一類偶數(shù)階中立型泛函偏微分系統(tǒng)的振動(dòng)準(zhǔn)則*

羅李平，羅振國，楊 柳

(衡陽師范學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 衡陽 421002)

?

一類偶數(shù)階中立型泛函偏微分系統(tǒng)的振動(dòng)準(zhǔn)則*

羅李平，羅振國，楊 柳

(衡陽師范學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 衡陽 421002)

考慮一類具連續(xù)滯量和非線性擴(kuò)散項(xiàng)的偶數(shù)階中立型泛函偏微分系統(tǒng)，利用一種基于一類核函數(shù)Φ(t,s,r)和Riccati變換的新技巧，建立了該類系統(tǒng)在Robin邊值條件下所有解振動(dòng)的若干新的充分條件。

振動(dòng)性；泛函偏微分系統(tǒng)；偶數(shù)階；中立型；核函數(shù)

在自然科學(xué)和工程技術(shù)研究中，許多現(xiàn)象都用(偏)微分系統(tǒng)作為其數(shù)學(xué)模型，但都是假定事物的變化規(guī)律只與當(dāng)時(shí)狀態(tài)有關(guān)，而與過去歷史狀態(tài)無關(guān)。但在實(shí)際問題中，一個(gè)系統(tǒng)將來的行為不僅依賴于現(xiàn)在的狀態(tài)，也受過去狀態(tài)的影響。因此，用傳統(tǒng)的(偏)微分系統(tǒng)去描述系統(tǒng)狀態(tài)只是一種近似，并不能精確描述，取而代之的是帶有各種滯后量(特別是帶時(shí)間滯后量)的(偏)微分系統(tǒng)，被統(tǒng)稱為泛函(偏)微分系統(tǒng)。由于泛函(偏)微分系統(tǒng)充分考慮到歷史因素(即滯后量)對(duì)系統(tǒng)的影響，故能更精確地描述實(shí)際現(xiàn)象，在物理學(xué)、生物數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、自動(dòng)控制、通訊理論等學(xué)科領(lǐng)域中都廣泛地涉及到它。振動(dòng)性理論作為泛函偏微分系統(tǒng)定性理論的重要分支之一，對(duì)其展開研究具有重要的理論價(jià)值和實(shí)用價(jià)值。近年來，關(guān)于泛函偏微分系統(tǒng)的振動(dòng)性研究已取得了一些很好的結(jié)果[1-7]，但關(guān)于具連續(xù)滯量和非線性擴(kuò)散項(xiàng)的泛函偏微分系統(tǒng)(尤其是高階情形)的振動(dòng)性的研究還不多見。本文的目的是著手研究如下的具連續(xù)滯量和非線性擴(kuò)散項(xiàng)的偶數(shù)階中立型泛函偏微分系統(tǒng)

(E)

在Robin邊值條件

(B)

本文中，如不特別說明，總假設(shè)下列條件成立：

(H6)hi(ui),hik(ui)∈C1(R,R+)，

(H7)τ(η),μ(ξ)分別為[c,d]和[a,b]上非減函數(shù)。

1 定義及引理

定義1 稱向量函數(shù)

為邊值問題(E)、(B)的解，若它在G內(nèi)滿足方程組(E)且在?Ω×R+上滿足邊界條件(B)。

定義2 稱數(shù)值函數(shù)v(x,t)在G內(nèi)振動(dòng)，若對(duì)任意正數(shù)β，存在點(diǎn)(x0,t0)∈Ω×[β,∞)，使得v(x0,t0)=0，否則，稱為非振動(dòng)的；稱邊值問題(E)、(B)的解u(x,t)在G內(nèi)振動(dòng)，若它至少有一個(gè)分量作為數(shù)值函數(shù)是振動(dòng)的；稱邊值問題(E)、(B)的解u(x,t)在G內(nèi)非振動(dòng)，若它的每一個(gè)分量作為數(shù)值函數(shù)都是非振動(dòng)的。

定義3 設(shè)D={(t,s):t≥s≥t0}，稱函數(shù)H=H(t,s)屬于函數(shù)類X，記作H∈X，若H∈C(D,R)滿足：當(dāng)t≥t0時(shí)，H(t,t)=0；當(dāng)t>s≥t0時(shí)，H(t,s)>0，并且在D上關(guān)于t和s有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

定義4 設(shè)E={(t,s,r):t≥s≥r≥t0},稱函數(shù)Φ=Φ(t,s,r)屬于函數(shù)類Y，記作Φ∈Y，若Φ∈C(E,R)滿足：當(dāng)t≥r≥t0時(shí)，Φ(t,t,r)=Φ(t,r,r)=0；當(dāng)t>s>r≥t0時(shí)，Φ(t,s,r)>0，并且在E上關(guān)于s有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

