高速銑削穩(wěn)定性的不確定性建模及實驗預(yù)測*

曹自洋 李 華 殷 振 汪幫富

(蘇州科技學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

高速銑削加工是在多齒刀具作用下的非連續(xù)切削過程，刀具和工件之間的可再生顫振明顯降低切削效率與工件的加工質(zhì)量，降低刀具、機(jī)床的使用壽命，已經(jīng)成為阻礙該技術(shù)發(fā)揮其優(yōu)勢的主要瓶頸之一［1－2］。因此，研究高速銑削顫振穩(wěn)定性對切削過程的規(guī)劃和控制及加工參數(shù)的優(yōu)化有著非常重要的現(xiàn)實意義。

對于給定的刀具－工件系統(tǒng)，在假定系統(tǒng)動態(tài)參數(shù)不改變的條件下，銑削顫振穩(wěn)定性可以通過穩(wěn)定性葉瓣圖來表征。穩(wěn)定性葉瓣圖直觀地給出了穩(wěn)定切削的極限加工區(qū)間，從而可以幫助工藝編制人員通過優(yōu)選工藝參數(shù)來避開不穩(wěn)定的切削區(qū)域;或通過改變原有的切削參數(shù)組合，將切削點從不穩(wěn)定區(qū)域轉(zhuǎn)移到穩(wěn)定區(qū)域，從而避免切削顫振的發(fā)生［3－4］。目前對高速銑削穩(wěn)定性的研究多集中于此，但是在建立穩(wěn)定性模型的時候，現(xiàn)有方法最主要的弊端就是忽略了系統(tǒng)的動態(tài)特性，認(rèn)為諸如固有頻率、阻尼比、切削系數(shù)等動態(tài)參數(shù)是在加工過程中恒定不變。在實際的切削過程中，由于高速加工的主軸轉(zhuǎn)速很高，系統(tǒng)動態(tài)參數(shù)隨著加工過程而發(fā)生改變，而變化了的動態(tài)參數(shù)必然會引起穩(wěn)定性葉瓣圖的變化，從而影響到顫振穩(wěn)定性的預(yù)測精度。Dornfeld［5］和 Altintas［6］的研究表明在高速銑削過程中，動態(tài)加工參數(shù)不是線性不變的，它們存在非線性特征，這就要求在穩(wěn)定性建模的時候要考慮到參數(shù)的不確定性。高速銑削加工穩(wěn)定性受銑刀刀尖動態(tài)特性和刀具－工件切削系數(shù)的影響非常明顯［7］，機(jī)床、主軸和刀夾的動態(tài)性能會明顯地影響銑刀刀尖的動態(tài)特性，尤其是主軸高速旋轉(zhuǎn)引起的慣性力和離心力對刀尖動態(tài)特性的影響更為顯著［8－9］。而工件材料的屬性及其材質(zhì)均勻性對切削系數(shù)會產(chǎn)生明顯的影響，在刀具幾何結(jié)構(gòu)、磨損狀況及刀具－工件之間摩擦作用的影響下，切削系數(shù)在銑削加工過程中也是變化的［10］。為了能夠更加精確地預(yù)測加工顫振及提高銑削加工的精度和效率，在建立顫振穩(wěn)定性模型的時候必須要考慮到系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響。在考慮加工系統(tǒng)參數(shù)變動的最大、最小邊界的情況下，采用棱邊定理和排零準(zhǔn)則可以方便地預(yù)測系統(tǒng)穩(wěn)定性［11－13］。

本研究考慮參數(shù)不確定性的影響，針對兩自由度高速銑削加工的穩(wěn)定性預(yù)測，應(yīng)用棱邊定理和排零準(zhǔn)則，建立了高速銑削穩(wěn)定性數(shù)學(xué)模型。并采用數(shù)值分析和銑削實驗相結(jié)合的方式，對建立的高速銑削變參數(shù)穩(wěn)定性模型的正確性進(jìn)行驗證。

1 高速銑削穩(wěn)定性不確定性建模

1.1 傳統(tǒng)定參數(shù)穩(wěn)定性解析模型

將高速銑削過程簡化為正交的兩自由度彈性、阻尼系統(tǒng)，其動力學(xué)模型如圖1所示，其中φ為銑刀刀齒瞬時轉(zhuǎn)角，v為進(jìn)給速度。

銑削系統(tǒng)運(yùn)動方程可以表述為

式中:Mx、My、Cx、Cy、Kx、Ky分別為 X、Y 方向上銑削系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度;Fc，x、Fc，y分別為切削力在 X、Y方向上的分量。關(guān)于動態(tài)切削厚度、切削力的建模已發(fā)表在課題組前期的研究論文［14］。

