數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)散性思維培養(yǎng)的幾條途徑

毛永星

【摘要】 發(fā)散性思維是不依常規(guī)，尋求變異，對(duì)給出的材料、信息從不同的角度，向不同方向，用不同方法或途徑進(jìn)行分析和解決問(wèn)題的一種思維方式，對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和提高學(xué)生的探索能力有很大作用. 因此，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師有意識(shí)從課堂教學(xué)的細(xì)節(jié)入手，針對(duì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性思維訓(xùn)練，既可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，又可以提高數(shù)學(xué)教學(xué)有效性. 本文結(jié)合初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)際，對(duì)在課堂教學(xué)中開(kāi)展發(fā)散性思維訓(xùn)練的途徑進(jìn)行探討.

【關(guān)鍵詞】 課堂教學(xué)；發(fā)散性思維；途徑

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)，一方面要傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生具備數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的素養(yǎng)；另一方面，要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力. 長(zhǎng)期以來(lái)，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)以集中思維為主要的思維方式，教材上的題目和素材的呈現(xiàn)過(guò)程大都是這種模式，學(xué)生習(xí)慣于用常規(guī)的思路和方法解決問(wèn)題，這對(duì)于數(shù)學(xué)興趣的激發(fā)、數(shù)學(xué)能力的發(fā)展是不夠的. 發(fā)散性思維是不依常規(guī)，尋求變異，對(duì)給出的材料、信息從不同的角度，向不同方向，用不同方法或途徑進(jìn)行分析和解決問(wèn)題的一種思維方式，對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和提高學(xué)生的探索能力有很大作用. 因此，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師有意識(shí)從課堂教學(xué)的過(guò)程入手，針對(duì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性思維訓(xùn)練，既可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，又可以提高數(shù)學(xué)教學(xué)有效性. 本文結(jié)合初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)際，對(duì)在課堂教學(xué)過(guò)程中如何開(kāi)展發(fā)散性思維訓(xùn)練的途徑進(jìn)行探討.

一、善用聯(lián)想培養(yǎng)發(fā)散性思維

聯(lián)想是指由一種事物想到另一種事物的心理過(guò)程. 我們應(yīng)根據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，從不同角度、沿不同方向?qū)で蠼鉀Q的辦法，訓(xùn)練發(fā)散思維的變通性. 學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、信息量越豐富，聯(lián)想力就越強(qiáng)，思路就越廣闊，發(fā)散思維就更具有流暢性、靈活性和獨(dú)特性. 沒(méi)有思維的靈活性，也就沒(méi)有發(fā)散性思維可言. 因此，要培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，就要培養(yǎng)聯(lián)想能力，訓(xùn)練思維變通能力. 如在九年級(jí)下冊(cè)《相似三角形》的判定這一章節(jié)的教學(xué)中，重視比例性質(zhì)和線(xiàn)段的分拆訓(xùn)練是非常重要的.

例1 已知，如圖在△ABC中，∠B = 2∠C，求證：AC2 = AB2 + AB·BC.

分析 本題的證法不能一眼看出，但在結(jié)論變形后，即為AC·AC = AB（AB + BC） = 的比例式，可聯(lián)想兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊之比，故需出現(xiàn)（AB + BC）線(xiàn)段，想到延長(zhǎng)AB至E，使BE = BC，連結(jié)EC，這樣就是AE = AB + BE = AB + BC了. 從而構(gòu)成三角形△AEC，只需證明△ACE∽△ABC即可. 由此可見(jiàn)，如果沒(méi)有一定的相似三角形知識(shí)，解題經(jīng)驗(yàn)和作圖技能，這里一次又一次的推理是難以進(jìn)行的. 因此，在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，要注重基礎(chǔ)知識(shí)的領(lǐng)會(huì)與掌握，注意知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別. 只有基礎(chǔ)扎實(shí)了，才能做到融會(huì)貫通，舉一反三，提高思維的靈活性，從而達(dá)到對(duì)學(xué)生發(fā)散思維能力的培養(yǎng).

二、巧用求異培養(yǎng)發(fā)散性思維

發(fā)散思維能力的形成，需要以樂(lè)于求異的心理傾向作為一種重要的內(nèi)驅(qū)力. 教師要善于選擇具體題例，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，精心誘導(dǎo)學(xué)生的求異意識(shí). 對(duì)于學(xué)生在思維過(guò)程中時(shí)不時(shí)出現(xiàn)的求異因素要及時(shí)予以肯定和熱情表?yè)P(yáng)，使學(xué)生真切體驗(yàn)到自己求異成果的價(jià)值. 對(duì)于學(xué)生欲尋異解而不能時(shí)，教師則要細(xì)心點(diǎn)撥，潛心誘導(dǎo)，幫助他們獲得成功，使學(xué)生漸漸生成自覺(jué)的求異意識(shí)，并日漸發(fā)展為穩(wěn)定的心理傾向. 在面臨具體問(wèn)題時(shí)，就會(huì)能動(dòng)地作出“還有另解嗎？”，“再?gòu)牧硪粋€(gè)角度分析一下”的求異思考. 在課堂教學(xué)過(guò)程中，充分利用學(xué)生樂(lè)于求異的心理傾向，是培養(yǎng)的發(fā)散性思維能力的重要手段.

