線性回歸模型在控制系統(tǒng)分析中的應(yīng)用

申貝貝

【摘要】應(yīng)用線性回歸建立輸出量與輸入量之間的函數(shù)模型，并采用反向分析法，在確定輸出量的情況下，分析輸入量允許的偏差范圍及具體操作過程.使用拉普拉斯變換及反變換對控制系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的微分方程進(jìn)行推算，從而得出預(yù)設(shè)變量之間的函數(shù)模型，進(jìn)而為問題的解決找到突破口.

【關(guān)鍵詞】線性回歸；反向分析；拉普拉斯變換

在探索兩個量之間存在何種關(guān)系時，經(jīng)常采用的方法是，由這兩個量為有序?qū)崝?shù)對，建立它們的散點(diǎn)分布圖，通過散點(diǎn)的分布估計(jì)這兩個量之間的關(guān)系.如果散點(diǎn)分布整體上呈現(xiàn)一次線性方程的趨勢，即所統(tǒng)計(jì)的散點(diǎn)沿一條直線分布時，就可以使用線性回歸方程，建立兩變量之間的一次函數(shù)模型.在此，觀測記錄輸出水溫T和輸入量閥門旋轉(zhuǎn)角α，應(yīng)用線性回歸建立輸出量與輸入量之間的函數(shù)模型，并采用反向分析法，在確定輸出量的情況下，分析輸入量允許的偏差范圍及具體操作過程.

假設(shè)100℃的熱水和5℃的冷熱水按體積1∶1的比例混合輸出時，水溫應(yīng)在52.5℃，但因多種因素的影響，輸出水溫在55℃，此時需要調(diào)節(jié)冷水閥，增加冷水的輸入.若對照輸出水溫顯示器，發(fā)現(xiàn)在增加熱水時，水溫又降低，低于52.5℃，則應(yīng)停止增加冷水，開始調(diào)節(jié)熱水閥，增加熱水的輸入.若增加的熱水量相當(dāng)之前輸入冷水的量，很可能溫度又回復(fù)到55℃，因此為了減少反復(fù)調(diào)節(jié)，在第一次輸入冷水時，就有所控制地增加冷水量，同樣，在第二次輸入熱水時，應(yīng)對照增加的冷水控制參數(shù)來控制熱水的輸入量.其中對于冷熱水的調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)，采用旋轉(zhuǎn)閥門來進(jìn)行.順時針旋轉(zhuǎn)增加熱水的輸入量，逆時針旋轉(zhuǎn)增加冷水的輸入量.因此，閥門旋轉(zhuǎn)的角度大小，直接表示輸出水溫的大小.接下來探索旋轉(zhuǎn)角α和輸出水溫T之間的關(guān)系，建立函數(shù)模型T=T（α）.

旋轉(zhuǎn)角α和輸出水溫T之間的函數(shù)關(guān)系是T=a+bα（a，b為待定常數(shù)）.觀察（α，T）樣本，記錄樣本點(diǎn)：（α1，T1），（α2，T2），（α3，T3），…，（αn，Tn），在直角坐標(biāo)系αOT下描出每個樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖，如圖1所示.

由上述線性回歸方程和誤差e的概率分布所得到的分析結(jié)果顯示，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α在區(qū)間α--3σ，α-+3σ范圍內(nèi)取值時，獲得溫度為T的水.根據(jù)這一分析結(jié)果，設(shè)計(jì)一條反向分析思路：先確定輸出水溫目標(biāo)值T，再進(jìn)一步探索影響旋轉(zhuǎn)角α輸出區(qū)域的各種因素.將每一種因素作為自變量，建立以旋轉(zhuǎn)角α為因變量的數(shù)學(xué)模型.在此以下面的自動控制系統(tǒng)為例來說明這一設(shè)計(jì)思路.

圖 2例：編輯如圖2所示的轉(zhuǎn)速ω（或旋轉(zhuǎn)角θ）控制系統(tǒng)微分方程及各環(huán)節(jié)微分方程，分析在輸出水溫T一定的情況下，導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)角α存在取值區(qū)間[α--3σ，α-+3σ]的因素.輸入量ur經(jīng)過兩個運(yùn)算放大器和一個功率放大器，輸入電動機(jī)電壓ua和等效的電機(jī)轉(zhuǎn)軸上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩Mc，輸出量是轉(zhuǎn)速ω（或旋轉(zhuǎn)角θ）.

解題及分析：

第一，建立電動機(jī)處的微分方程，獲得輸入電壓ua關(guān)于輸出轉(zhuǎn)速ω之間的函數(shù)模型ua=f（ω）.從而也可以分析轉(zhuǎn)速ω由電壓ua引起的變化函數(shù)f-1（ua）.

根據(jù)系統(tǒng)的流程分析圖3，輸入量是ua，輸出量是ω，擾動量是Mc.

電動機(jī)回路方程為：ua=Ladiadt+Raia+ea.（2）

其中ea是反電勢，ea=caω.電機(jī)通電后產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩M=cmia，由牛頓定理可得機(jī)械轉(zhuǎn)動方程Jdωdt=M-Mc.經(jīng)過整理可得系統(tǒng)的微分方程為：

Ta·Tmd2ωdt+Tmdωdt+ω=Kuua-KmTadMcdt+Mc.（3）

其中Ta=LaRa，Tm=RaJcecm，Ku=1ce，Km=Racecm.

