直線伺服電動(dòng)機(jī)自抗擾控制系統(tǒng)研究

黨超亮，同向前，楊樹(shù)德

（西安理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安710048）

與其他類型的直線電機(jī)相比，直線伺服電機(jī)具有高速度、高精度、高效率、響應(yīng)快速等優(yōu)勢(shì)，在現(xiàn)代制造業(yè)擁有非常廣泛的發(fā)展前景［1-2］。然而由于直接直線驅(qū)動(dòng)，省去了中間傳動(dòng)裝置，外部擾動(dòng)力、摩擦力等外部未知擾動(dòng)會(huì)毫無(wú)緩沖的直接施加在電機(jī)本體上，同時(shí)直線電機(jī)是一個(gè)強(qiáng)耦合、多變量、非線性的系統(tǒng)，采用傳統(tǒng)的控制策略很難使得電機(jī)控制系統(tǒng)性能獲得本質(zhì)上的提高［3-4］。在控制策略上，目前在包括交流直線電機(jī)在內(nèi)的交流伺服中普遍采用的是矢量控制，在矢量控制的基礎(chǔ)上，很多學(xué)者為了進(jìn)一步提高交流伺服系統(tǒng)的性能，提出了許多非線性應(yīng)用與直線電機(jī)控制。自抗擾策略是近年來(lái)用在工業(yè)控制，尤其是電機(jī)控制中的一種新的非線性控制算法，其不依賴于被控對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型，是針對(duì)不確定系統(tǒng)有效實(shí)用的控制器［5］。文獻(xiàn)［6］將自抗擾應(yīng)用于永磁同步直線電機(jī)的速度控制系統(tǒng)，在這篇文獻(xiàn)中作者采用一階速度ADRC 控制，并未考慮到q 軸電流內(nèi)環(huán)控制誤差的影響，從而降低了系統(tǒng)速度響應(yīng)的動(dòng)靜態(tài)特性，有一定的局限性；文獻(xiàn)［7］中作者針對(duì)速度ADRC 控制系統(tǒng)，d軸電流內(nèi)環(huán)采用了ADRC 控制，q 軸電流內(nèi)環(huán)采用的是比例控制，即ADRC+PD 控制，此種設(shè)計(jì)并不能完全消除dq 軸電流的動(dòng)態(tài)耦合；文獻(xiàn)［8］設(shè)計(jì)了基于線性自抗擾策略的直線電機(jī)位置控制系統(tǒng)，在該文章中作者采用線性自抗擾控制，實(shí)驗(yàn)表明，該方法與傳統(tǒng)的控制方法相比，改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和抗干擾能力。

文中結(jié)合矢量控制方法，將ADRC用于直線電機(jī)控制系統(tǒng)中，針對(duì)電流之間的強(qiáng)耦合作用，將系統(tǒng)擾動(dòng)項(xiàng)作為未知綜合擾動(dòng)，并利用ESO進(jìn)行觀測(cè)與補(bǔ)償，分別設(shè)計(jì)了dq 電流的解耦控制，針對(duì)速度控制系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)采用了串級(jí)一階ADRC，“ADRC+PID”組合算法、二階ADRC與改進(jìn)型ADRC（MADRC）進(jìn)行系統(tǒng)仿真研究，針對(duì)位置控制系統(tǒng)分別采用了MADRC與傳統(tǒng)ADRC策略進(jìn)行了仿真分析，仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)響應(yīng)速度快、超調(diào)小，具有優(yōu)良的動(dòng)靜態(tài)性能。

1 直線電機(jī)數(shù)學(xué)模型

式中：ud，uq分別為d,q軸電壓；id，iq分別為d,q軸電流；v為動(dòng)子運(yùn)動(dòng)線速度；Rs為動(dòng)子相電阻；分別為d,q軸動(dòng)子電感；λpm為勵(lì)磁磁鏈；τ為極距；Fe為電磁推力；Fl為系統(tǒng)阻力；m為動(dòng)子質(zhì)量；B為粘滯摩擦系數(shù)；p為極對(duì)數(shù)。

