基于分類邏輯的函數(shù)性質(zhì)研究性教學(xué)

滕吉紅 黃曉英 文生蘭

摘 要：函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象，連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性以及可積性是高等數(shù)學(xué)的主要研究內(nèi)容。但不同的函數(shù)在相應(yīng)性質(zhì)的研究中蘊含著不同的思維方法。文章以函數(shù)的可導(dǎo)性研究為例，首先利用二分法對函數(shù)進行分類——初等函數(shù)以及非初等函數(shù)，對每種情況研究過程中所運用的思維方法進行深入挖掘，引導(dǎo)學(xué)生在主動探索中發(fā)現(xiàn)知識的過程，初步體會數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生過程中所蘊含的科學(xué)研究的思想和科學(xué)研究的方法，增強學(xué)員的科研意識。

關(guān)鍵詞：初等函數(shù) 基本初等函數(shù) 分段函數(shù) 積分上限函數(shù) 可導(dǎo)性

中圖分類號：G420 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）03（b）-0121-02

The Research Teaching About the Properties of Functions Based on Classification Logic

Teng Jihong Huang Xiaoying Wen Shenglan

（Science Institute Information Engineering University，Zhengzhou Henan，450001，China）

Abstract：Functions are the important research object of advanced mathematics，which contains the properties of continuity， derivative，differential and integral. There are different method and thinking according to the different function.The paper takes the derivative property as example to explore the different thinking methods in the research of elementary functions and nonelementary functions， so that the student can experience the research idea and method of the mathematicians.

Key Words：Elementary Function；Basic Elementary Function；Piecewise function；Upper Limit of Integral Function； Derivativer Property

著名的物理學(xué)家伽利略說過：“大自然這部巨著是用數(shù)學(xué)語言寫成的”。印度數(shù)學(xué)家拉奧也曾說過：“一個國家的科學(xué)發(fā)展水平可以用它消耗的數(shù)學(xué)來度量?！盵1]可以說數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到了社會生活的各個領(lǐng)域。但是如何把豐富多彩、千變?nèi)f化的大自然用數(shù)學(xué)語言來刻畫呢？數(shù)字化是用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的前提，而映射是實現(xiàn)數(shù)字化的關(guān)鍵，映射刻畫的是事物與事物、現(xiàn)象與現(xiàn)象、事物與現(xiàn)象之間的本質(zhì)的、必然的聯(lián)系。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段，而函數(shù)可以構(gòu)成許多實際問題的模型，它作為特殊的映射刻畫的是數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系，因此對許多實際問題的研究當(dāng)建立了目標(biāo)函數(shù)之后就轉(zhuǎn)化為對函數(shù)的研究，它在理論研究和實際應(yīng)用中有著舉足輕重的地位。

高等數(shù)學(xué)就是以函數(shù)為主要研究對象的，函數(shù)性質(zhì)是高等數(shù)學(xué)的主要研究內(nèi)容，但函數(shù)的數(shù)量是無窮無盡的，不可能對所有具體的單個函數(shù)的性質(zhì)進行一一研究，在教學(xué)過程中，從探索發(fā)現(xiàn)的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)員對所研究的函數(shù)進行正確的分類，然后針對不同的類型挖掘其中所蘊含的數(shù)學(xué)思維和科研方法，包括概念思維[2]、關(guān)系映射反演思維[3]，讓學(xué)員在主動探索中發(fā)現(xiàn)知識的產(chǎn)生過程，領(lǐng)會其中蘊含的思維方法，初步體會數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)理論時所運用的科學(xué)研究的思想和科學(xué)研究的方法，增強學(xué)員的科研意識。

1 函數(shù)的分類

分類邏輯是邏輯學(xué)的重要一種，分類法是根據(jù)對象的共同點和差異點把復(fù)雜紛繁的研究對象區(qū)分開來的邏輯方法，它是在比較和分析的基礎(chǔ)上進行的，劃分是分類的基礎(chǔ)，分類是劃分的特殊形式，我們在這里采用特殊的劃分法，即二分法對函數(shù)進行分類，將所有函數(shù)分為初等函數(shù)和非初等函數(shù)。根據(jù)定義，初等函數(shù)是由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和函數(shù)復(fù)合運算所能構(gòu)成的能用一個式子表示的函數(shù)[2]。而基本初等函數(shù)指的是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及反三角函數(shù)。如果把初等函數(shù)比喻為一座座千姿百態(tài)、形狀各異的大廈，那么基本初等函數(shù)就是構(gòu)成這座大廈的磚，而四則運算、函數(shù)的復(fù)合運算就是將這些磚聯(lián)系在一起的水泥、大沙。因此要透徹的了解函數(shù)的性質(zhì)，不僅要了解構(gòu)成它的基本初等函數(shù)的性質(zhì)，還要了解四則運算以及復(fù)合運算對相應(yīng)性質(zhì)的影響。

