串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的實(shí)驗(yàn)研究

劉艷峰

(延安大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，陜西 延安 716000)

不是線性關(guān)系，但作T2－m圖線，是一條直線?？梢钥闯鲈趶椈芍芷诠街械馁|(zhì)量，除去負(fù)載m還應(yīng)包括彈簧自身質(zhì)量m0的一部分，即

串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的實(shí)驗(yàn)研究

劉艷峰

(延安大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，陜西 延安 716000)

推導(dǎo)出了串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)計(jì)算公式，同時(shí)從實(shí)驗(yàn)的角度利用振動(dòng)法對(duì)串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)計(jì)算公式進(jìn)行了驗(yàn)證。發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)值與理論計(jì)算值的相對(duì)誤差較小，二者非常吻合，說(shuō)明串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)計(jì)算公式是正確的。該研究一方面有助于學(xué)生進(jìn)一步理解串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的概念，另一方面在實(shí)際生產(chǎn)和生活應(yīng)用中也有一定的參考價(jià)值。

柱形彈簧;錐形彈簧;等效勁度系數(shù)

彈簧的制造材料一般來(lái)說(shuō)應(yīng)具有高的彈性極限、疲勞極限、沖擊韌性及良好的熱處理性能等，常用的有碳素彈簧鋼、合金彈簧鋼、不銹彈簧鋼以及銅合金、鎳合金和橡膠等。彈簧的制造方法有冷卷法和熱卷法。彈簧絲直徑小于8毫米的一般用冷卷法，大于8毫米的用熱卷法。有些彈簧在制成后還要進(jìn)行強(qiáng)壓或噴丸處理，可提高彈簧的承載能力。彈簧是機(jī)械和電子行業(yè)中廣泛使用的一種彈性元件，彈簧在受載時(shí)能產(chǎn)生較大的彈性變形，把機(jī)械功或動(dòng)能轉(zhuǎn)化為變形能，而卸載后彈簧的變形消失并回復(fù)原狀，將變形能轉(zhuǎn)化為機(jī)械功。勁度系數(shù)是彈簧的固有屬性，勁度系數(shù)即倔強(qiáng)系數(shù)［1－5］。所有彈簧在彈性限度內(nèi)均遵守胡克定律，即彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所受的拉力成正比［4］。彈簧組是指由幾個(gè)彈簧通過(guò)適當(dāng)?shù)倪B結(jié)，組成的一個(gè)新的彈簧系統(tǒng)［5］。彈簧組的連結(jié)方式通常有并聯(lián)、串聯(lián)。其中，并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)等于兩個(gè)彈簧勁度系數(shù)之和;彈簧串聯(lián)的等效勁度系數(shù)等于兩個(gè)彈簧勁度系數(shù)的倒數(shù)之和［6－9］。本文推導(dǎo)出了串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)計(jì)算公式，同時(shí)從實(shí)驗(yàn)的角度利用振動(dòng)法對(duì)串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)計(jì)算公式進(jìn)行了驗(yàn)證。首先通過(guò)測(cè)量柱形彈簧和錐形彈簧單獨(dú)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的周期，計(jì)算得出柱形彈簧的勁度系數(shù)和錐形彈簧的勁度系數(shù)，然后把柱形彈簧和錐形彈簧串聯(lián)，測(cè)量出串聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù);把柱形彈簧和錐形彈簧并聯(lián)，測(cè)量出并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù);最后將串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值和理論推導(dǎo)公式計(jì)算值進(jìn)行比較，計(jì)算出二者的相對(duì)誤差。該研究一方面有助于學(xué)生進(jìn)一步理解串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的概念，另一方面在實(shí)際生產(chǎn)和生活應(yīng)用中也有一定的參考價(jià)值。

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 實(shí)驗(yàn)儀器

實(shí)驗(yàn)所用儀器有:細(xì)線，柱形彈簧，錐形彈簧，砝碼，砝碼托盤，秒表，新型焦利氏秤。新型焦利氏秤的簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 新型焦利氏秤

1.2 實(shí)驗(yàn)原理

1.2.1 等效勁度系數(shù)的理論計(jì)算原理

所有彈簧在彈性限度內(nèi)均遵守胡克定律［10－12］，即彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所受的拉力成正比。胡克定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中F為彈簧所受的拉力，x為彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度，k為彈簧的勁度系數(shù)。

