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    能力提升綜合測試之帶電粒子在電場,磁場中的運(yùn)動

    2015-05-30 10:48:04彭長禮
    關(guān)鍵詞:強(qiáng)磁場細(xì)線滑塊

    彭長禮

    1.如圖1所示,絕緣的水平桌面上方有一豎直方向的矩形區(qū)域,該區(qū)域是由三個邊長均為l的正方形區(qū)域ABFE、BCGF和CDHG首尾相接組成的,且矩形的下邊EH與桌面相接。三個正方形區(qū)域中分別存在方向?yàn)樨Q直向下、豎直向上、豎直向上的勻強(qiáng)電場,其場強(qiáng)大小之比為1:1:2?,F(xiàn)有一帶正電的滑塊以某一初速度從E點(diǎn)射入場區(qū),初速度方向水平向右,滑塊最終恰從D點(diǎn)射出場區(qū)。已知滑塊在ABFE區(qū)域中所受靜電力和重力大小相等,桌面與滑塊間的動摩擦因數(shù)為0.125,重力加速度為g,滑塊可以被視為質(zhì)點(diǎn),求:

    (1)滑塊進(jìn)入CDHG區(qū)域時的速度大小;

    (2)滑塊在ADHE區(qū)域運(yùn)動的總時間。

    2.如圖2所示,一半徑為R的圓表示一柱形區(qū)域的橫截面(紙面),0為圓心。在柱形區(qū)域內(nèi)加一方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場,一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子沿圖中直徑方向從圓上的A點(diǎn)射人柱形區(qū)域,在圓上的D點(diǎn)離開該區(qū)域,已知圖中θ=120°?,F(xiàn)將磁場換為豎直向下的勻強(qiáng)電場,同一粒子以同樣速度沿直徑方向從A點(diǎn)射人柱形區(qū)域,也在D點(diǎn)離開該區(qū)域。若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,不計(jì)重力,試求:

    (1)電場強(qiáng)度E的大小;

    (2)粒子經(jīng)磁場從A點(diǎn)到D點(diǎn)的時間與經(jīng)電場從A點(diǎn)到D點(diǎn)的時間之比。

    3.如圖3所示,在光滑絕緣水平面上放置一帶正電的長直細(xì)棒,其周圍產(chǎn)生垂直于帶電細(xì)棒的輻射狀電場,場強(qiáng)大小E與距細(xì)棒的垂直距離,,成反比,即E=魚。在細(xì)棒右側(cè),有一長為l的絕緣細(xì)線連接了兩個質(zhì)量均為m的帶電小球A和B,小球A、B所帶電荷量分別為+q和+4q,小球A距細(xì)棒的距離也為l,兩小球在外力F=2mg的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)。不計(jì)兩小球之間的靜電力作用。

    (1)求k的值;

    (2)若撤去外力F,求在撤去外力瞬時小球A、B的加速度和小球A、B間絕緣細(xì)線的拉力。

    4.如圖4所示,一個質(zhì)量為m,帶電荷量為+q的粒子在BC邊上的M點(diǎn)以速度口垂直于BC邊飛人正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點(diǎn)(CM=CN)垂直于AC邊飛出三角形ABC,可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋€垂直于紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場。若此磁場僅分布在一個也是正三角形的區(qū)域內(nèi),且不計(jì)粒子的重力。試求: (1)粒子在磁場里運(yùn)動的軌道半徑r及周期T; (2)該粒子在磁場里運(yùn)動的時間£; (3)該正三角形區(qū)域磁場的最小邊長。

    5.如圖5所示,管長為l的豎直光滑絕緣管固定在水平地面上的小車上,管內(nèi)底部有一小球,直徑比管的內(nèi)徑略小,小球質(zhì)量m=0.2g,電荷量q=+8×l0-5C,在邊界PQ右側(cè),管口所在水平面ab的F方存在著垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度B1=15T的勻強(qiáng)磁場,ab面的上方存在著垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度B2=15T的勻強(qiáng)磁場,整個區(qū)域還存在著豎直向上、場強(qiáng)E=25V/m的勻強(qiáng)電場?,F(xiàn)讓小車始終保持v=2m/s的速度勻速向右運(yùn)動,一段時間后,小球運(yùn)動到管口,此時測得小球?qū)軅?cè)壁的彈力N=2.4×10-3N。取g=10m/s2,不計(jì)空氣阻力。求:

