高斯曲率絕妙定理的幾種公式的推導(dǎo)方法

邢家省， 高建全， 羅秀華

(1.北京航空航天大學(xué)a.數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，b.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京100191；2.平頂山教育學(xué)院， 河南平頂山 467000)

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高斯曲率絕妙定理的幾種公式的推導(dǎo)方法

邢家省1a，1b， 高建全2， 羅秀華2

(1.北京航空航天大學(xué)a.數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，b.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京100191；2.平頂山教育學(xué)院， 河南平頂山 467000)

考慮高斯曲率絕妙定理的公式表示問題，運(yùn)用曲面上基本方程的矩陣表示法，推導(dǎo)出高斯曲率絕妙定理的直接顯式公式，指出了高斯曲率隱式公式的驗(yàn)證過程，給出了高斯曲率計算公式Liouville形式的推導(dǎo)過程。

曲面論基本方程；高斯曲率；高斯絕妙定理

曲面上高斯曲率的定義和計算公式是經(jīng)典曲面論的重要內(nèi)容[1-6]。曲面上的高斯曲率是曲面的內(nèi)蘊(yùn)量[1-7]，這個著名定理是高斯于1827年發(fā)現(xiàn)的，稱為高斯絕妙定理[2,6]或曲面論的高斯方程，該定理的原始表述形式是用曲面上第一類基本量的隱式表達(dá)[1-7]。給出高斯曲率絕妙定理的最終顯式表達(dá)是研究者的追求，現(xiàn)有文獻(xiàn)中給出的推導(dǎo)過程相當(dāng)繁雜，不利于理解和掌握。研究發(fā)現(xiàn)采用曲面論基本方程的矩陣表示法[8-10]，運(yùn)用矩陣運(yùn)算就可以很簡明的推導(dǎo)出高斯曲率絕妙定理的最終顯式表達(dá)公式[11-12]，對高斯曲率計算公式的Liouville記憶形式亦給出了推導(dǎo)過程[5]。

1 曲面論基本方程的矩陣方程表形式

給出C3類的正則曲面

按照文獻(xiàn)[1-6，9-10]中的符號體系，給出如下一系列記號，

g11g22-g12g21=g

命

是A=(gij)的逆矩陣，

將曲面基本方程改寫成矩陣方程形式為[1-6,8-10]：

(1)

(2)

其中，

2 曲面論基本方程中系數(shù)矩陣滿足的方程

由此，須

利用(1)式，存在可解曲面的充要條件是

(3)

經(jīng)過代入運(yùn)算，最后比較左右兩端的系數(shù)[9-10]，可得

(4)

(5)

3 高斯曲率絕妙定理隱式表示公式的矩陣推導(dǎo)方法

對(4)式右端進(jìn)行代入運(yùn)算[9-10]，可得

(6)

由(6)式兩邊矩陣中右上角的元素對應(yīng)元素相等，可得[1-6,9-10]

于是高斯曲率有內(nèi)蘊(yùn)計算公式[1-6,9-10]

(7)

由(7)式兩邊矩陣中左下角的元素對應(yīng)元素相等，可得

于是高斯曲率內(nèi)蘊(yùn)計算公式[1-6,9-10]

(8)

比較(6)式中兩邊矩陣中的對應(yīng)元素相等，還可得到另外兩個形式的等式[1-4]。

4 高斯曲率絕妙定理的最終顯式表示公式的矩陣推導(dǎo)方法

在(6)式左端，利用曲面基本方程中系數(shù)矩陣的關(guān)系，經(jīng)過代入運(yùn)算[9-10]，可得(6)式等價于[9-10]

(9)

由(9)式兩邊矩陣的右上角對應(yīng)元素相等，可得

[(Γ111g11+Γ211g21)Γ122+

(Γ111g12+Γ211g22)Γ222]+

[(Γ121g11+Γ221g21)Γ112+

(10)

再由

可得

[(Γ111g22-Γ211g12)Γ122+

(-Γ111g12+Γ211g11)Γ222]+

[(Γ121g22-Γ221g12)Γ112+

(-Γ121g12+Γ221g11)Γ212]

(11)

利用

(12)

從而得出

(13)

將(12)式、(13)式的對應(yīng)項(xiàng)代入(11)式，經(jīng)過計算化簡，可得

(14)

公式(14)就是曲面論中著名的高斯方程[11]，這里給出了最終的顯式公式，可以作為標(biāo)準(zhǔn)形式去驗(yàn)證其他形式。

5 高斯曲率絕妙定理的Brioschi公式表示

關(guān)于高斯曲率的內(nèi)蘊(yùn)量有Brioschi公式[1-6,10]：

(15)