彈簧組是指由幾個(gè)彈簧通過(guò)適當(dāng)?shù)倪B結(jié)，組成的一個(gè)新的彈簧系統(tǒng)。彈簧組的連結(jié)方式通常有并聯(lián)、串聯(lián)。設(shè)有勁度系數(shù)分別為k1和k2的兩個(gè)彈簧，分別將他們串聯(lián)和并聯(lián)，如圖2所示。

圖2 串并聯(lián)彈簧示意圖

設(shè)串聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)為k串，并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)為k并，k串和k并分別與k1和k2的關(guān)系式推導(dǎo)如下:

當(dāng)它們串聯(lián)時(shí)，如圖2(a)所示，我們結(jié)合受力分析和力學(xué)特性，假設(shè)彈簧受力為F，兩彈簧的伸長(zhǎng)量分別為△x2和△x2，彈簧的總伸長(zhǎng)量為△x，則根據(jù)(1)式有

那么將公式(1)、公式(2)、公式(3)結(jié)合整理可得

串聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)

將(4)式整理可得

上式(5)即為串聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的計(jì)算公式。

當(dāng)它們并聯(lián)時(shí)，如圖2(b)所示，我們結(jié)合受力分析和力學(xué)特性，假設(shè)并聯(lián)彈簧組所受外力為F，兩彈簧的伸長(zhǎng)量為△x，則

再根據(jù)(1)式有

將(7)式整理可得

那么(8)式即為并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的計(jì)算公式。

1.2.2 等效勁度系數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量原理

設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，懸掛負(fù)載質(zhì)量為m。一般給出彈簧振動(dòng)周期T的公式為

不是線性關(guān)系，但作T2－m圖線，是一條直線。可以看出在彈簧周期公式中的質(zhì)量，除去負(fù)載m還應(yīng)包括彈簧自身質(zhì)量m0的一部分，即

將式(10)改為

通過(guò)測(cè)量加各種不同負(fù)載m的周期T值，由最小二乘法可得

代入上式b=4π2/k的表達(dá)式中，分別計(jì)算出柱形彈簧勁度系數(shù)、錐形彈簧勁度系數(shù)以及二者串并聯(lián)后的等效勁度系數(shù)。

2 實(shí)驗(yàn)方法

2.1 儀器調(diào)節(jié)

如圖1所示，將彈簧掛在焦利氏秤上，調(diào)節(jié)支架的底腳螺旋，使十字線G的豎直線穿過(guò)平面鏡支架上小圓孔的中心，這時(shí)彈簧將與A柱平行。調(diào)節(jié)底板的三個(gè)水平調(diào)節(jié)螺絲，使焦利氏秤立柱垂直。

2.2 測(cè)量

測(cè)量彈簧作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的周期，通過(guò)計(jì)算得出彈簧的勁度系數(shù)。

(1)分別測(cè)量柱形彈簧下端懸掛質(zhì)量為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時(shí)的周期。

(2)分別測(cè)量錐形彈簧下端懸掛質(zhì)量為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時(shí)的周期。

(3)分別測(cè)量柱形彈簧和錐形彈簧串聯(lián)時(shí)下端懸掛質(zhì)量為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時(shí)的周期。

(4)分別測(cè)量柱形彈簧和錐形彈簧并聯(lián)時(shí)下端懸掛質(zhì)量為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時(shí)的周期。

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄及數(shù)據(jù)處理

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄

(1)柱形彈簧下端懸掛質(zhì)量m為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時(shí)，50個(gè)周期的時(shí)間t，周期T，周期的平方T2，數(shù)據(jù)見表1。

表1 柱形彈簧周期T測(cè)量

(2)錐形彈簧下端懸掛質(zhì)量m為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時(shí)，50個(gè)周期的時(shí)間t，周期T，周期的平方T2，數(shù)據(jù)見表2。

表2 錐形彈簧周期T測(cè)量

(3)柱形和錐形彈簧串聯(lián)時(shí)下端懸掛為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時(shí)，50個(gè)周期的時(shí)間t，周期T，周期的平方T2，數(shù)據(jù)見表3。

