鞅在破產(chǎn)概率中的應(yīng)用

李智

【摘要】本文用鞅方法研究了幾個(gè)風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率的Lundberg界及表達(dá)式等問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】鞅方法;破產(chǎn)概率 Lundberg上界

在破產(chǎn)概率中，關(guān)于Lundberg不等式和破產(chǎn)概率表達(dá)式是核心問(wèn)題，許多風(fēng)險(xiǎn)模型都是圍繞著這兩個(gè)問(wèn)題深入探討.通常情況我們從數(shù)學(xué)的角度，應(yīng)用鞅方法及積分微分法等來(lái)研究破產(chǎn)概率.其中，鞅方法顯得尤為重要，它對(duì)一切滿足平穩(wěn)獨(dú)立增量的風(fēng)險(xiǎn)模型都適用，因此是研究風(fēng)險(xiǎn)模型的主要方法之一.

1.鞅在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率中的應(yīng)用

經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型U1（t）=u+ct-∑N（t）i=1Xi，t≥0.U1（t）是資本盈余，u是初始資產(chǎn)，c是單位時(shí)間保費(fèi)收入，S1（t）=ct-∑N（t）i=1Xi，t≥0是凈盈余過(guò)程，其中{N（t）;t≥0}為參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，N（t）表示0，t內(nèi)理賠到達(dá)次數(shù)，Xi表示第i次索賠額的大小，且為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，假定N（t）與Xi相互獨(dú)立.

定義破產(chǎn)時(shí)刻為Tu（1）=inft≥0U1（t）<0.無(wú)窮時(shí)間破產(chǎn)概率為ψ1（u）=P（inf0

引理1.1 對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程{U1（t）：t≥0}，一定存在函數(shù)g（r），使得E[e-rS1（t）]=etg（r）.

證明 E[e-rS1（t）]=e-rct∑∞k=0（αt）kk！e-αt（h（r）+1）=et（ah（r）-rc），設(shè)h（r）=crα.

令g（r）=αh（r）-rc，從而引理得證.

定理1.1 在風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程{U1（t）：t≥0}下，無(wú)窮時(shí)間破產(chǎn)概率滿足不等式ψ1（u）≤e-Ru，其中R=supr>0{r：g（r）≤0}.

證明 因?yàn)門u（1）是F停時(shí)，不妨設(shè)t0<∞，由引理有e-ru=Mu（0）≥E[Mu（Tu（1））Tu（1）≤t0]P{Tu（1）≤t0}.

又{Tu（1）<∞}，u+S1（Tu（1））<∞，

故p{T（1）u≤t0}≤e-rusup0≤t≤t0etg（r）.

令t0→∞，得ψ1（u）≤e-rusupt≥0etg（r）.

取R=supr>0{r：g（r）≤0}，則定理得證.

定理1.2 在風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程{U1（t）：t≥0}下，無(wú)窮時(shí)間破產(chǎn)概率為 ψ1（u）=e-RuE[exp（-RU1（Tu（1）））Tu（1）<∞].

證明 e-Ru=E[Mu（Tu（1）∧t0）Tu（1）≤t0]P{Tu（1）≤t0}+E[Mu（Tu（1）∧t0）Tu（1）>t0]I（A）為示性函數(shù)，

有0≤E[e-RU1（T0）I（Tu（1）>t0）]≤E[e-RU1（T0）I（U1（t0≥0））].由于0≤e-RU1（T0）I（U1（t0）≥0）≤1，根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定理，當(dāng)t0→∞時(shí)U1（t0）→∞，a.s，由勒貝格控制收斂定理，有l(wèi)imt0→∞E[e-RU1（T0）Tu（1）>t0]P（Tu（1）>t0）=0，a.s.因此定理得證.

2.鞅在具有兩類索賠的風(fēng)險(xiǎn)模型破產(chǎn)概率中的應(yīng)用

具有兩類索賠的風(fēng)險(xiǎn)模型U2（t）=u+ct-∑N1（t）i=1Xi-∑N2（t）j=1Yj.記S2（t）=ct-∑N1（t）i=1Xi-∑N2（t）j=1Yj.u是初始資本，ct表示保費(fèi)總額，{N1（t）;t≥0}表示參數(shù)為λ1，ρ的復(fù)合泊松幾何過(guò)程，{N2（t）;t≥0}為λ2的泊松過(guò)程，且{Xi;i≥0}和{Yj;j≥0}是獨(dú)立同分布的.如果{N1（t）;t≥0}，{N2（t）;t≥0}，{Xi;i≥0}，{Yj;j≥0}相互獨(dú)立.定義破產(chǎn)時(shí)刻為Tu（2）=inft≥0U2（t）<0.無(wú)窮時(shí)間破產(chǎn)概率為ψ2（u）=P（inf0

引理2.1 對(duì)于盈利過(guò)程{S2（t）：t≥0}，一定存在函數(shù)g（r），使得E[e-rS2（t）]=etg（r）.

證明 E[e-rS2（t）]=exp[-rc+λ1（MXi（r）-1）1-ρMXi（r）+λ2（MYj（r）-1）]t.

設(shè)g（r）=-rc+λ1（MXi（r）-1）1-ρMXi（r）+λ2（MYj（r）-1），從而引理得證.

定理2.1 在風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程{U2（t）：t≥0}下，無(wú)窮時(shí)間破產(chǎn)概率滿足ψ2（u）≤e-Ru，其中R=supr>0{r：g（r）≤0}.

證明 因?yàn)門u（2）是F停時(shí)，不妨設(shè)t0<∞，易知Tu（2）∧t0是F停時(shí)，由引理及停時(shí)定理有e-ru=Mu（0）=E[Mu（Tu（2）∧t0）]≥E[Mu（Tu（2）∧t0）Tu（2）≤t0]P{Tu（2）≤t0}.因?yàn)閧Tu（2）<∞}，則u+S2（Tu（2））<∞.

故P{Tu（2）≤t0}≤e-rusup0≤t≤t0etg（r）.令t0→∞，得ψ2（u）≤e-rusup0≤t≤t0etg（r）.取R=supr>0{r：g（r）≤0}，則定理得證.

定理2.2 在雙風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程下，R為調(diào)節(jié)系數(shù)，則破產(chǎn)概率為ψ2（u）=e-RuE[exp（-RU2（Tu（2）））Tu（2）<∞].

證明 e-Ru=E[e-RU2（Tu（2））Tu（2）≤t0]P（Tu（2）≤t0）+E[e-RU2（t0）Tu（2）>t0]P（Tu（2）>t0）.

因?yàn)?≤E[e-RU2（t0）Tu（2）>t0]P（Tu（2）>t0）≤E[e-RU2（T0）I（U2（t0≥0））].由于0≤e-RU2（T0）I（U2（t0≥0））≤1，

根據(jù)強(qiáng)大數(shù)定理，當(dāng)t0→∞時(shí)，U2（t0）→∞ a.s，由勒貝格控制收斂定理，

有l(wèi)imt0→∞E[e-RU2（T0）Tu（2）>t0]P（Tu（2）>t0）=0，a.s.因此定理得證.

本文介紹了鞅在破產(chǎn)概率中的兩個(gè)應(yīng)用，事實(shí)上可以對(duì)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行推廣，如可以考慮帶干擾的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程等，對(duì)推廣的風(fēng)險(xiǎn)模型同樣可以利用鞅方法得到Lundberg不等式，由此可見(jiàn)鞅在破產(chǎn)概率中的廣泛應(yīng)用.