K／N（G）冗余結構下隨艦備件配置方案

周 亮，李慶民，王 睿，彭英武

（1.海軍工程大學兵器工程系，湖北武漢430033；2.國防大學軍事后勤與軍事科技裝備教研部，北京100083）

K／N（G）冗余結構下隨艦備件配置方案

周 亮1，李慶民1，王 睿2，彭英武1

（1.海軍工程大學兵器工程系，湖北武漢430033；2.國防大學軍事后勤與軍事科技裝備教研部，北京100083）

針對艦船編隊在航無補給的情況，對經典可修復備件多級管理（multi-echelon technology for recoverable item control，METRIC）模型進行了擴展，建立了艦船出航期間設備冗余和外場更換件冗余系統(tǒng)任務成功概率評估模型及備件優(yōu)化模型。針對任務期間艦船設備和外場更換件最小工作數量隨時間變化、編隊任務成功概率難求的問題，采用超幾何分布和二項分布結合的方法求取裝備的瞬時可用度，進而求得艦船編隊的任務成功概率。以任務成功概率為優(yōu)化目標，備件總費用為約束條件，基于邊際算法計算了備件方案。通過實例分析了在航編隊任務成功概率隨時間的變化曲線，曲線變化趨勢與實際情況相符。

備件；冗余；任務成功概率；二項分布；邊際算法

0 引 言

艦船上裝備類型多，結構復雜，采用K／N（G）冗余結構是提高艦船裝備可靠性的重要手段。K／N（G）冗余系統(tǒng)是指由N個同型部件組成的結構系統(tǒng)，要求至少有K個部件正常工作。在艦船出航執(zhí)行任務時，裝備系統(tǒng)工作的狀態(tài)和強度及同型設備的最小工作數量K隨著時間不斷變化。如艦船演習任務中，在起航和返航階段，艦船沒有戰(zhàn)斗任務，火控雷達不工作，導航雷達工作；在演習階段，導航雷達和多部火控雷達工作，隨著演習內容的變化，裝備和設備工作的狀態(tài)和數量也在不斷變化。由于編隊在執(zhí)行任務時，遠離中心保障基地，中途沒有補給。因此，如何給在外執(zhí)行復雜任務的艦船編隊配備合適數量的備件，直接影響著任務期間裝備的使用可用度，進而影響編隊完成任務的情況。

國內外學者對裝備備件初始配備數量進行了大量的研究。國外針對多級連續(xù)保障模型，以裝備可用度為優(yōu)化目標，費用為約束條件，建立了可修復備件多級管理（multiechelon technology for recoverable item control，METRIC）［1］模型，為了完善功能，后來陸續(xù)開發(fā)了VARI-METRIC［2］、MOD- METRIC［3］、DYNA-METRIC［4］等模型，文獻［5- 6］均是基于這些模型演變而來。但以上這些模型均不能計算短期內冗余系統(tǒng)的備件數量。文獻［7- 8］建立了多任務階段任意結構系統(tǒng)的備件可用度評估模型，但只針對外場更換件（line replaceable unit，LRU）冗余，且只適合于不可修備件，應用范圍狹窄。文獻［9］針對兩層k／N冗余系統(tǒng)，采用超幾何分布的方法求取供應可用度，但是不適合計算備件類型多的裝備。文獻［10］采用了有限源排隊論和二項概率分布的方法對冗余系統(tǒng)供應可用度進行了求解。文獻［11］采用擬合分布的方法求取冗余結構系統(tǒng)備件的配置。文獻［12- 14］采用仿真的方法計算系統(tǒng)初始備件配備數量。文獻［15- 17］對裝備系統(tǒng)預防維修頻率及備件配置進行了研究。文獻［18- 20］研究了保障站點維修能力或維修資源有限情況下系統(tǒng)的可靠性。文獻［21- 22］基于METRIC模型對多站點橫向轉運下備件配備進行了研究。

本文基于經典METRIC模型，根據艦船編隊在外執(zhí)行任務的特點，對模型進行擴展，將艦船分為裝備、設備、LRU 3個層級，以編隊任務成功概率作為評估指標，建立多任務階段設備及LRU冗余結構下任務成功率評估模型及備件優(yōu)化模型。首先求取任務期間內LRU短缺數概率分布，其次基于超幾何分布求取設備滿足要求的概率，再用二項分布的方法求取裝備瞬時可用度，進而得到艦船編隊的任務成功概率，最后以編隊任務成功概率為優(yōu)化目標、備件總費用為約束條件，優(yōu)化編隊隨行備件方案。