    (1)小球剛進(jìn)入磁場B1時的加速度大小a;

    (2)絕緣管的長度l;

    (3)小球離開管后每次經(jīng)過水平面ab時小球距管口的距離△x。

    6.如圖6,在矩形ABCD內(nèi)對角線BD以上的區(qū)域存在有平行于AD向下的勻強(qiáng)電場,對角線BD以下的區(qū)域存在有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(圖中未標(biāo)出),矩形的AD邊長為l,AB邊長為 。一個質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子(不計(jì)重力)以初速度vo從A點(diǎn)沿AB方向進(jìn)入電場,在對角線BD的中點(diǎn)P處進(jìn)入磁場,并從DC邊上的Q點(diǎn)垂直于DC離開磁場,試求:

    (1)電場強(qiáng)度的大??;

    (2)帶電粒子經(jīng)過P點(diǎn)時速度的大小和方向;

    (3)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向。

    7.在xOy平面內(nèi),直線OM與x軸負(fù)方向成45。角,以O(shè)M為邊界的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場如圖7所示,在坐標(biāo)原點(diǎn)0有一不計(jì)重力的粒子,其質(zhì)量和電總路程。

    8.如圖8所示,平行金屬板右側(cè)有一寬度為a的勻強(qiáng)磁場區(qū)域I,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直Ⅱ,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B,方向垂直紙面向外?,F(xiàn)在平行金屬板的正極板處有一帶正電的粒子(粒子重力不計(jì)),質(zhì)量為m、電荷量為q,由靜止開始經(jīng)電場加速后,經(jīng)負(fù)極板狹縫沿z軸方向進(jìn)入磁場。

    (1)當(dāng)加速電壓U=U0時,帶電粒子恰好可以到達(dá)磁場區(qū)域I、Ⅱ的交界處,求加速電壓U0;

    (2)當(dāng)加速電壓U=2U0時,帶電粒子進(jìn)入磁場后經(jīng)過時間t第一次到達(dá)距z軸最遠(yuǎn)處,求運(yùn)動時間t。

    參考答案與提示

    1.設(shè)三個區(qū)域的電場強(qiáng)度大小依次為E、E和2E,滑塊在三個區(qū)域運(yùn)動的時間分別為t1、t2和t3。(1)在CDHG區(qū)域,對滑塊進(jìn)行受力分析,由牛頓第二定律得2qE-mg=ma3,由題意知qE=mg,在水平方向和豎直方向上分別有 ,解得 。(2)在BCGF區(qū)域,對滑塊進(jìn)行受力分析,在豎直方向上有qE=mg,所以滑塊不受摩擦力,做勻速直線運(yùn)動, 。在ABFG區(qū)域,對滑塊進(jìn)行受力分析,在豎直方向上有N=qE+mg,在水平方向上有 解得 當(dāng)滑塊由E點(diǎn)運(yùn)動到F點(diǎn)時,由運(yùn)動學(xué)公式得 ,解得 。由 ,解得 。所以總時間

    2.(1)如圖9所示,加磁場時,粒子從A點(diǎn)到D點(diǎn),有 ,由幾何關(guān)系得 。加電場時,粒子從A點(diǎn)到D點(diǎn),有 ,解得 粒子在磁場中運(yùn)動,由幾何關(guān)系可知,圓心角 ,運(yùn)動周期 ,運(yùn)動時間 。粒子在電場中的運(yùn)動時間 因此 。