非初等函數(shù)的概念外延很廣，一般來講，只要不是初等函數(shù)，則一定是非初等函數(shù)。高等數(shù)學(xué)所研究的非初等函數(shù)包括分段函數(shù)、方程確定的隱函數(shù)的一部分，以及在理論研究過程中構(gòu)造的一些函數(shù)，比如積分上限函數(shù)等等。對于這樣的函數(shù)，因為沒有其它的規(guī)律可以遵循，其性質(zhì)的研究往往要用概念思維，即從性質(zhì)所對應(yīng)的概念本身出發(fā)來研究。

2 基于分類邏輯的函數(shù)性質(zhì)研究

按照上面二分法的分類，我們以導(dǎo)數(shù)為例，針對初等函數(shù)和非初等函數(shù)分別討論。

2.1 初等函數(shù)的可導(dǎo)性

要討論初等函數(shù)的可導(dǎo)性[4]，首先討論基本初等函數(shù)的可導(dǎo)性，根據(jù)思維活動和思維方法的屬性再次進行分類。

2.1.1概念思維法

概念思維即利用導(dǎo)數(shù)的定義來討論函數(shù)的可導(dǎo)性，其形式是增量比的極限。極限[4]是函數(shù)性質(zhì)研究的基礎(chǔ)，這是因為函數(shù)的其它性質(zhì)，如連續(xù)性、可導(dǎo)性以及可積性最終都可以歸結(jié)為函數(shù)極限性質(zhì)的研究，因此深刻理解極限性質(zhì)是熟練掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ)和前提。

對于基本初等函數(shù)中的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)都可以利用定義求其導(dǎo)函數(shù)，比如：

對于余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，同樣可以利用導(dǎo)數(shù)的定義來求，概念法是一種非常重要的思維方法。

2.1.2四則運算思維法

三角函數(shù)作為重要的基本初等函數(shù)，除了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，還包括正切函數(shù)、余切函數(shù)、以及、，觀察可知，這些函數(shù)都是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)經(jīng)過四則運算得到的，因此首先要考慮函數(shù)關(guān)于四則運算的可導(dǎo)性，即函數(shù)關(guān)于和、差、積、商的運算法則（教材[4]中關(guān)于可導(dǎo)的四則運算闡述的非常清楚，在此不再贅述），由此所有三角函數(shù)的可導(dǎo)性得以討論清楚。

3 關(guān)系映射反演思維—— 反函數(shù)思維法

關(guān)系映射反演原則（Relationship—Mapping—Inverse）的基本思想是：當(dāng)處理問題甲有困難時，可以聯(lián)想適當(dāng)?shù)挠成?，把含問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)R通過一一對應(yīng)關(guān)系映射成易于解決的含問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)；在新的關(guān)系結(jié)構(gòu)中，對問題處理完畢后，再把所得到的結(jié)果通過逆映射反演到R，求得x，這是一種借助已知研究未知的重要思維方法。

基本初等函數(shù)中的反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)分別是三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。將反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原來函數(shù)的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來的關(guān)鍵是討論清楚反函數(shù)的求導(dǎo)法則，即，然后根據(jù)關(guān)系映射反演思維，借助已知的三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研究未知的反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這是一種重要的科研思維。

比如要求的導(dǎo)數(shù)，利用反函數(shù)建立，而由概念思維法可知的導(dǎo)數(shù)，再利用反函數(shù)的求導(dǎo)法則可知，最后利用反演公式求出。對于其它反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以類似地進行討論。

4 變更問題思維法和概念思維法

基本初等函數(shù)中還有重要的一類——冪函數(shù)，如何研究這類函數(shù)的求導(dǎo)問題呢？考慮將其變形為，即將冪函數(shù)看成是對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，因此研究的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。如何求由，復(fù)合函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)（假定和在相應(yīng)點的導(dǎo)數(shù)都存在），利用概念思維法，從導(dǎo)數(shù)的概念入手來求解。當(dāng)給自變量x增量時，中間變量u的增量為，而因變量y產(chǎn)生增量，由以及極限與無窮小量的性質(zhì)可知，其中是時的無窮小，則

