刪繁就簡三秋樹

張子超

【編者的話】“刪繁就簡三秋樹”是揚州八怪鄭板橋的一句詩，意思是繪畫作文要像深秋的樹褪去繁枝茂葉，以最少的筆墨表達豐富的意蘊，達到以簡馭繁的藝術(shù)效果.在解數(shù)學應(yīng)用題時，我們經(jīng)常會遇到多個變量的情況，這時如果能分析條件與條件、條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，把握量與量之間的關(guān)系，從而選擇其中一個或極少數(shù)幾個變量作為基本變量，將其他量用它（們）簡潔地表示出來，建立函數(shù)或不等式求解，就能感受到“消元法”的威力，下面我們用消元法來探討兩個三角應(yīng)用題.

1.如圖1，某地有三個村莊，分別位于等腰直角三角形ABC的三個頂點處，已知AB=AC=6 km，現(xiàn)計劃在BC邊的高AO上一點P處建造一個變電站.記P到三個村莊的距離之和為y.變電站建于何處時，它到三個小區(qū)的距離之和最小？

拿到題目乍一看，有點摸不著頭腦，不知該如何下手.此題并沒有給出明確的白變量，需要我們自己選擇適當?shù)淖宰兞縼磉M行建模求解.這時先不要急于考慮如何選擇自變量，而是應(yīng)該先考慮題目究竟讓我們求什么.

這道題求的是變電站到三個小區(qū)距離之和的最小值，也就是點P到三角形三個頂點的距離之和的最小值.那么先把距離之和寫成數(shù)量關(guān)系，即

V=AP+BP+CP=AP+2BP，

①

表達式雖然寫出來了，但存在多個未知量，我們圍繞著①式中的未知量，再深入分析這個三角形中各個量之間的關(guān)系，

由題意知

這里一共有y，AP，BP，PO，∠PBO五個未知量和四個等式，我們可以用消元的思想把y表示成其余四個變量中任意一個變量的表達式，然后根據(jù)該變量定義域的范圍求解y的最小值.

這時我們還需要再思考一下，AP，BP，PO，∠PBO中選擇哪個作為自變量最合適呢？看到這，也許有同學會有疑問：為何要寫出④式，由前三個式子不就可以把y化為PO的表達式了嗎？