1 模型的建立

1.1 模型假設條件

假設1不考慮LRU串件拼修，更換LRU的時間忽略不計；

假設2作戰(zhàn)艦與保障艦之間實行（s－1，s）備件連續(xù)保障策略；

假設3LRU發(fā)生故障過程相互獨立，且壽命服從指數分布；

假設4不考慮編隊內部橫向補給。

1.2 備件短缺數概率的計算方法

艦船編隊在外執(zhí)行任務，通常由多艘作戰(zhàn)艦和一艘保障艦構成，保障艦是作戰(zhàn)艦的上級保障部門，對備件部分可修，不可修的備件只有等到編隊完成任務靠岸后得到補給。根據這種情況，現虛擬存在一基地級保障部門，作為保障艦的上一級，虛擬基地級備件存儲量為0，LRU的修理概率Rol為0。編隊在外執(zhí)行任務時，可以將作戰(zhàn)艦看成是基層級保障單位，保障艦看作是中繼級保障單位，編隊保障結構如圖1所示。

圖1 裝備保障結構圖

1.2.1 備件需求計算

當設備與LRU均處于冗余狀態(tài)時，保障艦j備件LRUl的瞬時需求數Nejl（t）為

式中，Njzi為作戰(zhàn)艦j下裝備z中設備i的裝機數；Njzil為設備i中LRUl的裝機數；MTBFl表示l類LRU平均故障間隔時間。

1.2.2 作戰(zhàn)艦LRU短缺數概率分布計算

（1）虛擬基地級LRU供應渠道計算

虛擬基地級備件存儲量為0，不具備維修能力，其供應渠道為保障艦不可修備件。假設作戰(zhàn)艦到保障艦的運輸時間為tpkj，保障艦到虛擬基地級的運輸時間為tpok，則虛擬基地級在t－tpok－tpkj時的短缺數會影響到t－tpkj時保障艦的備件補給。保障艦在t－tpkj時的短缺數會影響到t時刻作戰(zhàn)艦的補給。令T0＝t－tpok－tpkj，T1＝t－tpkj。則基地級備件LRUl在T0時刻的在修數量RP0l（T0）為保障艦從tpok＋tpkj到T0時不可修備件的總和，即

式中，NRJjl、NRKl分別為作戰(zhàn)艦和保障艦不能將備件LRUl修好的概率。

根據Sherbrooke庫存平衡公式［9］：

式中，S是站點的初始庫存量；OH（T0）是T0時刻站點現有庫存量；DI（T0）是T0時刻站點在修數量，θ（T0）是T0時刻站點短缺數。結合式（2），可得T0時刻虛擬基地級LRUl短缺數E［θ0l（T0）］為

（2）保障艦LRU供應渠道計算

保障艦備件供應渠道分為3部分：一是作戰(zhàn)艦不可修保障艦可修的備件；二是作戰(zhàn)艦送修保障艦，保障艦不可修向基地級訂購的備件；三是虛擬基地級備件短缺造成保障艦補給延誤的部分。

設PKl（r，T1）是保障艦在r時刻開始修理LRUl，在T1時刻仍未修好的概率，PKl（r，T1）服從均值為1／MRTKl的指數分布，其中MRTKl是保障艦維修LRUl的平均時間。

根據動態(tài)帕爾姆定理，在修的數量和訂購的數量分別服從均值和方差同為E［RPKl（T1）］和E［BKl（T1）］的泊松分布。

式中，RKl為保障艦LRUl可修的概率。

根據METRIC原理［9］可知，虛擬基地級備件短缺造成保障艦補給延誤件數服從均值和方差為E［D0k（T1）］的泊松分布。

根據式（3）、式（6）、式（7）和式（8），可得保障艦LRUl供應渠道均值和方差均為E［DIKl（T1）］的泊松分布。

故保障艦LRUl備件短缺期望數E［θKl（Skl，T1）］為

式中，Skl為保障艦備件LRUl的初始配備量。

（3）作戰(zhàn)艦LRU供應渠道的計算

作戰(zhàn)艦LRU供應渠道分為3部分：一是作戰(zhàn)艦在修LRU的數量；二是作戰(zhàn)艦不能修送保障艦修理的訂購數量；三是保障艦LRU短缺造成作戰(zhàn)艦延誤的數量。

作戰(zhàn)艦j在t時刻在修數量和訂購數量分別服從均值為E［RPJjl（t）］和E［BJjl（t）］的泊松分布。

式（11）中，RJjl為作戰(zhàn)艦j備件LRUl的可修概率。式（12）中，PJjl（r，t）是保障艦在r時刻開始修理LRUl，在t時刻仍未修好的概率；PJjl（r，t）服從均值為1／MRTJjl的指數分布，MRTJjl為作戰(zhàn)艦j維修LRUl所需要的平均時間。

