基于模糊Markov過程的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性仿真評估

曹軍海， 杜海東， 申 瑩， 滕尚儒

(裝甲兵工程學(xué)院技術(shù)保障工程系， 北京 100072)

基于模糊Markov過程的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性仿真評估

曹軍海， 杜海東， 申 瑩， 滕尚儒

(裝甲兵工程學(xué)院技術(shù)保障工程系， 北京 100072)

針對系統(tǒng)動態(tài)可靠性中的不確定性問題，將動態(tài)故障樹分析方法與模糊理論相結(jié)合，提出了基于模糊Markov過程的復(fù)雜系統(tǒng)動態(tài)可靠性仿真評估方法。首先，結(jié)合模糊理論與故障樹方法，對基于模糊故障樹的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性模型進(jìn)行了描述；其次，對動態(tài)故障樹模型與的Markov過程模型的轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行了研究，構(gòu)建了復(fù)雜系統(tǒng)模糊動態(tài)可靠性評估模型，給出了系統(tǒng)模糊可靠度Monte Carlo仿真方法，并針對模糊隸屬度難以求解的問題，結(jié)合目標(biāo)規(guī)劃模型，設(shè)計了動態(tài)隸屬度確定算法；最后，以某型內(nèi)燃機(jī)為例，對方法的科學(xué)性和有效性進(jìn)行了驗證。

模糊 Markov過程； 可靠性； 仿真評估

復(fù)雜系統(tǒng)任務(wù)過程中存在隨機(jī)性和模糊性，難以開展基于概率精確計算的故障樹分析與評價，而模糊數(shù)學(xué)理論和方法的引入有效地解決了這一難題。Briabant等[1]提出了基于或然性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法；文獻(xiàn)[2-3]作者在此基礎(chǔ)上提出了頂點(diǎn)法和優(yōu)化法，并用于模糊可靠性分析；文獻(xiàn)[4-5]作者對同時存在隨機(jī)性和模糊性的系統(tǒng)可靠性評估問題進(jìn)行了研究，但其計算結(jié)果偏差較大；文獻(xiàn)[7-8]作者將Vague理論用于系統(tǒng)模糊動態(tài)可靠性評估，但其隸屬度的計算以及可靠性評估過程十分復(fù)雜；袁龍等[9]提出了一種模糊故障樹分析快速計算方法，盡管其求解過程可借助計算機(jī)完成，但其算法仍是基于模糊集合的擴(kuò)展原理，只適用于系統(tǒng)靜態(tài)可靠性問題。為此，筆者根據(jù)模糊數(shù)學(xué)理論以及動態(tài)故障樹原理，提出了基于模糊Markov過程的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性仿真評估方法，并針對模型求解的復(fù)雜性，設(shè)計了模糊動態(tài)可靠度及其隸屬度的求解算法。

1 模糊故障樹

1.1 基本原理

假定故障樹中各底事件的發(fā)生概率在區(qū)間[0,1]內(nèi)，以此作為數(shù)據(jù)輸入進(jìn)行基于故障樹分析的系統(tǒng)可靠度評估。此時，系統(tǒng)故障樹中底事件A發(fā)生的概率可用三角函數(shù)triangular(m,α,β)表示，其中m、α和β為函數(shù)的特征數(shù)。三角模糊函數(shù)利用三元組(m,α,β)表示，α和β分別為分布的上、下限，其取值可根據(jù)試驗樣本以及掌握的歷史數(shù)據(jù)情況來確定，該函數(shù)的特征數(shù)還可表示為(m-α,m,m+β)。