式（1）中主要考慮了負(fù)載阻力和粘滯摩擦力擾動(dòng)，而電機(jī)在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中還存在其他形式的擾動(dòng)，如靜摩擦、滑動(dòng)摩擦、風(fēng)阻、齒槽推力、紋波推力等。將靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力視為一個(gè)綜合摩擦擾動(dòng)，其表達(dá)式為

式中：sgn(v)為關(guān)于v的函數(shù)，其恒為正值；Fc為庫(kù)侖 摩 擦 力；Fs為 靜 摩 擦 力；vs為Steinbeck 效 應(yīng)系數(shù)［9］。

2 自抗擾策略原理

自抗擾控制（auto disturbances rejection control）主要由跟蹤微分器（TD），擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（ESO）和非線性誤差反饋控制律（NLSEF）3部分組成［10-12］。其原理框圖如圖1所示。

圖1 ADRC原理框圖Fig.1 The principle block diagram of ADRC

系統(tǒng)實(shí)際輸出一般都會(huì)包含一定的噪聲，假如直接利用ESO 測(cè)量信號(hào)往往難以獲得較好的狀態(tài)變量，依據(jù)TD環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)描述可知，其頻率特性與低通濾波器類似，通帶內(nèi)相移較小且無(wú)諧振，為避免跟蹤微分過(guò)程所帶來(lái)的相位滯后，通過(guò)在傳統(tǒng)ADRC 控制中引入了反饋通道來(lái)消除測(cè)量噪聲的不利影響，其結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

圖2 引入反饋通道的ADRC結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Block diagram of ADRC with the feedback channel

跟蹤微分器（TD）用來(lái)減小系統(tǒng)的初始誤差，在阻尼不變的情況下，且在被控對(duì)象能承受范圍內(nèi)，依據(jù)目標(biāo)信號(hào)安排一個(gè)合適的過(guò)渡過(guò)程，從而有效地解決了超調(diào)與快速性的矛盾。在此以本文所采用的二階ADRC 為例，TD 的表達(dá)式如下：

式中：r為參數(shù)，決定了系統(tǒng)的跟蹤速度，稱為速度因子；h為采樣周期；h0主要是用來(lái)濾除測(cè)量噪聲，稱為濾波因子。

當(dāng)h取值恒定時(shí)，r的取值越大，跟蹤微分過(guò)程所需的時(shí)間越短，當(dāng)r保持恒定時(shí)，h越小跟蹤時(shí)間相對(duì)越短。參數(shù)r過(guò)大或h過(guò)小都容易造成系統(tǒng)波動(dòng)，在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)其值要適當(dāng)選擇。給定參考輸入的單位階躍信號(hào)，分別針對(duì)上述情況進(jìn)行了仿真分析，仿真結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3 h=0.02，r不同時(shí)TD輸出波形Fig.3 Waveforms of TD while h is 0.02，r selects different values

圖4 r=100，h不同時(shí)TD輸出波形Fig.4 Waveforms of TD while r is 100，h selects different values

ESO 作為ADRC 的核心部件，主要實(shí)現(xiàn)對(duì)被控對(duì)象的總和擾動(dòng)的觀測(cè)和補(bǔ)償，在采用ADRC 進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)將施加于被控對(duì)象上的外部作用都?xì)w結(jié)為未知擾動(dòng)，利用ESO 進(jìn)行觀測(cè)和補(bǔ)償，從而實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的線性化，ESO 表達(dá)式如下：

系統(tǒng)狀態(tài)誤差由TD環(huán)節(jié)輸出與ESO估計(jì)值所決定，兩者所得的誤差值輸入到NLSEF 運(yùn)算后，通過(guò)與來(lái)自ESO 的補(bǔ)償量取線性加權(quán)和，輸出系統(tǒng)控制量，NLSEF的表達(dá)式如下：

其中冪次函數(shù)fal(e,a,δ)方程為

fal(e,a,δ)實(shí)現(xiàn)了對(duì)控制工程界的先驗(yàn)知識(shí)“大誤差小增益，小誤差大增益”的數(shù)學(xué)擬合，提高了ADRC的動(dòng)態(tài)性能與魯棒性。

3 直線電機(jī)ADRC控制系統(tǒng)