基于建立的切削力模型，得到銑刀刀尖的頻響函數(shù)矩陣［φ(iω)］為

式中:φxx(iω)和 φyy(iω)分別為 X、Y 方向的直接頻響函數(shù);φxy(iω)、φyx(iω)為交叉頻響函數(shù)。

利用切削力系數(shù)和結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)，考慮相互垂直的進(jìn)給方向、法向的自由度，可得主軸轉(zhuǎn)速Ω為

式中:N是銑刀齒數(shù);n是葉瓣數(shù);ΛR和ΛI(xiàn)分別為系統(tǒng)特征值的實部和虛部。

對于兩維的銑削加工系統(tǒng)，預(yù)先給定刀具、工件組合，通過實驗獲得銑削加工系統(tǒng)動態(tài)特性函數(shù)，最終可以得到穩(wěn)定切削時的臨界軸向切削深度，同時可以獲得對應(yīng)的主軸轉(zhuǎn)速。目前這個模型是在假定系統(tǒng)動態(tài)參數(shù)恒定不變的基礎(chǔ)上建立起來的。在實際的銑削過程中，系統(tǒng)參數(shù)隨加工過程而變化，所以必須要考慮參數(shù)不確定性的影響，對該穩(wěn)定性模型進(jìn)行改進(jìn)。

1.2 考慮參數(shù)不確定性的穩(wěn)定性模型

在建立傳統(tǒng)顫振穩(wěn)定性模型的基礎(chǔ)上，針對動態(tài)參數(shù)變動區(qū)間的最大值、最小值，通過棱邊定理和排零準(zhǔn)則對建立的傳統(tǒng)穩(wěn)定性模型進(jìn)行改進(jìn)，提高銑削顫振穩(wěn)定性的預(yù)測精度。

根據(jù)棱邊定理，對一個多項式P進(jìn)行評價，參數(shù)極值的各個組合將形成一個多項式簇;在給定的頻率范圍對極值多項式進(jìn)行評價，就會在復(fù)平面形成頂點，也就是多項式的頂點。如果每一對頂點之間的棱邊是穩(wěn)定的，那么這個系統(tǒng)就被認(rèn)為是穩(wěn)定的［15－16］。對于高速銑削加工來說，銑削穩(wěn)定性模型的特征方程就是系統(tǒng)多項式，隨著動態(tài)參數(shù)如固有頻率、切削系數(shù)在最大、最小邊界之間變動時，系統(tǒng)特征方程就可以表示為極值的多項式方程簇。為了精確建模，我們認(rèn)為固有頻率包含X、Y兩個方向的值，切削系數(shù)則包含徑向和切向的值。

銑削系統(tǒng)多項式P可以表示為

式中:振動頻率f=jωc的時候是穩(wěn)定性界限的臨界點;ωc是顫振頻率;m是多項式方程的個數(shù)。如果僅考慮固有頻率和切削系數(shù)兩個不確定參數(shù)的話，那么系統(tǒng)方程的個數(shù)最多是4個(2m)。

接下來，在給定的系統(tǒng)頻率范圍對每一個特征多項式進(jìn)行評價，它們在復(fù)平面形成的各個頂點之間的連線就形成了棱邊，4條邊就可以組成1個四邊形。由此可見，棱邊就是模型中系統(tǒng)穩(wěn)定性的邊界。即使各個變化參數(shù)的值任意組合，對應(yīng)在復(fù)平面生成的點必將處于邊界之內(nèi)。因此，如果棱邊是穩(wěn)定的，那么對應(yīng)于變參數(shù)之間任意組合的系統(tǒng)，也是穩(wěn)定的。采用排零準(zhǔn)則能夠方便地通過幾何方法檢測棱邊的穩(wěn)定性。依據(jù)排零準(zhǔn)則，如圖2所示，如果原點在四邊形的外面，那么此特征方程是穩(wěn)定的;如果原點含在四邊形里面，那么系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。這種方法也可以推廣應(yīng)用到復(fù)雜時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析［17］。

采用棱邊定理和排零準(zhǔn)則，考慮參數(shù)不確定性的顫振穩(wěn)定性建模變成了一個圖形問題?；诙▍?shù)穩(wěn)定性模型進(jìn)行拓展，變參數(shù)穩(wěn)定性模型的算法流程如圖3所示。