1.2 模糊可靠度

應(yīng)用擴(kuò)張原理求解模糊故障樹模型的關(guān)鍵在于處理各種模糊集合的邏輯運(yùn)算關(guān)系，其也是影響系統(tǒng)運(yùn)算效率的主要因素。由于直接應(yīng)用擴(kuò)展原理需要占用大量的系統(tǒng)內(nèi)存，因此該方法難以滿足復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析的需求。一般通過近似處理來縮減問題求解的空間，但隨著系統(tǒng)規(guī)模的增加，模糊運(yùn)算中各種邏輯運(yùn)算關(guān)系也將大幅提升，各種等效運(yùn)算的偏差也會被逐漸放大，因此該算法難以應(yīng)用于非單調(diào)故障樹模型的求解，盡管已有不少學(xué)者開展了相關(guān)研究，但其運(yùn)算效率和運(yùn)算關(guān)系仍難以滿足動態(tài)分析的要求。因而，筆者利用Monte Carlo仿真方法來計算系統(tǒng)模糊可靠度，并結(jié)合迭代子集模擬法求解系統(tǒng)模糊可靠度取值區(qū)間的上、下限，推算系統(tǒng)模糊可靠度的隸屬度。

2 基于仿真的復(fù)雜系統(tǒng)模糊動態(tài)可靠性評估

2.1 模糊動態(tài)可靠性

基于Monte Carlo仿真的系統(tǒng)模糊動態(tài)可靠性求解方法是通過模擬抽樣來反映系統(tǒng)運(yùn)行過程中的動態(tài)變化關(guān)系，并結(jié)合樣本統(tǒng)計結(jié)果來估算系統(tǒng)動態(tài)可靠性。由于對系統(tǒng)的維數(shù)以及底事件分布函數(shù)沒有強(qiáng)制性要求，大大降低了模型的求解難度，且有較好的適用性和較高的求解能力。具體原理為：對給定的任務(wù)時間T，將其劃分為多個離散的時間段ΔT，在ΔT內(nèi)各底事件狀態(tài)不發(fā)生變化，對系統(tǒng)可靠度進(jìn)行抽樣，根據(jù)仿真步長推進(jìn)模擬系統(tǒng)動態(tài)可靠性變化的情況。

1) 初始化設(shè)置。假定系統(tǒng)各底事件處于完好狀態(tài)，記tsum為仿真實驗總時間，ts為系統(tǒng)無故障運(yùn)行總時間，AL為成功運(yùn)行次數(shù)，tF為系統(tǒng)故障時間，F(xiàn)L為故障次數(shù)。以上變量初值均為0。

4) 若tstsum時，結(jié)束本次仿真。

2.2 模糊隸屬度

(1)

(2)

(3)

2.3 求解算法

考慮系統(tǒng)含有模糊變量和隨機(jī)變量，設(shè)系統(tǒng)可靠度函數(shù)為Ф(VR,VF)，其中VR=(vR1,vR2,…,vRn)為n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，VF=(vF1,vF2,…,vFm)為m個相互獨(dú)立的模糊變量。其隸屬度函數(shù)為DvFi(vFi)。在隸屬度水平χ下，根據(jù)模糊集合相關(guān)理論，設(shè)當(dāng)前模糊變量的取值區(qū)間為VF(χ)∈(VFL(χ),VFU(χ)),對模糊動態(tài)系統(tǒng)而言，某一時刻系統(tǒng)可靠度可表示為相應(yīng)模糊區(qū)間變量的隨機(jī)值。由此可得:在不同隸屬度水平χ下，隨機(jī)模糊變量組合條件下系統(tǒng)模糊可靠度的上、下界分別為

(4)

根據(jù)子集迭代模擬法[10-11]的基本原理和數(shù)據(jù)抽樣過程，可得模糊可靠度的隸屬度模型的求解過程，如圖1所示。

3 案例分析

假定某型內(nèi)燃機(jī)的故障樹如圖2所示[5]，各底事件故障率用三角模糊數(shù)來表示，如表1所示。

將圖2轉(zhuǎn)化為模糊Markov模型,可得內(nèi)燃機(jī)故障狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，如圖3所示。其中:S1為系統(tǒng)完好狀態(tài)；S2為A2故障時系統(tǒng)完好狀態(tài)；S3為A3故障時系統(tǒng)完好狀態(tài)；S4為系統(tǒng)完全故障狀態(tài)。則根據(jù)Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移理論，可得各底事件模糊動態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