3.1 dq軸電流解耦控制

從數(shù)學(xué)狀態(tài)方程可以看出，直線伺服電機(jī)是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，耦合項(xiàng)的存在將會(huì)明顯地降低控制系統(tǒng)性能，單獨(dú)控制ud，uq從而實(shí)現(xiàn)dq 軸電流控制都會(huì)引起環(huán)路中所存在的多變量間的耦合作用直接影響到電流控制效果，帶來(lái)系統(tǒng)超調(diào)和調(diào)節(jié)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)等不利影響。

3.1.1 d軸電流解耦控制

為使得電流推力最大化，電流內(nèi)環(huán)采用ADRC控制，其中d軸電流給定為id=0，由于電流給定值為0，為簡(jiǎn)化系統(tǒng)參數(shù)，電流內(nèi)環(huán)控制可以去掉TD環(huán)節(jié)。

根據(jù)式（1），可得離散域內(nèi)ADRC 解耦控制算法表達(dá)式為

ESO：

NLSEF：

擾動(dòng)補(bǔ)償

上式中b1d，b2d，δ為待選參數(shù)。只要選擇合適的參數(shù)，ADRC就能利用ESO實(shí)現(xiàn)對(duì)dq電流之間耦合項(xiàng)的準(zhǔn)確觀測(cè)，即：

3.1.2 q軸電流解耦控制

同理可得，iq的ADRC解耦控制算法表示為

ESO：

NLSEF：

擾動(dòng)補(bǔ)償

3.2 速度控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.2.1 ADRC+PID組合算法

凡是可以利用經(jīng)典PID 控制的控制系統(tǒng)，只要可以數(shù)字化，從理論上講，都可以利用ADRC實(shí)現(xiàn)。文中針對(duì)q 軸電流內(nèi)環(huán)分別采用了一階ADRC 與PID 控制算法，而d 軸電流則仍然采用ADRC，當(dāng)系統(tǒng)采用“ADRC+PID”組合算法時(shí)，結(jié)構(gòu)框圖如圖5所示。

圖5 ADRC+PID控制原理框圖Fig.5 Control block diagram of“ADRC+PID”

圖5 中，速度環(huán)采用ADRC 策略，由于與速度外環(huán)的時(shí)間常數(shù)相比，iq內(nèi)環(huán)的時(shí)間常數(shù)很小，因此針對(duì)iq內(nèi)環(huán)采用比例控制，同時(shí)考慮到驅(qū)動(dòng)電路所帶來(lái)的滯環(huán)效應(yīng)，則q 軸電壓可以表示為

在進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，由驅(qū)動(dòng)所帶來(lái)的滯后效應(yīng)采用慣性環(huán)節(jié)來(lái)替代，即：

3.2.2 串級(jí)一階ADRC速度控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

上文設(shè)計(jì)采用的“ADRC+PID”算法，由于經(jīng)典PID的引入，導(dǎo)致dq軸之間的強(qiáng)耦合作用未能完全消除，因此速度控制輸出仍然存在一定的誤差。本文所設(shè)計(jì)的串級(jí)一階ADRC 如圖6 所示，即使用2個(gè)一階ADRC分別實(shí)現(xiàn)d軸電流內(nèi)環(huán)與速度外環(huán)設(shè)計(jì)。

圖6 串級(jí)一階ADRC控制原理框圖Fig.6 Control block diagram of first order ADRC

當(dāng)控制量取為

將式（16）代入式（1）則可得：

從式（17）可見(jiàn)，利用一階速度ADRC可以將PMLSM 的速度動(dòng)態(tài)過(guò)程改造成為純積分環(huán)節(jié)，利用非線性狀態(tài)誤差反饋實(shí)現(xiàn)PMLSM的一階速度ADRC 控制。則PMLSM 一階速度自抗擾控制算法為

ESO：

NLSEF：

擾動(dòng)補(bǔ)償

3.2.3 二階ADRC速度控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

在串級(jí)一階ADRC 中，采用q 軸電流給定值近似代替實(shí)際的q 軸電流，但由于兩者間仍存在微小誤差，對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程的準(zhǔn)確跟蹤仍有一定影響。針對(duì)速度控制進(jìn)一步設(shè)計(jì)了二階ADRC 系統(tǒng)，則將id=0代入電機(jī)數(shù)學(xué)模型中可得：

