數(shù)學(xué)：答題規(guī)范細(xì)節(jié)化

汪鵬 范世兵 余錦銀

應(yīng)對(duì)填空題要注重反思與驗(yàn)算

對(duì)于填空題，常見(jiàn)錯(cuò)誤或不規(guī)范的答卷方式有：字跡不工整、不清晰，字符書(shū)寫不規(guī)范或不正確，分式寫法不規(guī)范，通項(xiàng)和函數(shù)表達(dá)式書(shū)寫不規(guī)范，函數(shù)解析式書(shū)寫正確但未注明定義域，結(jié)果要求寫成集合的未用集合表示，集合的對(duì)象屬性描述不準(zhǔn)確.《考試說(shuō)明》中對(duì)解答填空題提出的要求是“正確、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——運(yùn)算要快，力戒小題大做；穩(wěn)——變形要穩(wěn)，防止操之過(guò)急；全——答案要全，避免對(duì)而不全；活——解題要活，不要生搬硬套；細(xì)——審題要細(xì)，不能粗心大意.

例1 已知全集[S={1，3，x3-x2-2x}]，[A={1，|2x-1|}]， 如果[?SA={0}]，則這樣的實(shí)數(shù)[x]的集合是 .

誤解 甲生：-1，2 乙生：（-1，2） 丙生：{0，-1，2}

正解 {-1，2}

點(diǎn)撥 由于填空題不像選擇題那樣有一個(gè)正確答案供我們校正結(jié)果，因此，對(duì)得出的結(jié)果要注意驗(yàn)算與反思. （1）反思：反思一下表達(dá)形式是否符合數(shù)學(xué)的格式，像甲、乙兩位同學(xué)已經(jīng)求得了[x]的值，但由于書(shū)寫格式不對(duì)，造成丟分.（2）驗(yàn)算：驗(yàn)算一下結(jié)果是否符合題意，注意集合“三性”的檢驗(yàn)，丙同學(xué)沒(méi)有考慮到[x=0]時(shí)，[A={1，1}]違反了元素的互異性原則.

注重表達(dá)式及結(jié)果的化簡(jiǎn)

在答題過(guò)程中，關(guān)鍵語(yǔ)句和關(guān)鍵詞是否答出是多得分的關(guān)鍵，如何答題才更規(guī)范？答題過(guò)程要整潔美觀、邏輯思路清晰、概念表達(dá)準(zhǔn)確、答出關(guān)鍵語(yǔ)句和關(guān)鍵詞.比如要將你的解題過(guò)程轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)，主要靠準(zhǔn)確完整的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，這一點(diǎn)往往被一些考生忽視. 因此，卷面上大量出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)”“對(duì)而不全”的情況.如立體幾何論證中的“跳步”，使很多人丟分；代數(shù)論證中的“以圖代證”，盡管解題思路正確甚至很巧妙，但是由于不善于把“圖形語(yǔ)言”準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為“文字語(yǔ)言”，“心中有數(shù)”卻說(shuō)不清楚，因此得分少.只有重視解題過(guò)程的語(yǔ)言表述，“會(huì)做”的題才能“得分”.對(duì)容易題要詳寫，過(guò)程復(fù)雜的試題要簡(jiǎn)寫，答題時(shí)要會(huì)把握得分點(diǎn).

例2 已知函數(shù)[f（x）=2x-12x.]

（1）若[f（x）=2]，求[x]的值；

（2）若[2t?f（2t）+mf（t）≥0]對(duì)[t∈[1，2]]恒成立，求實(shí)[m]的取值范圍.

誤解 由題意得，

[當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=2x-12-x=2x-2x=0；當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0.]

[∴f（x）=2x-12x， x>0，0， x≤0.]

（1）[∵f（x）=2，∴2x-12x=2，即（2x）2-1=2x+1.]

[∴x=log2（2+1）.]

（2）[2t?f（2t）+mf（t）≥0，]

[∴2t（22t-122t）+m（2t-12t）≥0.即23t-2-t+m?2t-m?2-t≥0，2t（22t+m）-2-t（1+m）≥0.]

正解 （1）[由條件知，2x-12x=2，即22x-2?2x-1=0，]

[解得2x=1±2.∵2x>0，∴x=log2（1+2）.]

（2）當(dāng)[t∈[1，2]]時(shí)，[2t22t-122t+m2t-12t≥0，]

[即m（22t-1）≥-（24t-1）.∵22t-1>0，∴m≥-（22t+1）.∵t∈[1，2]，∴-（1+22t）∈[-17，-5].∴m的取值范圍是[-5，+∞）.]

點(diǎn)撥 （1）解答數(shù)學(xué)題時(shí)，若能及時(shí)對(duì)表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，會(huì)使運(yùn)算過(guò)程變的簡(jiǎn)單且正確率高；反之冗長(zhǎng)的表達(dá)式不僅書(shū)寫麻煩，且會(huì)增加心理上的壓力. 運(yùn)算結(jié)果不注重化簡(jiǎn)更是直接丟分.（2）誤解中，在求[f（x）]解析式時(shí)，當(dāng)[x<0]時(shí)，[f（x）]解析式化簡(jiǎn)不徹底，使進(jìn)一步解答時(shí)顯得邏輯上存在漏洞.（3）對(duì)第二問(wèn)化簡(jiǎn)變形的方向不明確造成變形無(wú)法進(jìn)行，反映出平時(shí)訓(xùn)練時(shí)對(duì)步驟的嚴(yán)謹(jǐn)性要求不夠，對(duì)此類問(wèn)題的通解通法掌握不好.