從圖3可以看出，穩(wěn)定性數(shù)學(xué)模型的輸入包括刀尖動態(tài)特性、切削系數(shù)和刀具的直徑等參數(shù)，然后在每一個主軸速度點，對應(yīng)掃描切削深度和顫振頻率。當(dāng)形成棱邊后，通過仿真程序的棱邊定理算法對已形成棱邊的穩(wěn)定性進(jìn)行檢查。如果當(dāng)前采用的參數(shù)確定對應(yīng)的是穩(wěn)定的加工狀態(tài)，就繼續(xù)掃描下一個切削深度值;如果不是穩(wěn)定的加工狀態(tài)，那么對應(yīng)該點的主軸轉(zhuǎn)速值，當(dāng)前切削深度就被標(biāo)記為穩(wěn)定加工和非穩(wěn)定加工的邊界。針對所選主軸速度范圍，重復(fù)上述計算和掃描過程就可以得到整個銑削加工顫振穩(wěn)定性邊界。

我們在研究中考慮切削系數(shù)和固有頻率2個動態(tài)參數(shù)，當(dāng)設(shè)定二者參數(shù)值的變化范圍后，計算得到的顫振穩(wěn)定性邊界與傳統(tǒng)定參數(shù)解析法得到的邊界是不同的。二者的不同將通過具體的數(shù)值分析及其銑削實驗加以對比驗證。

2 銑削實驗

采用模態(tài)分析的方法獲得銑刀刀尖的固有頻率，選定切削刀具－工件組合，通過對實驗測得的切削力進(jìn)行非線性曲線擬合得到刀具－工件的切削系數(shù)。主軸的動態(tài)特性變動范圍通過調(diào)節(jié)其轉(zhuǎn)速來實現(xiàn)，采用不同的鋁合金材料進(jìn)行銑削實驗來獲得切削系數(shù)的變動量。

2.1 刀尖動態(tài)特性

銑刀刀尖的動態(tài)特性即銑削加工系統(tǒng)的頻響函數(shù)是分析顫振穩(wěn)定性的先決條件，采用模態(tài)實驗分析的方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)動態(tài)測試來獲取。模態(tài)實驗在自建的三軸銑床上進(jìn)行，其電主軸的最高轉(zhuǎn)速為100000 r/min，實驗方案如圖4所示。

模態(tài)實驗銑刀采用直徑為4mm的硬質(zhì)合金2刃平頭立銑刀，螺旋角30°，刀柄的刃長為10mm，加工時刀具懸伸長度為30mm。由于銑刀幾何結(jié)構(gòu)的對稱性，刀尖動態(tài)特性假定為在X、Y向是相同的。通過靜模態(tài)測試獲得刀尖的模態(tài)參數(shù)，但是在高轉(zhuǎn)速的工況下測量刀尖的動態(tài)特性在實驗上很難實現(xiàn)，由于刀尖的動態(tài)特性受主軸轉(zhuǎn)速的影響非常大，我們認(rèn)定刀尖的動態(tài)特性變動量等同于主軸模態(tài)參數(shù)的變動量，而主軸模態(tài)參數(shù)的變動量可以方便地通過模態(tài)測試獲得。

經(jīng)過測量實驗，獲得的模態(tài)參數(shù)及其變動量如表1所示。很明顯，模態(tài)3就是兩個方向銑刀刀尖的主模態(tài)參數(shù)值。

表1 銑刀刀尖固有頻率及變動量

2.2 切削系數(shù)

切削系數(shù)測量實驗在哈斯(Haas Micro)數(shù)控機(jī)床上進(jìn)行。采用聲發(fā)射傳感器(FC1045S)來監(jiān)測振動信號，確保在實驗過程中沒有切削顫振的產(chǎn)生。工件材料分別是鋁合金2A11和2B16，刀具是2刃硬質(zhì)合金平頭立銑刀。切削力的測量采用三向力傳感器(Kistler 9265B)，利用KD1001A加速度傳感器測量工件和測力儀的加速度信號。在主軸速度為30000 r/min的全徑向切深銑削直槽的加工條件下，采用不同進(jìn)給速度進(jìn)行加工，并分別測量切削力，然后進(jìn)行曲線擬合得到切削系數(shù)。