T1時刻保障艦備件短缺造成t時刻作戰(zhàn)艦j補給延誤的數量服從均值和方差為E［DJjl（t）］的泊松分布：

t時刻作戰(zhàn)艦j供應渠道服從均值和方差為E［DIJjl（t）］的泊松分布。

根據式（11）～式（16），可得作戰(zhàn)艦j在t時刻備件LRUl供應渠道服從均值和方差為E［DIJjl（t）］的泊松分布，因此作戰(zhàn)艦j短缺x個LRUl的概率P（θjl（Sjl，t）＝x）為

式中，Sjl為作戰(zhàn)艦備件LRUl的初始配備量。

2 編隊任務成功概率的計算方法

編隊任務成功概率值取編隊在任務期間瞬時任務成功概率的最小值，編隊瞬時任務成功概率為任務階段要求各艦船裝備正常工作概率的乘積。設編隊下有n艘作戰(zhàn)艦，每艘作戰(zhàn)艦下有m型不同的裝備，每型裝備中有d部不同的設備，每部設備中有v件不同的LRU，各作戰(zhàn)艦處于串聯的關系，不同型裝備、設備、LRU均處于串聯關系，編隊裝備層級結構如圖2所示。

圖2 裝備層級結構圖

設t時刻編隊任務成功概率為ρs（t），作戰(zhàn)艦j在t時刻完成任務的概率為ρsj（t），作戰(zhàn)艦j下裝備z在t時刻完成任務的概率為ρsjz（t），作戰(zhàn)艦j下裝備z在t時刻工作的可用度為Asjz（t）。

求取裝備z在t時刻工作時的可用度Asjz（t）可分為兩步：第一步先通過超幾何分布求取裝備z下設備i在t時刻的可用度Ai（t）；第二步根據二項分布求取裝備z下要求kjzi個設備i正常工作的概率。裝備z下有i型設備Njzi部，每個i型設備下有Njzil件LRUl，因此裝備z下LRUl有Njzil·Njzi件。當裝備z下LRUl總短缺數為x時，若設備i下LRUl短缺數為u，則剩下的x－u件LRUl分布在剩下的Njzi－1部設備當中，設備i中LRUl短缺個數μ的概率φil（μ，x，t）為

t時刻設備i中LRUl的滿足要求的概率wil（t）為

因此，t時刻設備i的可用度Ai（t）為

一個i型設備在t時刻的可用度為Ai（t），當i型設備總數為Njzi，有y部i型設備工作良好的二項分布概率φiy（y，t）為

因此，裝備要求i型設備滿足要求的概率wi（t）為

故裝備z工作時的可用度為

根據式（17）～式（25），可求得編隊任務成功的概率。

3 備件優(yōu)化方法

與其他算法相比，邊際優(yōu)化算法具有收斂速度快、計算精確等優(yōu)點，是OPUS和METRIC軟件的核心算法［9］。本文以編隊任務成功概率為目標，備件總費用為約束條件，采用該算法對編隊備件初始配置量進行優(yōu)化，優(yōu)化模型為

式中，C為備件總費用；cl為備件LRUl的價格；P0為預定編隊任務成功概率值。

優(yōu)化流程如下：

步驟1初始化保障艦和作戰(zhàn)艦LRUl數量，Sj＝（0，0，0，0，…），Sk＝（0，0，0，0，…）。

步驟2 對所有的LRUl增加1個備件，分別代入評估模型得到編隊任務成功概率值和總的備件費用，由此得到每個LRUl相應的邊際效應值。比較每個LRUl相應的邊際效應值，對邊際效應值最大的LRUl所在的庫存保留，其他LRUl減1個備件。

步驟3 當計算得到的編隊任務成功概率值達到p0時，結束循環(huán)，否則回到步驟2。

4 案例分析

某編隊由3艘相同的登陸艦和1艘補給艦組成，現列出每艘登陸艦中的4套裝備系統(tǒng)，每套裝備系統(tǒng)里的兩型設備，每型設備里有兩種不同的LRU，對同一LRU，3艘艦船具有相同的維修能力，各登陸艦到補給艦的運輸時間相同。登陸艦及補給艦可靠性和保障信息如表1所示?，F編隊出海執(zhí)行任務，任務時間為50天，根據裝備系統(tǒng)的工作情況，可將任務分為4個階段，不同登陸艦上同一設備和部件在相同任務期內的最小工作數量k相同，登陸艦1各階段裝備系統(tǒng)工作狀態(tài)及設備和部件的k1zi／N1zi、k1zil／N1zil如表2所示。