    3.(1)由小球A、B及細(xì)線組成的整體受力平衡,得 ,解得 。(2)若撤去外力瞬時,小球A、B間細(xì)線的拉力突然變?yōu)榱悖瑒t對小球A有 ,解得 ,方向向右;對小球B有 ,解得 ,方向向右。因?yàn)橐?所以在撤去外力瞬時,絕緣細(xì)線立刻張緊,使得小球A、B以相同的加速度a-起向右運(yùn)動,設(shè)細(xì)線的拉力為T。則對由小球A、B組成的整體,由牛頓第二定律得 ,解得 ;對小球A有 ,解得 。因此在撤去外力瞬時,小球A、B的加速度 ,小球A、B間細(xì)線的拉力 。 4.(1)由 和 ,解得 。(2)由題意可知,粒子剛進(jìn)入磁場時應(yīng)該先向左偏轉(zhuǎn),不可能直接在磁場中由M點(diǎn)做圓周運(yùn)動到N點(diǎn),當(dāng)粒子剛進(jìn)入磁場和剛離開磁場時,其速度方向應(yīng)該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑,如圖10作出圓O,粒子的運(yùn)動軌跡為弧GDEF,圓弧在G點(diǎn)與初速度方向相切,在F點(diǎn)與出射速度相切。畫出三角形abc,其與圓弧在D、E兩點(diǎn)相切,并與圓O交于F、G兩點(diǎn),此為符合題意的最小磁場區(qū)域。由數(shù)學(xué)知識知∠FOG=60°,所以粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角為300°,運(yùn)動

    太空電梯這個概念最早來自100年前,著名的火箭科學(xué)先驅(qū)者齊奧爾科夫斯基設(shè)想了一個建立在巨塔頂端的“天空城堡”。的時間 。(3)連接a0并延長與bc交于H點(diǎn),由圖知 ,所以

    5.(1)以小球?yàn)檠芯繉ο螅谪Q直方向上受重力、靜電力和恒定的洛倫茲力,則 ,解得 。(2)小球在管中時沿豎直方向做勻加速直線運(yùn)動,當(dāng)小球運(yùn)動到管口時有N-2.4×10-3N,設(shè)V1為小球的豎直分速度,在水平方向上 ,解得 ,在豎直方向上有 ,解得 (3)小球離開管口進(jìn)入電場和磁場的共存域,其中qE=mg=2×10-3N,即靜電力與重力平衡,小球做勻速圓周運(yùn)動,合速度 與水平面ab成45。角,軌道半徑為R,如圖11所示, ,解得 。從小球離開管口開始計(jì)時,到再次經(jīng)過水

    圖11平面ab所通過的水平距離 ,對應(yīng)時間 ,時間t內(nèi)小車運(yùn)動的距離 。因此 。

    6.(1)帶電粒子受靜電力作用做類平拋運(yùn)動,則 ,解得 。(2)帶電粒子在豎直方向上做勻變速運(yùn)動,設(shè)粒子到P點(diǎn)時在y軸方向上的分速度為 ,則2a. ,解得 ,合速度 ,速度與水平方向間的夾角 滿足 。(3)如圖12所示,BD與水平方向間的夾角滿足 ,則 ,即 上BD,因此粒子在磁場中運(yùn)動軌跡的圓心就在D點(diǎn), ,由

    ,解得 ,方向垂直紙面向外。

    7.(1)如圖13所示,粒子進(jìn)入磁場,根據(jù)左手定則知,粒子做 圓周的圓周運(yùn)動后經(jīng)過OM,根據(jù)洛倫茲力提供向心力得qv。 ,解得R=lm,故粒子第一次經(jīng)過OM時的坐標(biāo)為(-1m,1m)。(2)粒子第二次進(jìn)入磁場時,速度大小不變,則粒子在磁場中運(yùn)動的半徑也為R,第二次進(jìn)入電場時到z軸的高度為2R。根據(jù)動能定理得 ,故粒子第二次到達(dá)x軸時的動能 。

    (3)因?yàn)榱W拥诙芜M(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動,所以第二次到達(dá)x軸時的水平分速度為 在豎直方向上有 解得 。從類平拋開始,粒子第一次到達(dá)最高點(diǎn)離x軸的豎直高度 ,第二次到達(dá)最高點(diǎn)離z軸的豎直高度 第,z次到達(dá)最高點(diǎn)離x軸的豎直高度 。因此粒子在電場中運(yùn)動在豎直方向上通過的總路程 。

    8.(1)設(shè)粒子進(jìn)入磁場時的速度為v,當(dāng)粒子在磁場中的圓周運(yùn)動半徑為a時,恰好可以到達(dá)磁場區(qū)域工、Ⅱ的交界處,則 ,解得 。(2)帶電粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖14,C、C'為圓心。當(dāng)U=2U0時,設(shè)粒子的軌道半徑為R,由(1)中的比例關(guān)系知 ,解得 。因此由幾何知識得粒子運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角之和 ,又有粒子的運(yùn)動周期 ,所以 。

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