表3 錐形彈簧和柱形彈簧串聯(lián)周期T測(cè)量

(4)柱形和錐形彈簧并聯(lián)時(shí)下端懸掛為0.5 g，1.0 g，1.5 g，2.0 g，2.5 g，3.0 g時(shí)，50個(gè)周期的時(shí)間t，周期T，周期的平方T2，數(shù)據(jù)見表4。

表4 柱形彈簧和錐形彈簧并聯(lián)周期T測(cè)量

3.2 數(shù)據(jù)處理

(1)柱形彈簧勁度系數(shù):由表1數(shù)據(jù)，根據(jù)公式(11)有

式中k1為柱形彈簧勁度系數(shù)，令y=T2，x=m，，則得

y=a+bx。

利用最小二乘法可得

相關(guān)系數(shù)

(2)錐形彈簧勁度系數(shù):由表2數(shù)據(jù)，根據(jù)公式(11)有

式中k2為錐形彈簧勁度系數(shù)，令y=T2，x=m，則得

利用最小二乘法可得

相關(guān)系數(shù)

(3)柱形彈簧和錐形彈簧串聯(lián)的等效勁度系數(shù):由表3數(shù)據(jù)，根據(jù)公式(11)有

式中k串為柱形彈簧和錐形彈簧串聯(lián)的等效勁度系數(shù)，令則得

利用公式(12)由最小二乘法可得

得實(shí)驗(yàn)值為

相關(guān)系數(shù)

將實(shí)驗(yàn)測(cè)量值k串和理論公式計(jì)算值比較，算其相對(duì)誤差為

測(cè)得二者相對(duì)誤差較小，在誤差允許的范圍內(nèi)。

(4)柱形彈簧和錐形彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù):由表4數(shù)據(jù)，根據(jù)公式(11)有

式中k并為柱形彈簧和錐形彈簧并聯(lián)的等效勁度系數(shù)，令則得

利用最小二乘法得

得實(shí)驗(yàn)值

相關(guān)系數(shù)

將實(shí)驗(yàn)測(cè)量值k并和理論公式計(jì)算值比較，算其相對(duì)誤差為

測(cè)得二者相對(duì)誤差較小，在誤差允許的范圍內(nèi)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文首先推導(dǎo)出了串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)計(jì)算公式，然后從實(shí)驗(yàn)的角度利用振動(dòng)法對(duì)串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效勁度系數(shù)計(jì)算公式進(jìn)行了驗(yàn)證。最后將串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值和理論推導(dǎo)公式計(jì)算值進(jìn)行比較，計(jì)算出二者的相對(duì)誤差。發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)值與理論計(jì)算值的相對(duì)誤差較小，二者非常吻合，說(shuō)明了串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)計(jì)算公式是正確的。該研究一方面有助于學(xué)生進(jìn)一步理解串并聯(lián)彈簧等效勁度系數(shù)的概念，另一方面在實(shí)際生產(chǎn)和生活應(yīng)用中也有一定參考價(jià)值。

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［責(zé)任編輯 賀小林］

Experimental Study on the Equivalent Stiffness Coefficient of Parallel and Serial Spring

LIU Yan－feng

(College of Physics and Electronic Information，Yan'an University，Yan'an 716000，China)

A formula is derived to calculate the equivalent stiffness coefficient about springs connected in series and parallel.At the same time，they are validated in vibrationmethod from the experimental point，the experimental results and theoretical calculation results are very well，It illustrates the formula of calculating the equivalent stiffness coefficient about springs connected in series and parallel is correct.The research results help students to further understand the equivalent stiffness coefficient about springs connected in series and parallel spring，they also have certain reference value in actual production and application.

cylindrical spring;conical spring;the equivalent stiffness coefficient

O469

A

1004－602X(2015)03－0028－05

10.13876/J.cnki.ydnse.2015.03.028

2014 -11 -20

陜西省2013年科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013K02－14);延安市2013年科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013－KN37);陜西省高水平大學(xué)建設(shè)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(物理學(xué)2012SXTS05)

劉艷峰(1979—)，女，陜西清澗人，延安大學(xué)講師。