圓的幾何特征在解題中的應(yīng)用

趙得鳳

利用“圓”的代數(shù)與幾何特點解題，把握圓的方程與幾何特征;學(xué)會數(shù)形結(jié)合的解題思想。探討利用圓的特性能夠解決的幾大類問題。不但充分地發(fā)揮了圓的幾何優(yōu)勢，而且是題目易于求解。

數(shù)形結(jié)合圓的方程幾何圖形在解析幾何中，圓占有很重要的地位，認真把握圓的方程與幾何特征，利用圓的特征，解決某些問題，可以達到事半功倍的效果。

一、利用圓的幾何圖形來求最值

例1.設(shè)實數(shù)x，y滿足x+y≥0

x2 + y2≤1 ，則z=2x+y的范圍是什么？

解析：由不等式組畫出可行域（如圖），

z=2x+y，作出直線2x+y=0，當(dāng)2x+y=0

平移至l1位置時z最小由已知得

A（-22，22），∴zmin =-22

當(dāng)2x+y=0平移至l2位置時z最大，

d=z22+12=1∴z=5∴zmax =5

分析：本題應(yīng)注意x2+y2≤1表示圓面（包括邊界）與x+y≥0結(jié)合取公共區(qū)域為一個半圓，所以在解題時一定看清是否包含“=”。

二、利用圓的半徑求值

例2.動點P（x，y）在橢圓x225+y216=1上，F(xiàn)為其右焦點，F(xiàn)M→=1，且PM→·FM→=0，則PM→的最小值為（）

解析：FM→中點M的軌跡是以F為圓心，

1為半徑的圓，當(dāng)動點P為橢圓右頂點時，PF最小，又P⊥F，PM→=PF→2-12，Pmin=a-c代入Pmin=（5-3）2-12=3

分析：此題抓住了FM=1的關(guān)鍵點，而F為定點，M為動點。所以，由圓的定義而得出結(jié)論，解題時要深刻領(lǐng)悟圓的“兩定”。

三、利用圓的方程特征求參數(shù)范圍

例3.若x的不等式1-x2≥x+t的解集為空集。則實數(shù)t的取值范圍是：

解析：令y=1-x2 ①，y=x+t ② ，

由①得x2+y2=1（y≥0）表示半圓，

與②直線的位置關(guān)系如圖所示，

由此可知，當(dāng)t>2時1-x2≥x+t解集為φ。

分析：此題若利用1+x2≥（x+t）2討論，問題就太繁瑣了，所以解題時抓住了圓的方程特征，數(shù)形結(jié)合，減少了計算量。

四、利用圓與距離的關(guān)系解題

例4.已知f（x）是奇函數(shù)且是R上的增函數(shù)，若f（x2-2x）≤f（y2-2y）（x，y∈R），則x2+y2的最大值是（ ）

A.3B.22 C.8 D.12

解析：由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性得：x2-2x≤y2-2y，即（x-1）2+（y-1）2≤2，表示圓心C（1，1）半徑為2的圓面，而x2+y2看做圓C上的點與原點距離的平方，圓上最遠處為直徑。所以（x2+y2）max=OP2=（22）2=8

分析：此題要看清Z=x2+y2表示圓面（包括邊界）與原點距離的平方，而不能看作圓。

五、把代數(shù)問題劃歸成與圓有關(guān)問題解決

例5.在ΔABC中，已知AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是（ ）

A.0

解析：如圖所示AB=1，BC=2， A在以B為圓心，半徑為1的圓上（與B、C不共線），當(dāng)直線AC⊥BA時，角C最大是π6，

所以C∈（0，π6]

例6.ΔABC中，若AB=2，AC=2BC，求面積SΔABC最大值。

解析：如圖，建立直角坐標系，設(shè)C（x ， y）AC=2BC，

所以，（x+1）2+y2=2（x-1）2+2y2

整理得：（x-3）2+y2=8（y≠0）

C點軌跡是以（3，0）為圓心，半徑為的圓（除去與x軸交點），AB為定值2，所以C在C1與C2位置時SΔABC最大，最大值為12×2×22=22。

分析：這兩題是將解三角形問題與圓有機結(jié)合起來，從而使解覺方法更為簡單化，平時要注意各知識點間的彼此聯(lián)系。

參考文獻：

[1]《圓的方程》必修二.

[2]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.