分式錯(cuò)解歸類例析

賈蕓蕓

分式是在整式運(yùn)算、多項(xiàng)式因式分解、一元一次方程解法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的.分式的運(yùn)算與整式的運(yùn)算相比，運(yùn)算步驟明顯增多，符號(hào)更加復(fù)雜，解法更加靈活，因而更容易出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤.為幫助同學(xué)們弄清分式運(yùn)算中的錯(cuò)誤所在，本文從對(duì)課本例題的錯(cuò)解，歸納小結(jié)幾種錯(cuò)誤原因如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、 分式化簡(jiǎn)求值

分式化簡(jiǎn)是初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)中的重要組成部分，學(xué)好分式化簡(jiǎn)，可以幫助同學(xué)們打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高邏輯思維的能力. 但在進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程中，有些同學(xué)總會(huì)出現(xiàn)一些高頻性的解題錯(cuò)誤，因此，對(duì)此進(jìn)行探究、總結(jié)和分析很有必要.

例1 計(jì)算：1-÷.

誤區(qū)一：違背運(yùn)算順序.

【錯(cuò)解1】原式=-÷=÷.

誤區(qū)二：通分時(shí)誤去分母，與解方程時(shí)去分母混淆.

【錯(cuò)解2】原式=1-·=1-=a+1-a-2=-1.

誤區(qū)三：符號(hào)上的錯(cuò)誤.

【錯(cuò)解3】原式=1-·

=1-=-

==.

【反思與總結(jié)】本題主要考查基本計(jì)算能力，涉及的知識(shí)有因式分解、分式的乘除、倒數(shù)、約分、通分等. 一道好的例題，一定蘊(yùn)含著若干個(gè)閃光點(diǎn)，聰明的你發(fā)掘出來(lái)，解決問(wèn)題的功力就會(huì)大大增強(qiáng). 這個(gè)例題旨在告訴我們，分式化簡(jiǎn)不能忽視以下幾點(diǎn)：

1. 注意分式的混合運(yùn)算的順序：先進(jìn)行乘方運(yùn)算，其次進(jìn)行乘、除運(yùn)算，再進(jìn)行加、減運(yùn)算，遇到括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的. 如果分式的分子或分母中含有多項(xiàng)式，并且能分解因式，可先分解因式，能約分的先約分，再進(jìn)行運(yùn)算.

2. 分式化簡(jiǎn)每一步變形用的都是分式的基本性質(zhì)，通分要保留分母，而不是去分母.

3. 不能忽視分?jǐn)?shù)線的雙重作用，當(dāng)分母不變分子相減時(shí)要關(guān)注符號(hào).

例2 計(jì)算：-.

【錯(cuò)解】原式=-

=-

=.

【錯(cuò)解分析】上面計(jì)算的結(jié)果，分子、分母還有公因式（x-2）可約分，應(yīng)繼續(xù)化簡(jiǎn). 分式化簡(jiǎn)的結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式.

【正解】原式=-.

二、 解分式方程

解分式方程的基本思路是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程. 這種轉(zhuǎn)化的具體做法是“去分母”，即方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，

例3 解方程：=-1.

誤區(qū)一：最簡(jiǎn)公分母不是最簡(jiǎn).

【錯(cuò)解1】原方程兩邊同乘（x-2）（3x-6），得（5x-4）（3x-6）=（4x+10）（x-2）-（x-2）·（3x-6）.

誤區(qū)二：等式基本性質(zhì)的使用時(shí)漏乘常數(shù)項(xiàng).

【錯(cuò)解2】方程兩邊同乘3（x-2），得

3（5x-4）=4x+10-1.

誤區(qū)三：解完方程沒(méi)有驗(yàn)根.

【錯(cuò)解3】方程兩邊同乘3（x-2），得

3（5x-4）=4x+10-3（x-2）.

解得：x=2.

所以，原分式方程的解為：x=2.

【反思與總結(jié)】這個(gè)例題告訴我們，解好分式方程不能忽視三點(diǎn)：

第一，最簡(jiǎn)公分母一定要做到最簡(jiǎn)；

第二，等式基本性質(zhì)的使用一定要公平；

第三，解完方程一定要驗(yàn)根.

驗(yàn)根，確定原方程的解. 即把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是不是零. 若結(jié)果不是零，說(shuō)明此根是原方程的根；若結(jié)果是零，說(shuō)明此根是原方程的增根，必須舍去. 驗(yàn)根的方法有兩種，一是代入到所乘的最簡(jiǎn)公分母中，看公分母的值是否為零. 若不為零，是原方程的根. 若為零，不是原方程的根，叫原方程的增根. 二是分別代入到原方程的左邊和右邊，若左邊與右邊的值相等，則是原方程的根，若左右不等或一邊分母為零，則不是原方程的根.

（作者單位：江蘇省淮安外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）