式中:Ft、Fr分別是切向力和徑向力;h是切削厚度;Ktc、Krc分別是切向和徑向的切削力力系數(shù);Kte、Kre分別是切向和徑向的刃口力系數(shù)。

通過曲線擬合得到的切削系數(shù)的平均值及其變動量如表2所示。由于刃口力系數(shù)的本質(zhì)是靜態(tài)的，所以它們對顫振不穩(wěn)定性不構(gòu)成影響。

表2 切削力系數(shù)均值及變動量

至此，固有頻率、切削系數(shù)以及它們的不確定性變動范圍都已經(jīng)確定好了，通過建立的參數(shù)不確定性模型進(jìn)行顫振穩(wěn)定性極限預(yù)測，并與實驗測得的實際加工結(jié)果進(jìn)行對比分析。

3 結(jié)果和討論

基于刀尖動態(tài)特性和切削系數(shù)的實驗結(jié)果，按照圖3所示的分析流程，采用30000 ～80000 r/min的主軸轉(zhuǎn)速，仿真程序重復(fù)掃描從100 Hz到3000 Hz的頻率范圍，這個范圍包含了刀具和主軸大部分的頻率信號?；诼暟l(fā)射傳感器在頻域獲得的數(shù)據(jù)，對應(yīng)任意主軸速度、軸向切削深度的組合進(jìn)行檢測，判斷是否出現(xiàn)加工顫振。由于采用的聲發(fā)射傳感器具有很高的帶寬，很容易檢測高頻的顫振信號。

采用傳統(tǒng)定參數(shù)模型預(yù)測的穩(wěn)定性葉瓣圖與變參數(shù)模型預(yù)測結(jié)果的對比如圖5所示，加工實驗檢測到的穩(wěn)定點和顫振點也繪制在圖5中，并與穩(wěn)定性加工極限進(jìn)行對比。

從圖5可以看出，變參數(shù)穩(wěn)定性模型的極限曲線位于傳統(tǒng)模型極限曲線的下方，對應(yīng)傳統(tǒng)定參數(shù)模型穩(wěn)定性極限的一些在理論上穩(wěn)定的點，在實際的測試結(jié)果中卻是不穩(wěn)定的。而經(jīng)過改進(jìn)的變參數(shù)穩(wěn)定性模型數(shù)值分析的結(jié)果與實驗結(jié)果吻合良好，由此也驗證了建立的變參數(shù)穩(wěn)定性分析模型的正確性。

實際上，對于傳統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性預(yù)測模型，隨著系統(tǒng)參數(shù)值的改變，穩(wěn)定性葉瓣會相應(yīng)地移動當(dāng)前所在的位置;同時傳統(tǒng)的分析模型只針對參數(shù)具體的數(shù)據(jù)點來分析計算，而變參數(shù)穩(wěn)定性模型在計算過程中考慮參數(shù)變動范圍內(nèi)的所有情況。也就是說，采用變參數(shù)穩(wěn)定性模型在計算的時候，雖然結(jié)果比較保守，但是能夠保障不確定性參數(shù)所有組合的銑削加工穩(wěn)定性，從而提高了銑削加工精度。

4 結(jié)語

在實際高速銑削過程中，系統(tǒng)不確定性參數(shù)會影響加工的顫振穩(wěn)定性。傳統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性模型假定系統(tǒng)動態(tài)參數(shù)值在加工過程中固定不變，并不能準(zhǔn)確地對顫振進(jìn)行預(yù)測。對傳統(tǒng)穩(wěn)定性模型進(jìn)行拓展，考慮參數(shù)不確定性的變參數(shù)模型在分析過程中考慮了動態(tài)參數(shù)變化的整個區(qū)間，能夠精確地對銑削加工穩(wěn)定性進(jìn)行預(yù)測。在實際運(yùn)用中棱邊定理和排零準(zhǔn)則能夠考慮的變參數(shù)并不僅僅是固有頻率和切削系數(shù)，它對任意個數(shù)變化參數(shù)都可以考慮，區(qū)別在于實際加工的需求以及計算的復(fù)雜程度。

通過模態(tài)測試得到系統(tǒng)固有頻率，通過切削力系數(shù)辨識實驗得到切削系數(shù)，對給定加工系統(tǒng)，采用傳統(tǒng)定參數(shù)模型和新型變參數(shù)模型分別進(jìn)行了數(shù)值分析，并通過具體銑削加工實驗進(jìn)行對比分析，驗證了考慮參數(shù)不確定性穩(wěn)定性模型的有效性。

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