例2 已知點(diǎn)B在直線(xiàn)AC上，AB = 8 cm，AC = 19 cm，P，Q分別是AB，AC的中點(diǎn)，求PQ的長(zhǎng)度.

（一般的學(xué)生看完題目之后立刻就可以畫(huà)出如圖2所示的平面圖形來(lái)進(jìn)行如下的求解：）

解析 依據(jù)題意，可以畫(huà)出圖2，再由線(xiàn)段的性質(zhì)可以求出PQ的長(zhǎng)度

∵ AB = 8 cm，AC = 19 cm

P、Q分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴ AQ = QC = AC = 9 cm，AP = PB = AB = 4 cm，∴ PQ = AQ - AP = 9 - 4 = 5 cm

即求出PQ的長(zhǎng)為5 cm.

解完到這里，很多學(xué)生都很高興自己將此道題目完成了，但是對(duì)一部分善于思考，善于求異的學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)其還有另外一種情況存在（即點(diǎn)B不在線(xiàn)段AC上），這樣又可以畫(huà)出另外一種平面圖形來(lái)求解PQ的長(zhǎng)度.

解析過(guò)程如下：

解 依據(jù)題意，可以畫(huà)出圖2，再由線(xiàn)段的性質(zhì)可以求出PQ的長(zhǎng)度

∵ AB = 8 cm，AC = 19 cm

P、Q分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴ AQ = QC = AC = 9 cm

AP = PB = AB = 4 cm，∴ PQ = AQ + AP = 9 + 4 = 13 cm

即求出PQ的長(zhǎng)為13 cm.

可見(jiàn)，學(xué)生在求異心理傾向驅(qū)使下，那些相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)、解題經(jīng)驗(yàn)會(huì)處于特別活躍的狀態(tài)，對(duì)題中數(shù)量作出各種不同形式的重組，逐步形成發(fā)散思維能力. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要抓住時(shí)機(jī)引導(dǎo)學(xué)生突破模式，擺脫框架思路的束縛，從不同角度靈活出題. 學(xué)生對(duì)所給的條件從不同角度分析、構(gòu)想和重組，實(shí)現(xiàn)了思維的發(fā)散，學(xué)生的思路開(kāi)闊了，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，探求新知識(shí)的能力逐步培養(yǎng)起來(lái)，創(chuàng)新的意識(shí)也油然而生.

三、多種角度培養(yǎng)發(fā)散思維

培養(yǎng)學(xué)生能善于沿著不同角度、順著不同方向、選擇不同方法，對(duì)同一問(wèn)題從多方位、多層次、多側(cè)面認(rèn)識(shí). 在教學(xué)中，我們應(yīng)自始至終、持之以恒地引導(dǎo)學(xué)生不拘泥于狹隘的解題思路，突破單一的思維模式，誘導(dǎo)他們轉(zhuǎn)換角度多方思考，探索多種解題方法從而培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性.

例3 如圖4，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AD = AE = 2.若點(diǎn)F從點(diǎn)B開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線(xiàn)BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.當(dāng)t > 0時(shí)，直線(xiàn)FD與過(guò)點(diǎn)A且平行于BC的直線(xiàn)相交于點(diǎn)G，GE的延長(zhǎng)線(xiàn)與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)H，AB與GH相交于點(diǎn)O.

（1）設(shè)△EGA的面積為S，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，AB⊥GH；

（3）請(qǐng)你證明△GFH的面積為定值；

（4）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)F和點(diǎn)C是線(xiàn)段BH的三等分點(diǎn).

分析：此題綜合性比較強(qiáng)，運(yùn)用了函數(shù)的知識(shí)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、線(xiàn)的位置關(guān)系、三角形面積、線(xiàn)段的性質(zhì)等知識(shí)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.

解析 （1）如圖5，∵GA∥BC，∴ = ，又∵ AB = 6，AD = 2，∴ DB = 4，由于BF = t，∴ = ，∴ AG = t.

過(guò)點(diǎn)E作EK⊥AG，垂足為K.

∵∠BCA = 60°，∴ ∠CAK = 60°，∴ ∠AEK = 30°，

∵ AE = 2，∴ AK = 1，∴ EK = .

