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    分式方程的增根與無解

    2015-06-11 13:53:08趙密密
    初中生世界·八年級 2015年6期
    關(guān)鍵詞:公分母分母本題

    趙密密

    分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個概念,同學(xué)們在學(xué)習(xí)分式方程后,常常會對這兩個概念混淆不清. 分式方程有增根,指的是解分式方程時,在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過程中,方程的兩邊都乘了一個可能使分母為零的整式,從而擴大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值;而分式方程無解則是指不論未知數(shù)取何值,都不能使方程兩邊的值相等. 它包含兩種情形:(1)原方程化去分母后的整式方程無解;(2)原方程化去分母后的整式方程有解,但這個解卻使原方程的分母為0,它是原方程的增根,從而原方程無解.

    例1 (2014·山東聊城)解分式方程:+=-1.

    解:去分母得:-(x+2)2+16=4-x2,

    去括號得:-x2-4x-4+16=4-x2,

    解得:x=2,

    經(jīng)檢驗x=2是增根,分式方程無解.

    【點評】此題考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解,當(dāng)求得的x值恰好使最簡公分母為零時,x的值就是增根. 本題轉(zhuǎn)化的整式方程的解是x=2,恰好使公分母為零,所以x=2是原方程的增根,原方程無解.

    例2 解分式方程:=+2.

    【解析】去分母后化為x-1=3-x+2(2+x).

    整理得0x=8.

    因為此方程無解,所以原分式方程無解.

    【點評】本題化為整式方程后,本身就無解,當(dāng)然原分式方程肯定就無解了. 由此可見,分式方程無解不一定就是產(chǎn)生增根.

    例3 (2013·山東威海)若關(guān)于x的方程=無解,則m=_______.

    【解析】原方程可化為=.

    方程兩邊都乘2(x-5),

    得2(x-1)=-m.

    解這個方程,得x=.

    因為原方程無解,所以這個解應(yīng)是原方程的增根. 即x=5,

    解得m=-8.

    【點評】本題考查了分式方程的解. 方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.因為同學(xué)們目前所學(xué)的是能化為一元一次方程的分式方程,而一元一次方程只有一個根,所以如果這個根是原方程的增根,那么原方程無解. 但是同學(xué)們并不能因此認為有增根的分式方程一定無解,隨著以后所學(xué)知識的加深,同學(xué)們便會明白其中的道理,這里不再舉例.

    例4 (2005·江蘇揚州)

    若方程-=1有增根,則它的增根是( ).

    A. 0 B. 1

    C. -1 D. 1或-1

    【解析】原方程化成整式方程:

    6-m(x+1)=x2-1,

    整理得:m(x+1)=7-x2,

    當(dāng)x=-1時,此時m無解;

    當(dāng)x=1時,解得m=3.

    【答案】B.

    【點評】增根除滿足最簡公分母為零以外,還必須是所化整式方程的根.

    例5 當(dāng)a為何值時,關(guān)于x的方程+=會產(chǎn)生增根?

    【解析】方程兩邊都乘(x+2)(x-2),得2(x+2)+ax=3(x-2),

    整理得(a-1)x=-10, ①

    若原分式方程有增根,則x=2或-2是方程①的根.

    把x=2或-2代入方程①中,解得a=-4或6.

    【點評】此類題首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,然后找出使公分母為零的未知數(shù)的值即為增根,最后將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中,求出原方程中所含字母的值.

    例6 當(dāng)a為何值時,關(guān)于x的方程+=無解?

    【解析】方程兩邊都乘(x+2)(x-2),得2(x+2)+ax=3(x-2).

    整理得(a-1)x=-10, ①

    若原方程無解,則有兩種情形:

    (1)當(dāng)a-1=0(即a=1)時,

    方程①為0x=-10,此方程無解,

    所以原方程無解.

    (2)如果方程①的解恰好是原分式方程的增根,那么原分式方程無解.

    原方程若有增根,增根為x=2或-2,

    把x=2或-2代入方程①中,

    求出a=-4或6.

    綜上所述,a=1或a=-4或a=6時,原分式方程無解.

    【點評】本題弄清分式方程的增根與無解的區(qū)別和聯(lián)系,能幫助我們提高解分式方程的正確率,對判斷方程解的情況有一定的指導(dǎo)意義.

    (作者單位:江蘇省淮安外國語學(xué)校)

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