用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題

宋青

近日讀張景中院士《數(shù)學(xué)家的眼光》一書(shū)，頗有收獲。張?jiān)菏窟@本書(shū)從一些中學(xué)生熟悉的問(wèn)題入手，用通俗生動(dòng)的語(yǔ)言和簡(jiǎn)明易懂的方法，清楚地介紹了數(shù)學(xué)家是如何從簡(jiǎn)單的問(wèn)題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，思考問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題，并最終提出許多簡(jiǎn)潔又深刻的結(jié)論。此書(shū)讓筆者清楚地感受到數(shù)學(xué)家看問(wèn)題的思路和方法，進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)學(xué)的深刻性和透徹性，一些問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，平時(shí)學(xué)習(xí)往往缺乏深究，但如果能去尋根究底地問(wèn)一問(wèn)，也許會(huì)有新的收獲，在讀“定位的奧妙”這一部分的時(shí)候，對(duì)此感觸深刻。

“定位的奧妙”這部分主要圍繞“兩數(shù)相乘，積的位數(shù)是什么樣子？”問(wèn)題展開(kāi)，首先從我們熟悉的帶小數(shù)點(diǎn)的數(shù)的乘法來(lái)引入問(wèn)題，例如，3.7×4.3=？這種筆算有特定的定位方法，同時(shí)像珠算，用對(duì)數(shù)表計(jì)算、用計(jì)算尺計(jì)算等都有不同的定位方法，而數(shù)學(xué)家看問(wèn)題，總會(huì)想找一般規(guī)律，于是文章便進(jìn)行了一系列的為了弄清定位問(wèn)題的嘗試和探究，該問(wèn)題看似很小但在真正深入挖掘的過(guò)程中，卻反映了學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的一般方法，主要包含以下幾個(gè)過(guò)程：

1.提出問(wèn)題：為發(fā)現(xiàn)定位的一般規(guī)律，首先明確提出了“兩數(shù)相乘，積的位數(shù)是什么子？”這一問(wèn)題。

2.試驗(yàn)特例：找規(guī)律，先從簡(jiǎn)單例子開(kāi)始。觀察兩個(gè)式子3×4=12，3×2=6前一個(gè)式子里，右端的最高數(shù)位1比3小，比4也小，結(jié)果是2位，后一個(gè)式子，6比3比2都大，結(jié)果是1位，這便啟發(fā)我們得出以下猜想。

3.形成猜想：如果積是1位數(shù)，積的數(shù)字比乘數(shù)大；如果積是2位數(shù)，積的最高位上的數(shù)字比乘數(shù)小。

4.約定表達(dá)方式：為了用準(zhǔn)確的語(yǔ)言把規(guī)律表達(dá)清楚，并且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)丶右宰C明，約定了“位數(shù)”和“數(shù)字大小比較法”的表達(dá)方式。

5.建立概念：通過(guò)約定表達(dá)式便可以清晰嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒏拍睢?/p>

乘法定位一般規(guī)則：若A×B=C，當(dāng)C的數(shù)字比A（或B）的數(shù)字小時(shí)，C的位數(shù)是A、B的位數(shù)之和。否則，C的位數(shù)是A、B的位數(shù)之和減1。

除法定位一般規(guī)則：若被除數(shù)的數(shù)字比除數(shù)?。粍t商的位數(shù)=被除數(shù)的位數(shù)-除數(shù)的位數(shù)；否則，商的位數(shù)=被除數(shù)的位數(shù) -除數(shù)的位數(shù)+1。

6.證明結(jié)論：

對(duì)乘法定位的一般規(guī)則這一結(jié)論進(jìn)行詳細(xì)的證明，有了乘法定位法，自然

可以建立除法定位規(guī)則，因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算，只要把乘式中的積叫做被除數(shù)，商和除數(shù)都叫做相乘數(shù)就可以了?？梢詫⒁陨弦?guī)則概括為：“乘積大，和減1；除數(shù)小，差加1”（通過(guò)后面的更一般問(wèn)題的拓展，筆者發(fā)現(xiàn)，為了使這句概括更準(zhǔn)確，還需要包含“等于”的情況。即改為“乘積大或等，和減1；除數(shù)小或等，差加1”。）

7.進(jìn)一步提出更一般的問(wèn)題：

進(jìn)一步討論，如果解比例式=，知道了A、B、C和x的有效數(shù)字，又知道A、B、C的位數(shù)，怎樣確定位數(shù)呢？文章對(duì)不同情況進(jìn)行了分類(lèi)并給出證明。

定位是個(gè)小問(wèn)題，但若不仔細(xì)去想，不尋根究底去問(wèn)，很難弄清楚，也就發(fā)現(xiàn)不了其中深刻的數(shù)學(xué)規(guī)律。同樣在學(xué)習(xí)中也要善于發(fā)現(xiàn)好的數(shù)學(xué)問(wèn)題，做到“好讀書(shū)，求甚解”。

那究竟什么是好的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？在本書(shū)“珍珠與種子”這一部分也有涉及。不同人對(duì)“何為好的數(shù)學(xué)問(wèn)題”的回答不盡相同，對(duì)此，數(shù)學(xué)大師陳省身有獨(dú)到的見(jiàn)解，他說(shuō)：“讓青年人知道有‘好數(shù)學(xué)和‘不好的數(shù)學(xué)之分?！边@里所說(shuō)的“好”，簡(jiǎn)而言之，就是意義深遠(yuǎn)，可以不斷深入、影響許多學(xué)科的課題；“不好”則是僅限于把他人的工作推演一番、缺乏生命力的題目。我的愿望是讓年輕人盡早懂得欣賞“好的數(shù)學(xué)”。這讓自己對(duì)何為好的數(shù)學(xué)問(wèn)題有了更多的認(rèn)識(shí)和思考，在以后解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候能有所取舍。

對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考有一個(gè)開(kāi)闊的思路和全方位的角度，是非常重要的，書(shū)中“三角形的內(nèi)角和”這一部分陳省身教授對(duì)“三角形的內(nèi)角和等于180°”的精辟理解，陳教授說(shuō)“三角形的內(nèi)角和等于180°”是不對(duì)的，說(shuō)它不對(duì)，不是說(shuō)這個(gè)事實(shí)不對(duì)，而是說(shuō)這種看問(wèn)題的方法不對(duì)，應(yīng)該說(shuō)“三角形的內(nèi)角和是360°”！把眼光只盯住內(nèi)角，就只能看到，n邊形內(nèi)角和是：（n-2）×180°，如果看外角呢？任意邊形外角和都是360°。

這就把多種情形用一個(gè)十分簡(jiǎn)單的結(jié)論概括起來(lái)了，用一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)代替了與有關(guān)的公式，找到了更一般的規(guī)律。陳教授的話啟發(fā)讀者思考全方位看問(wèn)題的重要性，突破慣性的思維方式，尋找更為全面和普遍的規(guī)律，這本身也是一種數(shù)學(xué)能力。

細(xì)細(xì)研讀，這的確是一本優(yōu)秀的數(shù)學(xué)科普類(lèi)讀物，它比一般的數(shù)學(xué)書(shū)籍多了許多生動(dòng)和對(duì)生活的貼近，同時(shí)又不失問(wèn)題的代表性和數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，愿與更多熱愛(ài)數(shù)學(xué)的人分享。

編輯 謝尾合