即得復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，利用這一求導(dǎo)法則可以求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。至此基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)全部研究清楚。

5 綜合分析法

由于初等函數(shù)是是由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和函數(shù)復(fù)合運算所能構(gòu)成的能用一個式子表示的函數(shù)，因此在熟練掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)方法和求導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上，只要再了解求導(dǎo)的四則運算和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，那么在理論上初等函數(shù)的求導(dǎo)就研究清楚了。

5.1 非初等函數(shù)的可導(dǎo)性

一般來講，非初等函數(shù)的外延很廣，只要不是初等函數(shù)的都歸屬于非初等函數(shù)，在這里我們重點探討三種情況。

5.1.1 概念思維法—— 分段函數(shù)

雖然并不是所有的分段函數(shù)都是非初等函數(shù)，但分段函數(shù)仍是非初等函數(shù)中最重要的一類。對于分段函數(shù)，其中均為可導(dǎo)的初等函數(shù)。要考慮這一分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對于每一分段區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于所對應(yīng)的函數(shù)均是初等函數(shù)，因此可以利用第一部分關(guān)于初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則。而對于分段點處的導(dǎo)數(shù)，首先其導(dǎo)數(shù)是否存在并不確定，因此用概念法考察導(dǎo)數(shù)的存在性以及導(dǎo)數(shù)的計算。再考慮到在分段點兩側(cè)表達式不相同，因此用左右導(dǎo)數(shù)法[4]來計算，即；而

這樣將分段函數(shù)在分段點的求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為上述極限的存在性問題。注意，當(dāng)分段函數(shù)在分段點左右兩側(cè)表達式相同時，上面兩個極限式子是相同的，因此無需用左右導(dǎo)數(shù)，但仍要從倒數(shù)的定義出發(fā)求導(dǎo)。

5.1.2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法—— 方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

方程確定的隱函數(shù)、特別是參數(shù)方程確定的隱函數(shù)并非全部屬于非初等函數(shù)，由于研究方法和它是否為初等函數(shù)沒有關(guān)系，因此我們把它都歸屬于非初等函數(shù)討論。對于一般方程確定的隱函數(shù)[4]，在求導(dǎo)時不必求出y的具體表達式，僅僅是把y看作是x的函數(shù)，然后對方程的兩邊同時關(guān)于x求導(dǎo)即可，其本質(zhì)是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。而對于參數(shù)方程確定的函數(shù)，如何求導(dǎo)數(shù)呢？事實上，y可以看成是以t為中間變量，以x為自變量的復(fù)合函數(shù)，而t與x的函數(shù)關(guān)系是的反函數(shù)。在透徹分析參數(shù)方程所確定的隱函數(shù)的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上可以發(fā)現(xiàn)其求導(dǎo)本質(zhì)上是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和反函數(shù)求導(dǎo)法則的綜合應(yīng)用。

5.1.3 概念思維法—— 構(gòu)建性函數(shù)

所謂構(gòu)建性函數(shù)就是理論研究過程中根據(jù)需要構(gòu)造出來的新的函數(shù)。比如積分上限函數(shù)[4]，其中連續(xù)。對于這樣一個函數(shù)，如何求導(dǎo)呢？這是一個新的函數(shù)，沒有求導(dǎo)公式或求導(dǎo)法則可以利用，只能從概念出發(fā)，利用導(dǎo)數(shù)的定義計算積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即

再由積分中值定理及函數(shù)的連續(xù)性可得。對于函數(shù)，要求其導(dǎo)數(shù)，可將此函數(shù)視為，所構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可知。

這樣對于非初等函數(shù)中的幾類重要函數(shù)，我們也利用不同的思維方法研究了其求導(dǎo)問題。

6 結(jié)語

采用分類邏輯思維方法對函數(shù)的可導(dǎo)性進行了研究，這種方法類似地可以用于研究函數(shù)的其它性質(zhì)，如連續(xù)性、可微性以及可積性。正確的分類是進行科學(xué)研究的前提，在此基礎(chǔ)上可以運用不同的思維和研究方法對不同情況進行探究。

參考文獻

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