帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)分析

張杰

[摘 要]文章利用運(yùn)動(dòng)合成和分解的思想，對(duì)帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)、勻強(qiáng)磁場(chǎng)或勻強(qiáng)電場(chǎng)與勻強(qiáng)磁場(chǎng)疊加的復(fù)合場(chǎng)中，可能進(jìn)行的各種運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析。

[關(guān)鍵詞]帶電粒子 勻強(qiáng)電場(chǎng) 勻強(qiáng)磁場(chǎng)

[中圖分類號(hào)] G633.7 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2015）320050

設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m，電量為q（q>0），初速度為v0，勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，粒子的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。為方便討論，當(dāng)磁場(chǎng)存在時(shí)，固定磁場(chǎng)的方向沿Z軸的正方向；當(dāng)電場(chǎng)方向與磁場(chǎng)方向垂直時(shí)，取電場(chǎng)方向?yàn)閅軸正方向；當(dāng)初速度方向與電、磁場(chǎng)構(gòu)成的平面垂直時(shí)，取初速度方向沿X方向。

一、帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

取電場(chǎng)方向?yàn)閅軸正方向，則粒子可能的運(yùn)動(dòng)有以下三類。

1.勻加速直線運(yùn)動(dòng)

初速度v0沿Y軸正方向，有：

qE=ma，y=v0t+12at2

2.類平拋運(yùn)動(dòng)

初速度v0沿X軸正方向，有：

qE=ma x=v0t y=12at2

3.類斜拋運(yùn)動(dòng)

初速度v0在XY平面，沿X軸正方向的分量為v0x，沿Y軸正方向的分量為v0y。

帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類斜拋運(yùn)動(dòng)的實(shí)例有：電子槍、示波管。

相關(guān)方程有：

qE=ma x=v0xt y=v0y+12at2

二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

磁場(chǎng)的方向沿Z軸的正方向，粒子可能的運(yùn)動(dòng)有以下三類。

1.勻速直線運(yùn)動(dòng)（初速度v0沿Z軸正方向）

z=v0t

2.勻速圓周運(yùn)動(dòng)（初速度v0沿X軸正方向），有：

Bqv0=mv02r T=2πmBq

粒子在XY平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為r，周期為T

3.等距螺旋線（如圖1所示，圖中給出了磁場(chǎng)、電場(chǎng)和初速度的X、Y、Z三個(gè)方向的分量）。

初速度v0在XZ平面，沿X軸正方向的分量為v0x，沿Z軸正方向的分量為v0z，有：

Bqv0X=mv20Xr T=2πmBq

螺距z=v0zt

粒子的運(yùn)動(dòng)可以看成兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成，即XY平面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)疊加Z軸方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，周期為T。

帶電粒子做這類運(yùn)動(dòng)的實(shí)例有：顯像管、磁聚焦。

圖1

三、帶電粒子在正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1.勻速直線運(yùn)動(dòng)

磁場(chǎng)的方向沿Z軸的正方向，電場(chǎng)方向?yàn)閅軸正方向，初速度v0方向沿X方向。

并且滿足Bqv0=qE 即v0=EB

粒子以速度v0沿X軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，帶電粒子做這類運(yùn)動(dòng)的實(shí)例有：粒子速度選擇器。

2.滾輪線運(yùn)動(dòng)（如圖2所示）

磁場(chǎng)的方向沿Z軸的正方向，電場(chǎng)方向?yàn)閅軸正方向，初速度v0在XY平面內(nèi)。將初速度v0分解為v1+vc（不一定正交分解），其中vc方向沿X正方向，大小滿足|vc|=EB。

則Y軸方向有：Eqv0=qE

XY平面上有：Bqv1=mv12r

T=2πmBq x=vct

粒子的運(yùn)動(dòng)可以看成兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成，即XY平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)（半徑為r，周期為T）疊加X軸方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)（速度為vc）。即為XY平面內(nèi)的滾輪線，漂移方向?yàn)閄軸正方向。