表1 部件LRU的可靠性、維修性和保障性信息

表2 _各裝備系統(tǒng)任務階段工作狀態(tài)以及設備和備件冗余情況表

上級要求編隊任務成功概率為0.95，備件總費用在120萬元以內。經邊際算法優(yōu)化后，編隊備件配備方案如表3所示，從表3中得知，編隊出海執(zhí)行任務時并不需要攜帶所有備件。分析表1～表3中數據可得，備件隨艦攜帶的數量與備件的壽命、艦船的維修能力、設備和備件的冗余、以及裝備系統(tǒng)運行時間有關。

表3 編隊任務成功率為0.95時編隊備件配備方案

在表3備件方案下，編隊任務成功概率隨時間變化如圖3所示，各裝備完成任務的概率如圖4所示。任務期間編隊最小任務成功概率為0.951 5，備件總費用為106.7萬元。分析圖3和圖4可以得出，在任務階段一，編隊的任務成功率較高，這是因為艦船裝備z1和z2剛開始工作，裝備的可用度較高；在任務階段二，z1繼續(xù)工作，z2停止工作，z3和z4開始工作，由于z3和z4工作強度大，且裝備的可用度隨時間下降的速度均比z2可用度隨時間下降快，因此編隊任務成功概率急劇下降；在任務階段3，只有z4工作，其余裝備均處于停機狀態(tài)，故此時編隊任務成功率迅速上升；在任務階段4，由于z4持續(xù)工作，裝備可用度隨時間下降越來越快，加之z3開始工作，因此在任務階段3到任務階段4時，編隊任務成功率下降速度較階段3更明顯。

圖3 編隊任務成功概率隨任務天數

圖4 裝備z1、z2、z3、z4任務期間完成任務的概率隨時間的變化

5 結 論

本文建立了在航編隊任務期間設備冗余和LRU冗余系統(tǒng)下任務成功概率評估模型和備件優(yōu)化模型，解決了任務期間復雜結構裝備使用可用度難求的問題。該模型不僅可以計算在航編隊備件配備方案，也可以作為評估其他備件方案的模型。最后文章實例分析了在航編隊執(zhí)行任務成功概率隨時間的變化，其變化情況與實際情況一致，可為編隊出行初始備件配備提供參考。

［1］Sherbrooke C C.METRIC：a multi echelon technique for recoverableitem control［J］.Operations Research，1968，16（1）：122- 141.

［2］Slay F M.VARI-METRIC：an approach to model ling multi-echelon resupply when the demand process is Poisson with a Gama prior［R］.Report AF3013，Logistics Management Institute，1984.

［3］Muckstandt J.A model for a multi-item，Multi-indenture Inventory system［J］.Management Science，1973，20（4）：472- 481.

［4］Isaacson K E，Boren P，Tsai C L，et al.Dyan-metric version4：modeling worldwide logistics support of aircraft components［R］.DTIC Document R-3389-AF，1988.

［5］Ruan M Z，Peng Y W，Li Q M，et al.Optimization of threeechelon inventory project for equipment spare parts based on system support degree［J］.Systems Engineering-Theory&Practice，2012，32（7）：1624- 1630.（阮旻智，彭英武，李慶民，等.基于體系保障度的裝備備件三級庫存方案優(yōu)化［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2012，32（7）：1624- 1630.）

［6］Lee H L.Modeling emergency lateral transshipments in inventory systems［J］.Management Science，1987，33（10）：1302- 1316.

［7］Guo J Z，Guo B，Zhang T.Maintence support capability evaluation and modelling of phased-mission system with dynamic k／n configuration［J］.Chinese Journal of Management Science，2006，14（10）：48- 51.（郭繼周，郭波，張濤.k／n結構變化多階段任務維修保障能力評估建模［J］.中國管理科學，2006，14（10）：48- 51.）

［8］Zhang T，Guo B，Wu X Y，et al.Spare availability model for k-outof-n system with different phases［J］.Acta Armamentarii，2006，27（3）：485- 488.（張濤，郭波，武小悅，等.K階段變化條件下k／N：G系統(tǒng)備件保障度模型［J］.兵工學報，2006，27（3）：485- 488.）

［9］Sherbrooke C C.Optimal inventory modeling of systems：multiechelon techniques［M］.Boston：Artech House，2004.