設(shè)Φ∈Y，g(t)∈C([t0,R),R)，定義算子T[*;r,t]如下

(1)

函數(shù)φ(t,s,r)定義為

(2)

注1 容易驗(yàn)證算子T[*;r,t]是線性算子，并且滿足

(3)

注2 易知對(duì)任意H1,H2∈X，有H1(t,s)H2(s,r)∈Y。

引理1[8]設(shè)y(t)∈Cn(I,R)為常號(hào)，在I上y(n)(t)≠0且滿足y(n)(t)y(t)≤0，則

(i) 存在t1≥t0，使得y(i)(t)(i=1,2,…,n-1)在[t1,∞)上常號(hào)；

(ii) 存在l∈{0,1,2,…,n-1},n+l為奇數(shù)，使得

y(i)(t)>0,t≥t1,i=0,1,2,…,l；

(-1)i+ly(i)(t)>0,t≥t1,i=l+1,…,n

引理2[9]設(shè)y(t)滿足引理1的條件，且y(n-1)(t)y(n)(t)≤0,t≥t1，則對(duì)每一θ∈(0,1)，存在常數(shù)N>0，使得

2 主要結(jié)果及其證明

定理1 若微分不等式

(4)

無最終正解，其中λ=1-P，N是某一正數(shù)，則邊值問題(E)、(B)的所有解在G內(nèi)振動(dòng)。

問題(E)兩邊關(guān)于x在Ω上積分，有

(5)

交換積分順序有

(6)

利用Green公式，邊界條件(B)及(H6)，得到

(7)

(8)

其中dS是?Ω上的面積元素。

聯(lián)合式(5)-式(8)，并注意到條件(H3)，(H5)，有

t≥t1，i∈Im

(9)

令Vi(t)=∫ΩZi(x,t)dx，t≥t1，i∈Im，顯然Vi(t)>0，t≥t1，i∈Im，于是由式(9)有

t≥t1，i∈Im

t≥t1

(10)

注意到

于是由式(10)有

(11)

令

(12)

則z(t)≥V(t)>0，并且結(jié)合式(11)有

t≥t1

(13)

于是由引理1知，存在t2≥t1，使得z′(t)>0和z(n-1)(t)>0，t≥t2。由式(12)有

(14)

聯(lián)合式(13)和式(14)產(chǎn)生

(15)

令

(16)

則W(t)>0，t≥t2。因z(t)是增函數(shù)，g(t,ξ)關(guān)于t和ξ非減，故存在t3≥t2，使得

(17)

于是由式(15)- 式(17)有

即

(18)

此示W(wǎng)(t)是微分不等式(4)的一個(gè)最終正解，而這與定理1的題設(shè)矛盾。證畢。

定理2 若對(duì)任意r≥t0，存在函數(shù)Φ∈Y，使得

(19)

其中算子T和函數(shù)φ(t,s,r)分別由式(1)和式(2)定義，則邊值問題(E)、(B)的所有解在G內(nèi)振動(dòng)。

證明 由定理1知，只需要證明在定理2的條件下，微分不等式(4)無最終正解即可。

假設(shè)微分不等式(4)存在一個(gè)解W(t)在[t0,∞)(t0>0)上無零點(diǎn)，不失一般性，不妨設(shè)W(t)>0，t∈[t1,∞)，t1≥t0。由不等式(4)有

t≥t1

(20)

對(duì)式(20)應(yīng)用算子T[*;r,t](t≥r≥t1)，并利用式(3)可得

于是對(duì)任意t≥r≥t1，有

(21)

對(duì)式(21)取上極限，可得

此與式(19)相矛盾。證畢。

注3 由定理1可知，選擇不同的核函數(shù)Φ(t,s,r)，通過簡單的計(jì)算，可得到邊值問題(E)、(B)不同的振動(dòng)準(zhǔn)則。

若取Φ(t,s,r)=H1(t,s)H2(s,r)，其中H1,H2∈X。由定理1可得如下定理。

定理3 若對(duì)任意r≥t0，存在函數(shù)H1,H2∈X，使得

其中h1,h2定義如下

(22)

h1,h2在D上局部可積，則邊值問題(E)、(B)的所有解在G內(nèi)振動(dòng)。

若取Φ(t,s,r)=ρ(s)(t-s)α(s-r)β，其中ρ(s)∈C1(I,R+)，α,β>1為常數(shù)。由定理1可得如下定理。

定理4 若對(duì)任意r≥t0，存在函數(shù)ρ(s)∈C1(I,R+)和常數(shù)α,β>1，使得

則邊值問題(E)、(B)的所有解在G內(nèi)振動(dòng)。

注4 我們可以看到，定理2-定理4中的結(jié)果都包含系數(shù)p和qij的積分，因此需要系數(shù)在整個(gè)區(qū)間I上的信息。然而根據(jù)Stum分離定理，振動(dòng)性僅僅是一個(gè)區(qū)間性質(zhì)。因此，下面對(duì)邊值問題(E)、 (B)的區(qū)間振動(dòng)性質(zhì)做進(jìn)一步的研究，建立了幾個(gè)新的區(qū)間振動(dòng)準(zhǔn)則，這些準(zhǔn)則僅僅是基于系數(shù)在I的一系列子區(qū)間上的信息。

