狀態(tài)依賴(lài)下不確定切換線(xiàn)性系統(tǒng)有限時(shí)間有界性分析

王躍華,孫曉靚

(1.沈陽(yáng)大學(xué) 師范學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110041; 2.遼寧水利職業(yè)學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110122)

狀態(tài)依賴(lài)下不確定切換線(xiàn)性系統(tǒng)有限時(shí)間有界性分析

王躍華1,孫曉靚2

(1.沈陽(yáng)大學(xué) 師范學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110041; 2.遼寧水利職業(yè)學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110122)

根據(jù)凸組合方法,依據(jù)狀態(tài)依賴(lài)切換策略設(shè)計(jì)切換信號(hào)和Lyapunov類(lèi)函數(shù)的方法,解決了一類(lèi)帶有不確定項(xiàng)的切換線(xiàn)性系統(tǒng)在外部干擾存在前提下的有限時(shí)間有界性問(wèn)題,并且分析了滑膜現(xiàn)象產(chǎn)生的情況.

存在干擾; 不確定項(xiàng); 狀態(tài)依賴(lài)切換策略; 有限時(shí)間有界

有限時(shí)間穩(wěn)定研究的是在沒(méi)有外部干擾的情況下系統(tǒng)在較短的時(shí)間間隔里的具體行為表現(xiàn),而當(dāng)外部干擾存在時(shí)就變成了有限時(shí)間有界的問(wèn)題.近年來(lái),關(guān)于有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題的結(jié)果有很多.文獻(xiàn)[1]研究的是帶有不定項(xiàng)以及干擾的線(xiàn)性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性和有限時(shí)間有界性問(wèn)題.文獻(xiàn)[2]考慮的是脈沖動(dòng)力系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題,文獻(xiàn)[3]給出了設(shè)計(jì)一個(gè)動(dòng)力反饋輸出控制器的過(guò)程.文獻(xiàn)[4]研究了關(guān)于帶有時(shí)變時(shí)滯的切換系統(tǒng)基于H∞有限時(shí)間控制的觀測(cè)器的問(wèn)題.文獻(xiàn)[5]中研究了一系列具有外部干擾的時(shí)變切換線(xiàn)性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定以及有界問(wèn)題,給出了當(dāng)切換系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的前提時(shí)的一組狀態(tài)依賴(lài)切換信號(hào),并且這里的狀態(tài)依賴(lài)切換信號(hào)是根據(jù)單Lyapunov類(lèi)函數(shù)設(shè)計(jì)的.

對(duì)于有限時(shí)間穩(wěn)定以及有界問(wèn)題的解決方法,目前大多數(shù)依據(jù)的是時(shí)間依賴(lài)切換策略.但有時(shí)當(dāng)切換間隔沒(méi)有事先給出時(shí),就需要給出基于當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)的切換策略.文獻(xiàn)[6]研究了基于狀態(tài)切換策略下的切換線(xiàn)性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定、有限時(shí)間有界問(wèn)題,而文獻(xiàn)[7]同樣在狀態(tài)切換策略下研究了切換線(xiàn)性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定、有限時(shí)間有界問(wèn)題,并給出了帶有滑膜情況的結(jié)論.本文在文獻(xiàn)[6-7]的基礎(chǔ)上,同樣在解決帶有不確定項(xiàng)的切換線(xiàn)性系統(tǒng)的有限時(shí)間的有界問(wèn)題上,得到了可以依據(jù)狀態(tài)依賴(lài)切換策略(滑膜情況考慮在內(nèi))的結(jié)論.

1 系統(tǒng)描述與相應(yīng)問(wèn)題的說(shuō)明

對(duì)于一組如下形式的切換線(xiàn)性控制系統(tǒng)

(1)

(2)

對(duì)于系統(tǒng)(1),選擇狀態(tài)反饋控制器

(3)

將式(3)代入切換線(xiàn)性系統(tǒng)(1),則可以得到如下閉環(huán)系統(tǒng)

2 系統(tǒng)假設(shè)與相關(guān)引理

假設(shè)1x(t)的曲線(xiàn)是處處連續(xù)的,也就是在切換的瞬間切換線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)是不會(huì)發(fā)生跳躍的.

為了找到切換線(xiàn)性系統(tǒng)的每一個(gè)子系統(tǒng)的李雅普諾夫類(lèi)函數(shù),分割整個(gè)狀態(tài)空間Rn成若干個(gè)子空間,記作Ωi.為了達(dá)到這個(gè)目的,需將整個(gè)狀態(tài)空間被這些Ωi區(qū)間覆蓋,即滿(mǎn)足如下的覆蓋條件即可

(4)

要實(shí)現(xiàn)將問(wèn)題簡(jiǎn)化的目的,假設(shè)每個(gè)子空間Ωi都可以表示成以下二次形式

(5)

式中,Qi∈Rn×n為對(duì)稱(chēng)矩陣.

如下引理即可幫助實(shí)現(xiàn)覆蓋條件.

引理1[8](覆蓋條件) 如果對(duì)于每一個(gè)狀態(tài)x∈Rn,都有

(6)

成立,那么Ω1∪Ω2∪…∪Ωm=Rn.其中,θi≥0,i=1,2,…,m.

3 有限時(shí)間有界的定義

4 有限時(shí)間有界的充分條件及證明

將系統(tǒng)(1)選擇切換狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kσ(t)x(t),將它代入切換線(xiàn)性系統(tǒng)(1),即可得到如下形式的閉環(huán)系統(tǒng)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

切換策略為

(12)

證明 令V(x)=Vi(x)=xTPix,對(duì)每一個(gè)子系統(tǒng)的能量測(cè)量,選用李雅普諾夫備選函數(shù).不妨設(shè)i=1,2,j=1,2.對(duì)于i,j為其他值的一般情況也是明顯的.

