淺談定積分不等式證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法

黃紹東

摘 要：構(gòu)造輔助函數(shù)法是高等數(shù)學中解決問題的一種重要方法，在解決實際問題中有著廣泛的應用，通過研究微積分學中輔助函數(shù)的構(gòu)造法，構(gòu)造與問題相關的輔助函數(shù)，從而得出欲證明的結(jié)論。尤其關于定積分不等式的證明在近幾年的研究生數(shù)學考試中又頻繁出現(xiàn)。借助適當?shù)妮o助函數(shù)來證明定積分不等式是一種非常重要且行之有效的方法。本文對某些定積分不等式中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法簡單探討。

關鍵詞：定積分不等式；構(gòu)造；輔助函數(shù)；變限法

當某些數(shù)學問題使用通常辦法去考慮而很難奏效時，可根據(jù)題設條件和結(jié)論特征、性質(zhì)展開聯(lián)想，進而構(gòu)造出解決問題的特殊模式——構(gòu)造輔助函數(shù)。輔助函數(shù)構(gòu)造法是高等數(shù)學中一個重要的思想方法，在高等數(shù)學中廣泛應用。構(gòu)造輔助函數(shù)是把復雜問題轉(zhuǎn)化為已知的容易解決問題的一種方法，在解題時，常表現(xiàn)為不對問題本身求解，而是構(gòu)造一個與問題有關的輔助問題進行求解。微積分學中輔助函數(shù)的構(gòu)造是在一定條件下利用微積分中值定理求解數(shù)學問題的方法。可以解決高等數(shù)學中眾多難題，尤其是在微積分證明題中應用頗廣，可達到事半功倍的效果。特別是定積分不等式的證明，往往需要借助恰當?shù)妮o助函數(shù)才能順利完成，然而，對基礎一般的學生來說，構(gòu)造恰當?shù)妮o助函數(shù)是相當有難度的。筆者在教學中進行探索，找到一些可行的方法，在此與廣大讀者進行交流。

一、構(gòu)造輔助函數(shù)的原則

輔助函數(shù)的構(gòu)造是有一定規(guī)律的。當某些數(shù)學問題使用通常的方法按定勢思維去考慮很難奏效時，可根據(jù)題設條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)展開聯(lián)想，進而構(gòu)造出解決問題的特殊模式，這就是構(gòu)造輔助函數(shù)解題的一般思路。

二、構(gòu)造輔助函數(shù)方法探討

1.僅告知被積函數(shù)連續(xù)的命題的證法

一般來說，這類命題的證明要做輔助函數(shù)（或者說用輔助函數(shù)法更簡便）。

在定積分不等式中，輔助函數(shù)φ（x）的構(gòu)造方法是將定積分不等式中，積分上限（或下限）及相同字母換成x，移項使不等式一端為 0，則另一端即為所設的輔助函數(shù)φ（x）。

這類命題的證明思路：

（1）做輔助函數(shù)φ（x）；

（2）求φ（x）的導數(shù)φ'（x），并判別φ（x）的單調(diào)性；

（3）求φ（x）在積分區(qū)間[a，b]的端點值φ（a），φ（b），其中必有一個值為“0”，由第2條思路可推出φ（b）>φ（a）（或φ（b）<φ（a）），從而得出命題的證明。

2.已知被積函數(shù)f（x）一階可導，又至少一個端點的函數(shù)值為0（f（a）=0或f（b）=0）的命題的證法

（1）證題思路之一。①寫出含這個端點的拉格朗日中值定理：f（x）=f （x）-f（a）=（x-a）f '（ξ），（f（a）=

0）或f（x）=f（x）-f（b）=（x-b）f '（ξ），（f（b）=0）。②再根據(jù)題意進行不等式的放縮。③用定積分的比較定理、估值定理或函數(shù)的絕對值不等式等定積分性質(zhì)作分析處理。

例1，設f（x）在[a，b]上可導，且f '（x）≤M，f（a）=0，證明

∫ f（x）dx≤—（b-a）2

證明：由題設對任意的x∈[a，b]，

可知f（x）在[a，b]上滿足拉氏微分中值定理，于是有：

f（x）=f（x）-f（a）=f '（ξ） （x-a），ξ∈（a，x）

∵f（x）≤M，∴f（x）≤M（x-a），

由定積分比較定理，得出：

∫ f（x）dx≤∫M（x-a）dx=—

（b-a）2

（2）證明思路之二。①寫出如下等式：

f（x）=f（x）-f（a）=∫ f'（t）dt（當f（a）=0時）

或f（x）-f（ξ）=∫ f'（t）dt

②利用定積分比較定理、估值定理或絕對值不等式進行分析處理。

3.已知被積函數(shù)f（x）二階或二階以上可導，且又知最高階導數(shù)的符號的命題的證法

證明思路：直接寫出f（x）的泰勒展開式（證明定積分等式是將輔助函數(shù)F（x）=∫ f'（t）dt展成泰勒公式），然后根據(jù)題意對展開式進行放縮。

三、結(jié)束語

輔助函數(shù)的構(gòu)造在高等數(shù)學中一直占有重要地位，尤其是在微積分學中。輔助函數(shù)的構(gòu)造是我們解決問題的重要工具，對它的研究從沒有中斷過，很多數(shù)學工作者對微積分學中輔助函數(shù)的構(gòu)造做了很多研究，也取得了很多學術(shù)成果。本文從構(gòu)造輔助函數(shù)的基本原則入手，總結(jié)了幾種輔助函數(shù)的構(gòu)造方法，同時也體現(xiàn)了構(gòu)造輔助函數(shù)解決問題對培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的重要作用。

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（作者單位：河南工業(yè)和信息化職業(yè)學院）