圖2

3.空間等距滾輪線運(yùn)動(dòng)（如圖3所示）

磁場(chǎng)的方向沿Z軸的正方向，電場(chǎng)方向?yàn)閅軸正方向，初速度v0方向沿X、Y、Z方向的分量分別為vox，voy，voz，同樣將XY平面的速度分解（不一定正交分解），vxy分解為v1+vc，即v0x+v0y=v1+vc，其中vc方向沿X正方向，大小滿足|vc|=EB。

Y軸方向有：Bqvc=qE

XY

平面上有：Bqv1=mv12r

T=2πmBq

X軸方向有：X=v0t Z軸方向有：Z=v0zt

粒子的運(yùn)動(dòng)可以看成三個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成：XY平面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)（半徑為r，周期為T）疊加X軸方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)（速度為vc）疊加Z軸方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)（速度為v0z）?；?qū)⒘Ｗ拥倪\(yùn)動(dòng)看成兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成：即為XY平面內(nèi)的滾輪線疊加Z軸方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)。

圖3

四、帶電粒子在平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

磁場(chǎng)的方向沿Z軸的正方向，電場(chǎng)方向?yàn)閆軸正方向。

1.勻加速直線運(yùn)動(dòng)

初速度沿Z軸方向，有：

qE=ma z=v0zt+12at2

2.勻加距螺旋線（如圖4所示）

初速度v0方向在XZ平面，沿X、Z方向的分量分別為v0x、v0z。

沿Z軸方向有：qE=ma z=v0zt+12at2

XY平面上有：Bqv0x=

mv2oxr，

T=2πmBq

粒子的運(yùn)動(dòng)可以看成兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成：XY平面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)疊加Z軸方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

圖4

五、帶電粒子在斜交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1.類平拋運(yùn)動(dòng)（如圖5所示）

磁場(chǎng)B的方向沿Z軸的正方向，電場(chǎng)E的方向在YZ平面內(nèi)，電場(chǎng)沿Y軸的分量為Ey，電場(chǎng)沿Z軸的分量為Ez，初速度v0方向沿X方向，并且滿足Bqv0=qEy。

Y軸方向有：Bqv0=qEy

沿Z軸方向有：qEZ=ma Z=12at2

沿X軸正方向有：X=v0t

所以粒子的運(yùn)動(dòng)是XZ平面上的平拋運(yùn)動(dòng)。（若粒子還有Z方向上的初速度，粒子則做在XZ面上的斜拋運(yùn)動(dòng)，如圖6所示）

圖5

圖6

2.空間變加速滾輪線運(yùn)動(dòng)（如圖7所示）

磁場(chǎng)B的方向沿Z軸的正方向，電場(chǎng)E方向在YZ平面內(nèi)，電場(chǎng)沿Y軸的分量為Ey，電場(chǎng)沿Z軸的分量為

Ez，初速度v0方向沿X、Y、Z方向的分量分別為v0x，v0y，v0z，同樣將XY平面的速度分解（不一定正交分解），vxy分解為v1+vc，即v0x+v0y=v1+vc，其中vc方向沿X正方向，大小滿足|vc|=EyB。

Y軸方向有：Bqvc=qEy

XY平面上有：Bqv1=mv12r T=2πmBq

X軸方向有：X=v0t

Z軸方向有：qE=ma Z=v0zt+12at2

粒子的運(yùn)動(dòng)可以看成三個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成：XY平面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)（半徑為r，周期為T）疊加X軸方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)（速度為vc）疊加Z軸方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)?；蛘邔⒘Ｗ拥倪\(yùn)動(dòng)看成兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成：即為XY平面內(nèi)的滾輪線疊加Z軸方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

圖7

小結(jié)：帶電粒子在勻強(qiáng)電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)最終都可以分解為基本的運(yùn)動(dòng)：勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻加速直線運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這三種運(yùn)動(dòng)可以在同一平面上，也可以在互相垂直的平面上。

（責(zé)任編輯 易志毅）