［10］Lu L，Yang J P.Initial spare allocationmethod for k／N（G）structure system［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2014，35（3）：773- 778.（盧雷，楊江平.k／N（G）結構系統(tǒng)初始備件配置方法［J］.航空學報，2014，35（3）：773- 778.）

［11］De Smidt-destombes K S，Van Elst N P，Barros A I，et al.A spare parts model with cold-stand by redundancy on system level［J］.Computers&Operations Research，2011，38（7）：985- 991.

［12］Wang R，Li Q M，Peng Y W.Mission reliability estmation for warship based on simulation［C］∥Proc.of the Winter Simulation Conference，2009：1745- 1752.

［13］Xu T X，Wei Y，Yu R B.Modeling and simulation for spares inventory supply ability in oriented-mission［J］.Journal of System Simulation，2014，24（4）：922- 928.（徐廷學，魏勇，余仁波.面向任務的備件庫存供應能力建模與仿真［J］.系統(tǒng)仿真學報，2014，24（4）：922- 928.）

［14］Lee L H，Chew E P，Teng S Y，et al.Multi-objective simulation-based evolutionary algorithm for an aircraft spare parts allocation problem［J］.European Journal of Operational Research，2008，189（2）：325- 341.

［15］Erik T S B，Sharareh T，Dragan B.A joint optimal inspection and inventory for a k-out-of-n system［J］.Reliability Engineering and System Safety，2014，131（6）：203- 215.

［16］Ramin M，Ming J Z，Mayank P.Optimal design and maintenance of a repairable multi-state system with standby components［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，2012，142（8）：2409- 2420.

［17］Bora?，Süleyman?.Optimal maintenance of systems with Markovian mission and deterioration［J］.European Journal of Operational Research，2012，219（1）：123- 133.

［18］Wu W Q，Tang Y H，Yu M M，et al.Reliability analysis of a k-out-of-n：G repairable system with single vacation［J］.Applied Mathematical Modeling，2014，38（5）：6075- 6097.

［19］Li Y，Zhen D C.Reliability analysis for the consecutive-k-outof-n：F system with repairmen taking multiple vacations［J］.Applied Mathematical Modeling，2012，37（9）：4685- 4697.

［20］De Smidt-Destombes K S，Van Der Heijden M C，Van Harten A.Availability of k-out-of-n systems under block replacement sharing limited spares and repair capacity［J］.Production Economics，2007，107（2）：404- 421.

［21］Wong H，Houtum V G J，Cattrysse D，et al.Simple efficient heuristics for multi-item multi-loacation spare parts systems with lateral transshipments and waiting time constrains［J］.Journal of Operational Research Society，2005，56（12）：1419- 1430.

［22］Zhang G Y，Li Q M，Ge E S.Batch ordering policy of spare parts in multi-location inventory system with unidirectional lateral transshipments［C］∥Proc.of the 4th International Conference on Computational and Information Sciences，2012：279- 282.

Spare parts allocation with ship for K／N（G）redundant structure

ZHOU Liang，LI Qing-min，WANG Rui，PENG Ying-wu
（1.Department of Weapon Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China；2.Department of Military Logistics and Armament，National Defense University，Beijing 100083，China）

When the fleet executes short term mission，it has no charge in halfway.A two stage repair model according the multi-echelon technology for recoverable item control（METRIC）model is built to solve this problem，which can assess the probability of success for mission and optimize spare parts scheme.The combination of binomial distribution and hypergeometric distribution is used to solve the problem，but the probability of success is difficult to solve when the redundancy numbers of component and line replaceable unit（LRU）change with time.Finally，an example which has got a spare parts plan throw marginal algorithm optimization is given，and it analyzes the mission success probability of the fleet on different stages.The result is consistent with the reality.

spare parts；redundancy；mission success probability；binomial distribution；marginal algorithm

E 917；TJ 07

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.19

周 亮（198-9- ），男，博士研究生，主要研究方向為裝備綜合保障。

E-mail：zh201314l＠163.com

李慶民（195-7- ），男，教授，博士研究生導師，主要研究方向為復雜系統(tǒng)建模與仿真、裝備綜合保障。

E-mail：licheng001＠hotmail.com

王 睿（198-2- ），男，工程師，博士，主要研究方向為裝備綜合保障、復雜系統(tǒng)建模與仿真。

E-mail：niuchenglongwangrui＠gmail.com

彭英武（197-6- ），男，副教授，博士，主要研究方向為裝備綜合保障、復雜系統(tǒng)建模與仿真。

E-mail：icip300＠chinaren.com

1001-506X（2015）12-2785-06

2014- 12- 03；

2015- 06- 01；網絡優(yōu)先出版日期：2015- 08- 17。

網絡優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150817.1816.008.html

國防預研基金（51327020105，51304010206）；總裝預研基金（51304302，51304303）資助課題