通常Ta非常小，可以忽略不計(jì)，即在Ta=0時，系統(tǒng)的微分方程可以進(jìn)一步簡化為：Tmdωdt+ω=Kuua-KmMc.（4）

或者將（4）式進(jìn)一步表達(dá)成以電動機(jī)旋轉(zhuǎn)角θ為輸出的微分方程：

Tmd2θdt2+dθdt=Kuua-KmMc.（5）

這樣就進(jìn)入反向分析的第一個入口，轉(zhuǎn)速ω（或旋轉(zhuǎn)角θ）與電壓ua之間的關(guān)系，因此，下一步要尋找功率放大器之前的電路元件電壓u1，u2與ua之間的函數(shù)模型，也就是系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程.

第二，建立各環(huán)節(jié)的微分方程，通過各元件電壓的函數(shù)關(guān)系，消去中間變量，推出ω～ur之間的函數(shù)關(guān)系式.

系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的微分方程依次為ua=K1u2，u2=K2（τu1·+u1），u1=K3（ur-uf），uf=Kfω，且ur為輸入量.結(jié)合第一步中所得到的電動機(jī)的微分方程（2）式，通過消去各中間變量，推出ω～ur之間的關(guān)系式：

Tm+τK01+K0ω·+ω=K1+K0（τur·+ur）-KmMc.（6）

其中K=K1K2K3Kf，K0=K3Kf.

對（6）式使用拉普拉斯變換，推出系統(tǒng)傳遞函數(shù)H（S），再利用卷積性質(zhì)求出輸出量ω在復(fù)數(shù)域的拉普拉斯變換函數(shù)，最后使用拉普拉斯反變換，求出ω在時域內(nèi)的輸出函數(shù)：

ω（t）=C1K（Tm-τ）Tm+τK0e1+K0Tm+τK0·t·ur-C2Km（1+K0）Tm+1+（1+τ）K0·Mc

=mect·ur+nMc.（7）

其中m=C1K（Tm-τ）Tm+τK0，n=C2Km（1+K0）Tm+1+（1+τ）K0，c=1+K0Tm+τK0.

這樣就找到反向分析的第二個入口，轉(zhuǎn)速ω（通過輸入量ur）與時間t建立起來的聯(lián)系.同時，明確輸出量ω受電源電壓輸入量ur和擾動量Mc等因素的影響.

第三，通過反饋電壓uf與輸入電壓ur形成的偏差ue=ur-uf，建立ω～ue關(guān)系式，

找出使得旋轉(zhuǎn)角α存在取值區(qū)間的原因.

反饋電壓uf與輸入電壓ur形成的偏差ue稱為系統(tǒng)偏差，通過消去各環(huán)節(jié)中間變量的方式，同樣可以建立ω～ue的函數(shù)關(guān)系式：

Tmω·+ω=KK23τue·+Kue-KmMc.（8）

在假設(shè)不存在擾動量Mc的作用下，對上式使用拉普拉斯變換，求出輸出量ω在復(fù)數(shù)域的拉普拉斯變換函數(shù)，最后使用拉普拉斯反變換，求出ω在時域內(nèi)的輸出函數(shù)ω1（t）=K（τ+K3）K3Tme-tTm·ue.在只受擾動量Mc的作用下，令ue=0，對上式再次使用拉普拉斯變換，求出輸出量ω在復(fù)數(shù)域的拉普拉斯變換函數(shù)，同樣使用拉普拉斯反變換，求出ω在時域內(nèi)的又一個輸出函數(shù)ω2（t）=KmMc（e-tTm-1），最后根據(jù)疊加原理確定ω（t）=c1ω1（t）+c2ω2（t），（其中c1，c2為任意常數(shù)）.

結(jié)合以上結(jié)論，又由dθdt=ω，所以旋轉(zhuǎn)角θ是轉(zhuǎn)速函數(shù)ω（t）在時域上的積分，即θ=∫ω（t）dt，當(dāng)t=T時，θ（T）是一個受積分限決定的值，而α=θ（T）.由于輸出量ω受電源電壓輸入量ur和擾動量Mc的影響，反饋電壓uf與輸入電壓ur形成的偏差ue=ur-uf，若假設(shè)ue=0，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，那么ω以一個恒常數(shù)輸出；若系統(tǒng)偏差ue不總等于0，且是關(guān)于t的函數(shù)，則在ω（t）所在的時域內(nèi)總存在輸出旋轉(zhuǎn)角θ的偏差，從而導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)角α=θ（T）在[α--3σ，α-+3σ]這個區(qū)間范圍內(nèi)取值，且當(dāng)t=T時，α=θ（T）=∫ω（t）dt=∫[c1ω1（t）+c2ω2（t）]dt，由之前的分析這個積分結(jié)果是關(guān)于電源電壓輸入量ur和擾動量Mc的表達(dá)式.

因此，若期望在ue不總等于0，旋轉(zhuǎn)角α=θ（T）在[α--3σ，α-+3σ]這個區(qū)間范圍內(nèi)取值時，通過系統(tǒng)調(diào)節(jié)盡快在穩(wěn)定狀態(tài)下得到輸出量T，就需要對系統(tǒng)偏差ue進(jìn)行消除，即調(diào)節(jié)電源電壓輸入量ur的穩(wěn)定性和消除擾動量Mc.這樣就通過預(yù)設(shè)變量之間的函數(shù)模型，找出解決問題的途徑.

【參考文獻(xiàn)】

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