定理5 若對(duì)任意r≥t0，存在函數(shù)Φ∈Y和常數(shù)v>u≥r，使得

其中算子T和函數(shù)φ(v,s,u)分別由式(1)和式(2)定義，則邊值問題(E)、(B)的所有解在G內(nèi)振動(dòng)。

證明 同定理2的證明，將其中的t,r分別用v和u替換，容易看到微分不等式(4)的每一個(gè)解在區(qū)間(u,v)中至少有一個(gè)零點(diǎn)，即不等式(4)的每一個(gè)解在I上有任意大的零點(diǎn)，因此微分不等式(4)無最終正解。由定理1知，邊值問題(E)、(B)的所有解在G內(nèi)振動(dòng)。證畢。

類似于注3的討論，可得如下結(jié)果。

定理6 若對(duì)任意r≥t0，存在函數(shù)H1,H2∈X和常數(shù)v>u≥r，使得

其中h1,h2由式(22)定義，則邊值問題(E)、(B)的所有解在G內(nèi)振動(dòng)。

定理7 若對(duì)任意r≥t0，存在函數(shù)ρ(s)∈C1(I,R+)和常數(shù)α,β>1，v>u≥r，使得

則邊值問題(E)、(B)的所有解在G內(nèi)振動(dòng)。

[1]LIYK.Oscillationsofsystemsofhyperbolicdifferentialequationswithdeviatingarguments[J].ActaMathSinica, 1997, 40(1): 100-105.

[2]GUANXP,YANGJ.Oscillationofsystemsofnonlinearhyperbolicpartialfunctionaldifferentialequationsofneutraltype[J].JSysSci&MathScis, 1998, 18(2): 239-246.

[3]LIWN,CUIBT.Oscillationforsystemsofneutraldelayhyperbolicdifferentialequations[J].IndianJPureApplMath, 2000, 31: 933-948.

[4]DENGLH,GEWG,YUYH.Oscillationofsystemsofquasilinearparabolicfunctionaldifferentialequationsaboutboundaryvalueproblems[J].ActaMathApplSinica, 2001, 24(2): 295-301.

[5]LIWN,CUIBT,DEBNATHL.Oscillationofsystemsofcertainneutraldelayparabolicdifferentialequations[J].JApplMathStochasticAnal, 2003, 16(1): 83-94.

[6]WANGPG,WUYH.Oscillationofsolutionsforsystemsofhyperbolicequationsofneutraltype[J].ElectronicJournalofDifferentialEquations, 2004, 2004(80):1-8.

[7]DENGLH,MUCL.Oscillationofsolutionsofthesystemsofquasilinearhyperbolicequationsundernonlinearboundarycondition[J].ActaMathScientia, 2007, 27B(3): 656-662.

[9]PHILOSCG.Anewcriterionforoscillatoryandasymptoticbehaviorofdelaydifferentialequations[J].BullAcadPolSciSerSciMat, 1981, 29: 367-370.

Oscillation Criteria of Certain Even Order Neutral Functional Partial Differential Systems

LUOLiping,LUOZhenguo,YANGLiu

(College of Mathematics and Statistics, Hengyang Normal University, Hengyang 421002, China)

A class of even order neutral functional partial differential systems with continuous delay and nonlinear diffusion term is studied. By using a new technique based on a class of kernel functionsΦ(t,s,r)andRiccati’stransformation,somenewsufficientconditionsforoscillationofallsolutionsofsuchsystemsareestablishedunderRobin’sboundaryvaluecondition.

oscillation; functional partial differential system; even order; neutral type; kernel function

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.06.010

2015-04-08 基金項(xiàng)目：湖南省“十二五”重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科資助項(xiàng)目(湘教發(fā)[2011]76)；湖南省自然科學(xué)基金青年資助項(xiàng)目(13JJ4098)

羅李平(1964年生)，男；研究方向：(脈沖)偏微分方程解的性態(tài);E-mail:luolp3456034@163.com

O

A

0529-6579(2015)06-0050-05