將(15)式展開，則得

(16)

顯然(14)式與(16)式是一致的。

6 高斯曲率絕妙定理隱式表示公式的驗(yàn)證推導(dǎo)方法

在一般坐標(biāo)曲線網(wǎng)下，直接驗(yàn)證[1,2,7,9-10]，成立

(17)

事實(shí)上，由

得到

(18)

將(18)式代入(17)式的右端，得到

(19)

對(19)式經(jīng)過求偏導(dǎo)數(shù)計算，可以得出(19)式與(16)式相同，于是(17)式成立。

將(17)式寫為顯式公式，則為

(20)

類似地，在一般坐標(biāo)曲線網(wǎng)下，直接驗(yàn)證[1,2,7,9-10]，成立

(21)

事實(shí)上，注意到

(22)

將(22)式代入(21)式的右端，得到

(23)

對(23)式經(jīng)過求偏導(dǎo)數(shù)計算，可以得到與(16)式同樣的式子，從而(21)式成立。于是，有顯式公式：

(24)

7 高斯曲率計算公式的Liouville記憶形式的發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)過程

(25)

欲證(25)式成立，可以直接驗(yàn)證(25)式的右端與(16)式的形式一樣，然而這沒有指出(25)式本身是如何發(fā)現(xiàn)的。

將(20)式和(24)式的兩端相加，得到

(26)

經(jīng)過逐項(xiàng)求偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及化簡，可得到

(27)

(28)

將(27)式和(28)式相加，得到

(29)

將(29)式代入(26)式，得(25)式成立。

8 常用參數(shù)坐標(biāo)網(wǎng)下的高斯曲率絕妙定理的最終表示公式

在此參數(shù)坐標(biāo)網(wǎng)的符號體系下，(14)式、(15)式和(25)式的形式分別為：

高斯絕妙定理的最終顯式公式：

F(EuGv-EvGu-2EvFv+4FuFv-2FuGu)+

2(EG-F2)(Evv-2Fuv+Guu)]

(30)

高斯絕妙定理的Brioschi顯式公式：

(31)

將(31)式展開，可得到(30)式。

高斯曲率計算的Liouville記憶形式：

(32)

其中，g=EG-F2。

高斯曲率的內(nèi)蘊(yùn)計算公式(30)式，可以作為標(biāo)準(zhǔn)形式檢驗(yàn)其他形式，這里給出的證明過程并不復(fù)雜，便于查找引用。在文獻(xiàn)[12]中，沒能正確的寫出(30)式，而是寫出了一個錯誤公式，可以用正確的(30)式，給予更正。

[1] 梅向明,黃敬之.微分幾何[M].4版.北京:高等教育出版社,2008.

[2] 陳維桓.微分幾何[M].北京:北京大學(xué)出版社,2006.

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[5] 王幼寧,劉繼志.微分幾何講義[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2003.

[6] 陳維桓.微分幾何例題詳解和習(xí)題匯編[M].北京:高等教育出版社,2010.

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[8] 謝琳,安揚(yáng).一個利用矩陣整體推導(dǎo)曲面結(jié)構(gòu)方程的方法[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,30(3):262-264.

[9] 邢家省,高建全,羅秀華.曲面論基本方程的矩陣推導(dǎo)方法[J].吉首大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2014,35(3):4-10.

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[11] 陳惠勇.高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何與非歐幾何[J].西北大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2006,36(6):1028-1032.

[12] 華羅庚,王元.高等數(shù)學(xué)引論(第二冊)[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

Derivation Methods of Several Formulas of Gaussian Curvature Theorem Egregium

XINGJiasheng1a,1b,GAOJianquan2,LUOXiuhua2

(1a.School of Mathematics and Systems Science; 1b.LMIB of the Ministry of Education, Beihang University, Beijing 100191, China;2.Pingdingshan Institute of Education, Pingdingshan 467000, China)

In view of the formula expression problem of Gaussian curvature Theorem Egregium, the direct explicit formula expression of Theorem Egregium of Gaussian curvature is derived by means of the matrix expression of the fundamental equation on curved surface. The proof procedure of Gaussian curvature implicit formula and the derivation of the calculation formula of Gaussian curvature in Liouville form are demonstrated.

fundamental equation of surface theory; Gaussian curvature; Gauss Theorem Egregium

2014-10-01

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11201020)；北京航空航天大學(xué)校級重大教改項(xiàng)目(201401)

邢家省(1964-)，男，河南泌陽人，副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何方面的研究，(E-mail)xjsh@buaa.edu.cn

1673-1549(2015)03-0080-06

10.11863/j.suse.2015.03.17

O186.1

A