跨階數(shù)的概念及其應用

孫建新

（紹興文理學院 數(shù)學系，浙江 紹興 312000）

跨階數(shù)的概念及其應用

孫建新

（紹興文理學院 數(shù)學系，浙江 紹興 312000）

注意到

所以

即s＞1時(12)式也成立.

若記r階正則冪指數(shù)序列的集合為Jr,則有如下

引理4.3 r階正則冪指數(shù)序列恰有2r-1個.即則|Jr|=2r-1.

證明 對r用數(shù)學歸納法證之.

當r=1時,因為1階正則冪指數(shù)序列僅有1個,即J1={2},所以命題為真;

假設1≤r＜m時命題為真,即|Jr|=2r-1(1≤r＜m).要證r=m時命題亦真.

事實上,在r=m時,有2≤j1≤m+1.由ja取值的不同,可分為m種情況.其中當j1=m+1時,僅有1種:(m+1)11…1;當j1=s(2≤s≤m)時,必有j1=j2=… =js-1=1而jsjs+1…jm根據(jù)歸納假設應有2m-s個元素.于是在r=m時,共有元素為

由引理4.1、4.2與4.3,不難寫出任何r階的2r-1個冪指數(shù)序列,其低階的冪指數(shù)序列舉例如下:

定理4.4 設cr為引理2.2中的系數(shù),則

證明 對下標r用數(shù)學歸納法證之.

注意到c0=1,由引理3.1可得可知命題對r≤2成立.

假設命題對r＜m成立,要證明r=m時也成立.

事實上,若j1+j2+… +jr=2m,由引理4.1可設s=j1≥2,則有j2=… =js-1=1,js≥2.所以j1+j2+…js-1=s+(s-2)=2s-2,由此可得js+js+1+… +jm=2(m-s+1),(s＞1).即jsjs+1…jm∈ Jm-s+1.

由引理3.1以及歸納假設可得

其中,j1=m+1-i≥2(0≤i≤m-1),j2=j3=… =js-1=1.(獲證)

5 堆壘級數(shù)部分和Sk的展開式系數(shù)bk,j的新計算公式

定理5.1 設bk,j為k-1階堆壘級數(shù)部分和Sk-1的關(guān)于n的展開式的系數(shù),則

證明 由引理2.1、2.2與2.3可得

定理5.2 Sk-1的關(guān)于n的展開式(14)的系數(shù)bkj(j=k-r)的直接計算公式為

證明 由定理5.1以及定理4.4即得.

由定理5.2,取r=0,1…,7,即得如下推論:

推論5.3 (1) bk,k=1/k(k≥1);

(2) bk,k-1=1/2(k≥2);

(3) bk,k-2=(k-1)/12(k≥3);

(4) bk,k-3=0(k≥4,b4,1=0);

(5) bk,k-4=-(k-1)!3/720(k≥5);

(6) bk,k-5=0(k≥6,b6,1=0);

(7) bk,k-6=(k-1)!5/30240(k≥7);

(8) bk,k-7=-(k-1)!6/30240(k≥8).

[1]孫建新.堆壘級數(shù)部分和的一般公式[J].紹興文理學院學報,2010,30(7):21-25.

[2]孫建新.關(guān)于堆壘級數(shù)部分和公式的注記[J].紹興文理學院學報,2011,31(7):1-5.

[3]方開泰.有限差算子及其應用[J].應用數(shù)學與計算數(shù)學,1984(4):22-31.

(責任編輯 魯越青)

The Concept of Poly-step Number and Its Application

Sun Jianxin

(Department of Mathematics,Shaoxing University,Shaoxing,Zhejiang 312000)

The new concept,poly-step number,is introduced and applied in the research of the partial sum of stacking series.Then more properties and computational formulas of c r and b kj are obtained.

regular sequence of power exponents;poly-step number;stacking series;partial sum;coefficient of expansion;computational formula