圖1 模糊可靠度的隸屬度模型的求解過程

圖2 某型內(nèi)燃機(jī)的故障樹

表1 三角模糊數(shù)表示的底事件故障率

底事件模糊故障率/10-3A1(0.425,0.500,0.575)A2(1.350,1.475,1.600)A3(0.612,0.720,0.828)A4(1.275,1.500,1.725)A5(0.425,0.500,0.575)A6(1.350,1.475,1.525)A7(0.612,0.720,0.828)A8(0.068,0.080,0.092)A9(0.722,0.850,0.977)A10(0.485,0.570,0.655)

圖3 內(nèi)燃機(jī)故障狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

通過微分方程組求解可得:

(5)

利用Laplace-Stieltjes反變換可得：

(6)

圖4 系統(tǒng)模糊可靠度動態(tài)變化曲線

根據(jù)式(4)可構(gòu)建出以各故障樹底事件模糊故障率為決策變量的規(guī)劃模型，這里分別以模糊可靠度的最大值和最小值為目標(biāo)約束，利用OptQuest仿真優(yōu)化算法對各模糊故障概率取值空間進(jìn)行搜索抽樣，設(shè)仿真迭代計算次數(shù)為500，從而確定各任務(wù)運(yùn)行階段模糊可靠度的上、下限，仿真輸出結(jié)果如圖5、6所示。

根據(jù)模糊集合擴(kuò)展原理以及隸屬度求解算法，可得系統(tǒng)工作時間為50 h時模糊可靠度及其隸屬度，如圖7所示。根據(jù)圖4所示的仿真抽樣結(jié)果，可得系統(tǒng)運(yùn)行不同階段模糊可靠度的隸屬度，這里以三角分布形式來表示，結(jié)果如表2所示。

圖5 系統(tǒng)工作時間t=50 h時模糊可靠度的上、下限

圖6 系統(tǒng)模糊可靠度各階段上、下限的變化曲線

圖7 t=50 h時系統(tǒng)模糊可靠度及其隸屬度

表2 系統(tǒng)運(yùn)行各階段模糊可靠度的隸屬度(50～100 h)

t/hR(t)RL(t),RU(t)隸屬度/%500.80[0.718,0.820]3.9600.72[0.674,0.790]79.3700.70[0.635,0.762]97.6800.68[0.598,0.735]80.3900.63[0.565,0.709]90.31000.55[0.534,0.686]37.5

4 結(jié)論

考慮到復(fù)雜系統(tǒng)任務(wù)過程中的隨機(jī)性和模糊性，將模糊數(shù)學(xué)理論和Markov過程引入故障樹分析中，提出基于模糊Markov過程的系統(tǒng)可靠性評估方法。針對模型求解的復(fù)雜性，設(shè)計了系統(tǒng)模糊可靠度及其隸屬度的仿真算法，有效解決了可靠性工程實踐中因產(chǎn)品結(jié)構(gòu)復(fù)雜、影響因素眾多，故障數(shù)據(jù)不能準(zhǔn)確獲取而導(dǎo)致系統(tǒng)可靠度模型難以建立和求解的問題，為系統(tǒng)的模糊可靠性分析和評估提供了理論和技術(shù)支撐。

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(責(zé)任編輯: 王生鳳)

Simulation Evaluation of Complex System Reliability Based on Fuzzy Markov Process

CAO Jun-hai, DU Hai-dong, SHEN Ying, TENG Shang-ru

(1. Department of Technology Support Engineering, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China)

For the uncertainty problem existing in dynamic reliability of complex system, the thesis presents the simulation evaluation method for dynamic reliability based on fuzzy Markov process by combining dynamic fault tree analysis method with fuzzy theory. Firstly, a complex system reliability model based on the fuzzy fault tree is described; then, the transformation method between dynamic fault tree model and Markov process model is studied, the evaluation model for fuzzy dynamic reliability of complex system is established, a Monte Carlo simulation method for fuzzy reliability membership is given and a dynamic membership determining algorithm is designed according to objective planning model. At last, the scientific nature and effectiveness is verified by the example of internal combustion engine.

fuzzy Markov process; reliability; simulation and evaluation

1672-1497(2015)06-0093-05

2015-09-08

軍隊科研計劃項目

曹軍海(1972-)，男，副教授，博士。

O213.2

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2015.06.018