∴ S = AG·EK= × t × = t.

（2）如圖5，連接DE，由AD = AE可知，△ADE為等邊三角形.

若AB⊥HE，則AO = OD，∠AEO，∵GA∥DE，∴∠AGE = ∠GED，∴∠AGE = ∠AEG，∴ AG = AE = 2，∴ t = 2，t = 4.即當(dāng)t = 4時(shí)，AB⊥GH.

（3）法一：

∵ GA∥BC，∴ = ，由合比性質(zhì)得 = .

∵ DE∥BC，∴ = ， = ，∴ FH = BC.

∵ △ABC與△GFH的高相等，∴ S△GFH = S△ABC = × 6 × 3 = 9.

∴不論t為何值，△GFH的面積均為9.

法二：∵ △GAD∽△FBD，∴ = = .

∵△GAE∽△HCE，∴ = = ，∴ BF = CH.

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，BC = FH，

當(dāng)點(diǎn)F在BC邊上時(shí)，BC = BF + FC = CH + FC = FH，

當(dāng)點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，BC = BF - FC = CH - FC = FH，∴ BC = FH.

∴ S△GFH = S△ABC = × 6 × 3 = 9.

∴不論t為何值，△GFH的面積均為9.

一題多解是啟發(fā)學(xué)生思維的重要手段，它從不同的角度去尋找解決問(wèn)題的各種可能途徑和思維空間，探求不同的解答方案，從而拓廣思路，使思維向多方向發(fā)展，培養(yǎng)思維的發(fā)散性.

例 4 如圖6，以△ABC的個(gè)邊向BC同側(cè)作等邊△ABD，△BCF，△ACE，求證：四邊形AEFD是平行四邊形.

在引導(dǎo)學(xué)生解決了問(wèn)題之后，為培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，如果繼續(xù)為學(xué)生設(shè)計(jì)如下的探究性問(wèn)題：“（1）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足_時(shí)，四邊形AEFD是菱形，請(qǐng)說(shuō)明理由. （2）當(dāng)∠BAC = _度時(shí)，四邊形AEFD是矩形，請(qǐng)說(shuō)明理由. （3）當(dāng)∠BAC =_度時(shí)，以A，E，F(xiàn)，D為頂點(diǎn)的四邊形不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由”；這樣，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，還使他們的思維變得更加活躍發(fā)散. 學(xué)習(xí)的過(guò)程是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程. 因此，教師在同一個(gè)問(wèn)題上多問(wèn)或引導(dǎo)學(xué)生問(wèn)一些問(wèn)題（最好要有梯度，而不是類(lèi)似問(wèn)題的簡(jiǎn)單堆砌），久而久之，學(xué)生在潛移默化中慢慢地學(xué)會(huì)舉一反三，觸類(lèi)旁通了，從而真正達(dá)到培養(yǎng)發(fā)散思維能力的目的.

四、歸納推理培養(yǎng)發(fā)散性思維

歸納推理是指由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征，或者由個(gè)別事實(shí)概栝出一般結(jié)論，（簡(jiǎn)稱(chēng)歸納）部分推出整體，個(gè)別推出一般的重要的數(shù)學(xué)推理方法. 在課堂教學(xué)中注重歸納推理，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力是必不可少的重要過(guò)程.

例5 在一次聚會(huì)中，共有6人參加，如果每?jī)蓚€(gè)人我一次手，共握幾次手呢？如果n個(gè)人又握幾次手呢？

分析 通過(guò)現(xiàn)實(shí)握手實(shí)驗(yàn)可以將6個(gè)人的握手次數(shù)找出來(lái)，但是n個(gè)人的握手次數(shù)就不是想象中的那么容易，而且在學(xué)習(xí)了線(xiàn)段性質(zhì)的基礎(chǔ)上，如果將本題研究握手次數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成研究直線(xiàn)上的點(diǎn)構(gòu)成線(xiàn)段的條數(shù)問(wèn)題，這里把每個(gè)人看作一個(gè)點(diǎn)，這樣就可以很容易求出答案. 為了解決問(wèn)題，我們?cè)O(shè)計(jì)下列圖表進(jìn)行探究：

解 根據(jù)表中的信息，通過(guò)探究推理可得到問(wèn)題的答案

6個(gè)人握手次數(shù)為：15次.

n個(gè)人握手次數(shù)為：（n - 1） + （n - 2） + （n - 3） + … + 4 + 3 + 2 + 1 =

綜上所述，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)重視初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過(guò)程，充分利用一切課堂教學(xué)資源，從教學(xué)細(xì)節(jié)入手，注重培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力，提高課堂教學(xué)的有效性，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，直至成為創(chuàng)新性人才奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

【參考文獻(xiàn)】

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