注重解題步驟的規(guī)范表達(dá)

常見(jiàn)的規(guī)范性問(wèn)題有：（1）解與解集：方程的結(jié)果一般用解表示（除非強(qiáng)調(diào)求解集）；不等式、三角方程的結(jié)果一般用解集（集合或區(qū)間）表示，三角方程的通解中必須加[k∈Z]. 在寫區(qū)間或集合時(shí)，要正確地書(shū)寫圓括號(hào)、方括號(hào)或花括號(hào)，區(qū)間的兩端點(diǎn)之間、集合的元素之間用逗號(hào)隔開(kāi).（2）帶單位的計(jì)算題或應(yīng)用題，最后結(jié)果必須帶單位，特別是應(yīng)用題解題結(jié)束后一定要寫符合題意的“答”.（3）分類討論題，一般要寫綜合性結(jié)論. （4）軌跡問(wèn)題：①注意軌跡與軌跡方程的區(qū)別.軌跡方程一般用普通方程表示，軌跡還需要說(shuō)明圖形情況.②有限制條件的必須注明軌跡中圖形的范圍或軌跡方程中x或y的范圍.

例3 設(shè)函數(shù)[f（x）=xekx （k≠0）].

（1）求曲線[y=f（x）]在點(diǎn)[（0，f（0））]處的切線方程；

（2）求函數(shù)[f（x）]的單調(diào)區(qū)間；

（3）若函數(shù)[f（x）]在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞增，求[k]的取值范圍.

誤解 （1）[f（x）=（1+kx）·ekx，f（0）=1，f（0）=0.]

∴曲線[y=f（x）]在點(diǎn)[（0，f（0））]處的切線方程為[y=x].

（2）由[f（x）=（1+kx）·ekx]=0得，[x=-1k（k≠0）].

①若[k>0]，則當(dāng)[x∈（-∞，-1k）]時(shí)，[f（x）<0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞減；當(dāng)[x∈（-1k]，+∞）時(shí)，[f（x）>0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞增.

②若[k<0]，則當(dāng)[x∈（-∞，-1k）]時(shí)，[f（x）>0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞增；當(dāng)[x∈（-1k，+∞）]時(shí)，[f（x）<0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞減.

（3）若[k>0]，則[-1k]<-1，故[k<1]時(shí)函數(shù)[f（x）]在（-1，1）上單調(diào)遞增.

若[k<0]，則[-1k]>1，故[k>-1]函數(shù)[f（x）]在（-1，1）上單調(diào)遞增.

正解 （1）[f（x）=（1+kx）ekx，f（0）=1，f（0）=0]，

曲線[y=f（x）]在點(diǎn)[（0，f（0））]處的切線方程為[y=x].

（2）由[f（x）=（1+kx）ekx=0]得，[x=-1k（k≠0）].

①若[k>0]，則當(dāng)[x∈-∞，-1k]時(shí)，[f（x）<0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞減；當(dāng)[x∈-1k，+∞]時(shí)，[f（x）>0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞增，

②若[k<0]，則當(dāng)[x∈-∞，-1k]時(shí)，[f（x）>0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞增；當(dāng)[x∈-1k，+∞]時(shí)，[f（x）<0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞減，

綜上所述：當(dāng)[k>0]時(shí)，函數(shù)[f（x）]的增區(qū)間是[-1k，+∞]，減區(qū)間是[-∞，-1k]. 當(dāng)[k<0]時(shí)，函數(shù)[f（x）]的增區(qū)間是[-∞，-1k]，減區(qū)間是[-1k，+∞].

（3）由（2）知，若[k>0]，則當(dāng)且僅當(dāng)[-1k]≤-1，即[k≤1]時(shí)，函數(shù)[f（x）]在（-1，1）上單調(diào)遞增，此時(shí)[0

若[k<0]，則當(dāng)且僅當(dāng)[-1k]≥1，即[k≥-1]時(shí)，函數(shù)[f（x）]在（-1，1）上單調(diào)遞增，此時(shí)[-1≤k<0].

綜上可知，函數(shù)[f（x）]在（-1，1）上單調(diào)遞增時(shí)，[k]的取值范圍是[-1，0）∪（0，1].

點(diǎn)撥 （1）結(jié)論的完備性，答案的準(zhǔn)確性是拿到滿分的關(guān)鍵.（2）第二問(wèn)中，并沒(méi)有回答出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要注意“[f（x）]的增區(qū)間是[（a，b）]”與“[f（x）]在[（a，b）]上是增函數(shù)”的區(qū)別.一般來(lái)說(shuō)，由分類討論得出的結(jié)論，要做匯總說(shuō)明.（3）第三問(wèn)中，一方面不要漏掉區(qū)間的“端點(diǎn)值”；另一方面要與分類范圍取交集.