將式（21）中第1項(xiàng)代入第2式則可得到對(duì)應(yīng)的二階運(yùn)動(dòng)方程：

理想情況下，ESO可以通過(guò)系統(tǒng)的輸入及輸出速度實(shí)現(xiàn)對(duì)未知擾動(dòng)的準(zhǔn)確觀測(cè)，當(dāng)控制量取為

則可得相應(yīng)的二階速度ADRC控制算法為

NLSEF：

ESO：

3.3 位置控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

對(duì)實(shí)際控制系統(tǒng)而言，系統(tǒng)控制的最終歸宿均是使得實(shí)際輸出準(zhǔn)確、快速地跟隨目標(biāo)值的變化。假如系統(tǒng)目標(biāo)軌跡提前預(yù)知，則可以直接利用參考加速度來(lái)直接控制系統(tǒng)輸出，當(dāng)采用參考加速度作為前饋信號(hào)進(jìn)行工程實(shí)踐設(shè)計(jì)時(shí)，為減小外部擾動(dòng)的觀測(cè)誤差，將前饋控制與反饋控制相結(jié)合，前饋通道用來(lái)輸出目標(biāo)期望值響應(yīng)的前饋加速度，反饋通道用來(lái)抑制系統(tǒng)中未被準(zhǔn)確觀測(cè)到的外擾作用。如圖7所示，其中參數(shù)b與b0表達(dá)式如下式所示：

圖7 改進(jìn)型ADRC（MADRC）結(jié)構(gòu)框圖Fig.7 Structure diagram of improved ADRC

針對(duì)位置自抗擾控制系統(tǒng)，由于從系統(tǒng)控制量到系統(tǒng)實(shí)際輸出只需要2 個(gè)積分器，位置環(huán)與速度控制系統(tǒng)類似，只包含了位置外環(huán)與電流內(nèi)環(huán)，其中dq軸電流仍然采用上述的ADRC解耦控制，位置外環(huán)則采用引入前饋加速度的改進(jìn)型ADRC控制。

由PMLSM 的數(shù)學(xué)模型可得其位置動(dòng)態(tài)方程：

當(dāng)選取x1=x，x2=v為狀態(tài)變量，依據(jù)式（27），同理可設(shè)計(jì)相應(yīng)的二階位置ADRC為

TD：

ESO：

NLSEF：

擾動(dòng)補(bǔ)償

4 仿真分析

4.1 速度ADRC仿真分析

電機(jī)仿真參數(shù)為：動(dòng)子質(zhì)量m=2.85 kg，永磁體磁鏈Ψpm=0.175 mH，電感Ld≈Lq=8.5 mH，Rs=25 Ω，F(xiàn)c=40 N，F(xiàn)s=50 N。給定速度信號(hào)為單位階躍響應(yīng)，電機(jī)空載啟動(dòng)，在0.4/0.9 s突加50 N負(fù)載，同時(shí)考慮系統(tǒng)所受的外部擾動(dòng)，針對(duì)速度控制系統(tǒng)分別采用ADRC+PID組合算法、串級(jí)一階ADRC、二階ADRC 與MADRC 進(jìn)行仿真，圖8～圖11分別為采用與“ADRC+PID”組合算法、串級(jí)一階ADRC、二階ADRC 與MADRC 時(shí)的速度響應(yīng)波形。

圖8 ADRC+PID速度響應(yīng)波形Fig.8 Speed response waveform of“ADRC+PID”

圖9 串級(jí)一階ADRC速度響應(yīng)波形Fig.9 Speed response waveform of ADRC

從上述圖中可以看出當(dāng)采用“ADRC+PID”組合算法時(shí)，由于dq軸之間存在的強(qiáng)耦合作用不能完全消除，因此速度控制輸出仍然存在一定的誤差，與采用串級(jí)一階ADRC 控制相比較，采用“ADRC+PID”組合算法的控制方式，所涉及的ADRC 參數(shù)較少，適用于控制系統(tǒng)性能不是特別高的場(chǎng)合。

