以“形”解“數(shù)”三步，化解學生數(shù)學難題

劉保華

【摘要】“數(shù)”與“形”是數(shù)學研究中兩個最古老也是最基本的問題，我們今天所學的數(shù)學中所有的問題都是圍繞著“數(shù)”與“形”的提煉、演變、發(fā)展而展開的，“數(shù)”與“形”可以說是支撐數(shù)學的兩塊基石.因此，在高中數(shù)學的教學中，教師可以充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，引導學生化本于形、化繁為簡、化隱于明，有效化解教學中的重點和難點，顯著提高教學效率.

【關鍵詞】高中數(shù)學；教學方法；數(shù)形結(jié)合

一、以“形”解“數(shù)”，具體轉(zhuǎn)化抽象概念

高中階段的數(shù)學知識相較于小學和初中來說更加的抽象和復雜，加大了學生的學習難度，因而教師在實施教學的時候要善于把抽象的數(shù)學概念和具體的圖形結(jié)合起來，幫助學生在腦海中建立起概念的模型，有效化本于形.例如，在教學“空間幾何體”時，數(shù)學教師可以自己制作簡單的Flash動畫，通過演示矩形、直角三角形、直角梯形繞一邊旋轉(zhuǎn)的過程，讓學生親眼見證其形成圓柱、圓錐、圓臺，使“把一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體”這一旋轉(zhuǎn)體的定義躍然紙上，成功幫助學生突破二維平面進入三維空間.接著就是“空間幾何體的三視圖”，其教學也可以通過多媒體的演示來輕松實現(xiàn)：教師先將一個圓錐進行旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)等，向?qū)W生全方位展示圓錐的各個面，從視覺上對“三視圖”有一個初步的認識.然后，再讓學生們把自己剛剛所觀察到的圓錐在不同觀測角上的“樣子”畫下來，從而過渡到了“三視圖”的畫法教學上面，提升了教學的有效性.像這樣運用恰當?shù)膱D形把數(shù)學概念中最本質(zhì)的屬性演示出來，使學生能夠更為直觀地認識到該概念的實際意義，從鮮明的表象中抽象出深刻的內(nèi)涵，建構(gòu)數(shù)學概念，比起教師的長篇解說更容易理解，也更為有趣.所以高中數(shù)學教師要有意識地將抽象概念轉(zhuǎn)化為具體形態(tài)，幫助學生建構(gòu)表象，促進感性認識上升為理性認識.

二、以“形”解“數(shù)”，清晰梳理數(shù)量關系

數(shù)量關系是解數(shù)學題的關鍵所在，只要理清了題中的數(shù)量關系，問題基本也就迎刃而解了.但在教學過程中，教師要十分重視對數(shù)量關系的梳理，有效利用“數(shù)形結(jié)合”的方式創(chuàng)建教學情境，幫助學生理清數(shù)量關系.例如，在引入“函數(shù)”這一單元的內(nèi)容時，由于學生是第一次開始接觸“函數(shù)”這一新知識，難免會產(chǎn)生一些心理上的恐懼感，為了使他們迅速進入學習狀態(tài)，建立學習的信心，教師在講“生活中的變量關系”這一節(jié)中就應該制作生動形象的課件來演示變量之間的關系.比如路程與時間的正比關系，就可插入“龜兔賽跑”的動畫來向?qū)W生表示：一聲槍響，烏龜和兔子從同一起點同時出發(fā)，視頻中用紅線和黃線分別把烏龜和兔子的運動軌跡表示出來，所以學生們可以明顯地觀察到黃色的軌道在迅速地變長，相對而言紅線卻遲遲不見增長.同時，課件的右上角還掛了一個秒表，來讓學生注意到時間的推移.接著，教師就可讓學生列出視頻中總共有哪些“數(shù)量”，并說一說它們之間的關系，討論分辨出“自變量”和“因變量”.在后續(xù)的講課過程中，教師還可再插入播放一段煙花在空中綻放的視頻，以此告訴學生函數(shù)圖像就像是煙花一樣有起有落，讓學生從“形”上感知函數(shù)、發(fā)現(xiàn)函數(shù)，在輕松的心理狀態(tài)下進行數(shù)學知識的學習.以這樣的生動具體的形式將數(shù)量之間的關系清晰地演示出來，成功地把抽象敘述轉(zhuǎn)化為了直觀呈現(xiàn)，從而達到化繁為簡、幫助學生理清數(shù)量關系的目的.

三、以“形”解“數(shù)”，巧妙凸顯數(shù)學規(guī)律

數(shù)學規(guī)律總隱藏于現(xiàn)象之中，要從現(xiàn)象中概括出普遍規(guī)律對于學生來說不是一件容易的事情.所以數(shù)學教師要把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，幫助學生總結(jié)事物規(guī)律.借助單位圓來教學“任意角的三角函數(shù)”這一課，首先引入銳角三角函數(shù)在單位圓中的定義（如右圖），利用點P的坐標和之前所學的知識，得出sinα=yx2+y2，cosα=xx2+y2，tanα=yx，并化簡為sinα=MPOP=y，cosα=OMOP=x，tanα=MPOM=yx.接著，再以此為基礎把P點的位置（角的終邊與單位圓的交點）移動到第二、三、四象限的對應位置，學生依葫蘆畫瓢很快就能寫出相應的函數(shù).

這是利用以“形”解“數(shù)”的方法讓學生發(fā)現(xiàn)其中所蘊含的規(guī)律，從銳角三角形函數(shù)推出任意角的三角函數(shù)的例子，實踐證明這個方法是非常有效的.另外，我們還可以利用“六邊形記憶法”來幫助學生記憶三角函數(shù)的八大關系，如右邊圖形結(jié)構(gòu)所示：“對角線上兩個函數(shù)的積為1.陰影三角形上兩頂點的三角函數(shù)值的平方和等于下頂點的三角函數(shù)值的平方.任意一頂點的三角函數(shù)值等于相鄰兩個頂點的三角函數(shù)值的乘積.”

并教給學生“上弦中切下割，左正右余1中間”的口訣，大大提高了記憶的效率.這不僅成功將數(shù)學規(guī)律凸顯出來，降低了學生理解和記憶的難度，也給學生們提供了一種高效學習的方法，在一定程度上提升了學生的自主學習能力.

四、結(jié)束語

“數(shù)”與“形”作為數(shù)學學習的兩條主線，是教師在教學中必須要把握的關鍵.高中數(shù)學的內(nèi)容較為艱深，教師要認真?zhèn)湔n、積極研究，把教材中的“數(shù)”與學生熟悉的“形”巧妙結(jié)合起來，為高中數(shù)學的課堂教學注入生機與活力.也只有這樣，才能幫助學生們逐漸建立起學習數(shù)學的自信心，提高教學的效率.