(13)

即:

(14)

對(duì)式(14)由tk到t積分可得

(15)

(16)

由式(15)和式(16),可得

(17)

(18)

(19)

由定義以及式(17)～式(19),可以得到

(20)

根據(jù)定義可知,連續(xù)時(shí)間切換線(xiàn)性系統(tǒng)(1)是有限時(shí)間有界的.

第二種情況:當(dāng)產(chǎn)生滑膜現(xiàn)象時(shí).此時(shí),狀態(tài)滿(mǎn)足

即滑膜現(xiàn)象產(chǎn)生于子系統(tǒng)間發(fā)生轉(zhuǎn)換之時(shí).滑膜現(xiàn)象可能出現(xiàn)的區(qū)域?yàn)棣竔,j處,此時(shí)滿(mǎn)足如下關(guān)系式:xTQix=xTQjx≥0.滑膜現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致切換表面穩(wěn)定或不穩(wěn)定的情況發(fā)生,因此,需要研究的是在滑膜現(xiàn)象發(fā)生時(shí)定理中給定的條件能否保證系統(tǒng)仍然是有限時(shí)間有界的.當(dāng)滑膜現(xiàn)象在Ωi,j處發(fā)生時(shí),即意味著如下關(guān)系式成立

其中,i=1,2,…,m,j=1,2,…,m.即

(21)

(22)

在滑膜表面的系統(tǒng)可以表示成

(23)

式中,ρ∈[0,1].由式(8)以及前面的條件可得:

由此可得:

(24)

(25)

式(24)和式(25)相加可得

(26)

同時(shí)可得到:

(27)

(28)

式(27)和式(28)相加可以得到

(29)

由此可得:

(30)

(31)

因此,在滑膜表面的系統(tǒng)中,上述條件同樣適用.證明過(guò)程的其他部分和第一種情況是相同的.

5 結(jié) 語(yǔ)

依據(jù)狀態(tài)依賴(lài)切換策略,在外部干擾存在的前提下,主要研究了帶有不確定項(xiàng)的切換系統(tǒng)的有限時(shí)間有界性問(wèn)題.相對(duì)于運(yùn)用時(shí)間依賴(lài)切換策略來(lái)說(shuō),狀態(tài)依賴(lài)切換策略更顯復(fù)雜,鑒于切換常數(shù)一般不會(huì)事先給出,狀態(tài)依賴(lài)切換策略就更具實(shí)用性.

[1] Amato F,Ariola M,Dorato P.Finite-Time Control of Linear Systems Subject to Parametric Uncertainties and Disturbances[J].Automatica,2001,37(9):1459-1463.

[2]GarciaG,TarbouriechS,BernussouJ.Finite-TimeStabilizationofLinearTime-VaryingContinuousSystems[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2009,54(2):364-369.

[3]AmatoF,AriolaM,CosentinoC.Finite-TimeStabilizationviaDynamicOutputFeedback[J].Automatica,2006,42(2):337-342.

[4]LiuH,ShenY,ZhaoXD.Delay-DependentObserver-BasedH1Finite-timeControlforSwitchedSystemswithTime-VaryingDelay[J].NonlinearAnalysis:HybridSystems,2012,6(3):885-898.

[5]DuHB,LinXG,LiSH.Finite-TimeBoundednessandStabilizationofSwitchedLinearSystems[J].Kybernetika,2010,46(5):870-889.

[6]ZhaoGL,WangJC.FiniteTimeStabilityandL2-GainAnalysisforSwitchedLinearSystemswithState-DependentSwitching[J].JournaloftheFranklinInstitute,2013,350(5):1075-1092.

[7]LiuH,ShenY,ZhaoXD.Finite-TimeStabilizationanBoundednessofSwitchedLinearSystemunderState-DependentSwitching[J].JournaloftheFranklinInstitute,2013,350(3):541-555.

[8]PetterssonS.SynthesisofSwitchedLinearSystems[C]∥Proceedingsofthe42ndIEEEConferenceonDecisionandControl.Maui,2003:5283-5288.

[9] 王躍華,孫曉靚.狀態(tài)依賴(lài)下不確定切換線(xiàn)性系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性分析[J].沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,26(6):514-517.

(WangYuehua,SunXiaoliang.FiniteTimeStabilityofUncertainSwitchedLinearSystemsunderState-DependentSwitching[J].JournalofShenyangUniversity:NaturalScience,2014,26(6):514-517.)

【責(zé)任編輯: 李 艷】

Finite Time Boundedness of Uncertain Switched Linear Systems under State-Dependent Switching

WangYuehua1,SunXiaoliang2

(1.Normal School,Shenyang University,Shenyang 110041,China; 2.Liaoning Water Conservancy Vocational College,Shenyang 110122,China)

The problem of finite time stability of uncertain switched linear systems under state-dependent switching was studied,using the method of covex combinations and state-dependent strategy.Some sufficient conditions have been given for FTB of switched linear systems based on the method of multiple Lyapunov-like functions,and it also suits for sliding motion behaviors.

interference; uncertain item; state-dependent swithching strategy; finite time boundedness

2015-03-06

王躍華(1962-),男,天津人,沈陽(yáng)大學(xué)副教授.

2095-5456(2015)04-0313-05

TP 13; TP 73

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