圖10 二階ADRC響應(yīng)波形Fig.10 Speed response waveform of second order ADRC

從圖10 可以看到系統(tǒng)在空載啟動(dòng)階段系統(tǒng)有較大的波動(dòng)，速度誤差較小，為避免波動(dòng)較大，可以通過(guò)引入反饋通道TD 來(lái)實(shí)現(xiàn)，其仿真結(jié)果如圖11所示。

圖11 二階MADRC響應(yīng)波形Fig.11 Response waveform of second order MADRC

在不改變ADRC參數(shù)的同時(shí)，將電機(jī)動(dòng)子質(zhì)量M增大50%，Rs增大50%。通過(guò)系統(tǒng)仿真，從圖12 可以看出，當(dāng)本體參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，且在ADRC 可承受的范圍之內(nèi)，其控制性能良好，基本可以滿足控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求。

圖12 速度響應(yīng)波形Fig.12 Speed response waveform

4.2 位置ADRC仿真分析

文中針對(duì)直線電機(jī)位置控制系統(tǒng)，系統(tǒng)給定輸入信號(hào)為x=1+sin[30t-(0.5π-0.1)]同速度控制系統(tǒng)相同，位置控制系統(tǒng)中也考慮系統(tǒng)所受外部未知擾動(dòng)及摩擦力的影響，分別對(duì)位置控制系統(tǒng)采用傳統(tǒng)的二階ADRC 與MADRC 控制策略進(jìn)行系統(tǒng)仿真，位置響應(yīng)波形及跟蹤誤差波形如圖13～圖15所示。

圖13 ADRC，MADRC位置控制輸出波形Fig.13 Position output waveform of ADRC，MADRC

圖14 MADRC跟蹤誤差波形Fig.14 Tracking error waveform of MADRC

圖15 ADRC 跟蹤誤差波形Fig.15 Tracking error waveform of ADRC

圖13 為采用ADRC與MADRC時(shí)，位置輸出跟蹤波形。從圖13中可以看到，在采用ADRC控制時(shí)，位置輸出響應(yīng)經(jīng)過(guò)0.06 s左右達(dá)到穩(wěn)態(tài)，在0.02 s 時(shí)，其輸出誤差達(dá)到峰值0.12，在到達(dá)波峰與波谷時(shí)，誤差會(huì)有極小的增大。由圖14 與圖15對(duì)應(yīng)的跟蹤誤差波形可以看出，采用ADRC控制時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)較快，經(jīng)0.05 s 左右可達(dá)到穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)輸出誤差最大值可達(dá)到0.1左右；當(dāng)MADRC時(shí)，基本不存在超調(diào)現(xiàn)象，響應(yīng)速度更快且誤差很小，仿真結(jié)果表明MADRC 具有良好的控制性能。

5 結(jié)論

針對(duì)直線電機(jī)強(qiáng)耦合、非線性、多變量的特點(diǎn)，提出了基于ADRC 的dq 軸電流解耦控制，同時(shí)，結(jié)合ADRC策略，給出了直線電機(jī)自抗擾控制系統(tǒng)詳細(xì)的理論分析與設(shè)計(jì)思路，搭建了完整的仿真模型并針對(duì)速度控制系統(tǒng)分別采用了串級(jí)一階ADRC、“ADRC+PID”組合算法、二階ADRC算法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明在滿足系統(tǒng)快速響應(yīng)的同時(shí)，其超調(diào)量較小，具有良好的魯棒性；針對(duì)位置控制系統(tǒng)，在帶有反饋通道的改進(jìn)型ADRC 算法的基礎(chǔ)上，引入?yún)⒖技铀俣茸鳛榍梆伩刂屏?，?gòu)建了基于MADRC的位置控制系統(tǒng)，仿真結(jié)果表明采用該設(shè)計(jì)方法時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)快速，跟蹤誤差小，具有良好的控制性能。由此證明了文中所提出的自抗擾控制方案的可行性，驗(yàn)證了自抗擾控制器具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和魯棒性。值得說(shuō)明的是，文中側(cè)重于直線電機(jī)ADRC系統(tǒng)的理論推導(dǎo)與設(shè)計(jì)，尚缺乏一定的系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)支撐，控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的調(diào)試運(yùn)行將是今后工作的重點(diǎn)。

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