(gè)點(diǎn)染成綠色.證明：存在一條線段，使其包含S中的3n個(gè)點(diǎn)，其中2n個(gè)點(diǎn)為藍(lán)色，n個(gè)點(diǎn)為綠色.

(2008年巴西數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

(3)

再考慮當(dāng)i=1,2,…,3n時(shí)，f(i+1)與f(i)的關(guān)系：

若Ai,Ai+3n同色，則

f(i+1)=f(i);

若Ai為藍(lán)色，Ai+3n為綠色，則

f(i+1)=f(i)-1;

若Ai為綠色，Ai+3n為藍(lán)色，則

f(i+1)=f(i)+1.

總之，|f(i+1)-f(i)|≤1,結(jié)合式(3)知必存在j∈{1,2,…,3n+1}使f(j)=2n，即存在一條線段恰好包含S中Aj,Aj+1,…,Aj+3n-1這3n個(gè)點(diǎn)，其中2n個(gè)點(diǎn)為藍(lán)色，n個(gè)點(diǎn)為綠色.

注 本例把包含前3n個(gè)點(diǎn)的線段看作原始狀態(tài)，每步調(diào)整時(shí)去掉最前面那個(gè)點(diǎn)并添加后面相鄰的一個(gè)點(diǎn).調(diào)整過(guò)程中可證明存在一個(gè)時(shí)刻，連續(xù)3n個(gè)點(diǎn)中恰有2n個(gè)藍(lán)色點(diǎn).

由以上例題可以看出，局部調(diào)整法的精髓可以體現(xiàn)在以下4個(gè)方面：

1)通過(guò)調(diào)整，使原狀態(tài)達(dá)到某種意義下更優(yōu)的狀態(tài)，從而逐步達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)(注意必須以最優(yōu)狀態(tài)存在為前提)；

2)通過(guò)調(diào)整，將大量一般的情形歸結(jié)為討論少數(shù)幾類(lèi)特殊的、規(guī)則的情形，使問(wèn)題便于解決；

3)在按某種條件或要求進(jìn)行操作時(shí)，掌握操作過(guò)程中的某種內(nèi)在規(guī)律(如不變性、奇偶性、同余性、連續(xù)性、單調(diào)性等)進(jìn)行逐步調(diào)整，使之得出某種結(jié)論；

4)為尋找某種對(duì)象，在滿(mǎn)足部分限制條件的前提下，通過(guò)調(diào)整使其余限制條件也得以滿(mǎn)足.

[1] 張小明.例談局部調(diào)整法在不等式證明中的應(yīng)用[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2014(9):37-38.

[2] 鄭日鋒.數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的局部調(diào)整策略[J].中等數(shù)學(xué)，2004(4)：10-11.

[3] 蘇勇,熊斌.不等式的解題方法與技巧[M].上海:華東師范大學(xué)出版社，2013:119-120.

[4] 盧學(xué)謙.數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生思維深刻性的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014(11)：23-25.