數(shù)學(xué)解題的6個(gè)切入點(diǎn)

葛秀華

求解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確快速地找到一個(gè)容易攻克的突破口， 以此作為解題的切入點(diǎn)，由點(diǎn)及面，逐步解決所有問題.這需要在分析題目的已知條件和所求問題特征的基礎(chǔ)上，正確尋找一個(gè)切入點(diǎn)，那么，如何尋找解題的切入點(diǎn)呢？本文通過實(shí)例，談?wù)勅绾斡行У貙ふ医忸}的切入點(diǎn).

看條件——追根究底挖隱含

條件是題目構(gòu)成的主要部分，也是我們解題的主要依據(jù)，所以要仔細(xì)閱讀題目，理解題意，明確題目給出了什么條件、包含什么隱含信息，這些條件與所解決的問題之間有什么關(guān)系，然后充分利用條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，挖掘條件的內(nèi)涵與隱含信息，并進(jìn)行合理的推測(cè)與分析、轉(zhuǎn)化，從而找到解題的切入點(diǎn).

例1 已知函數(shù)[f（x）=22x+1+sinx]，則[f（-2）+][f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）=] .

解析 因?yàn)閇f（x）=22x+1+sinx]，

所以[f（-x）=22-x+1-sinx=2?2x2x+1-sinx]，

故[f（x）+f（-x）=2].

則有[f（2）+f（-2）=2，f（1）+f（-1）=2].

而[f0=220+1+sin0=1]，

所以[f（-2）+][f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）=5].

答案 5

點(diǎn)撥 通過已知條件找到[f（-x）]，進(jìn)而得到[f（x）+f（-x）][=2]，抓住這一切入點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.這恰恰就是同學(xué)們很難取得突破的關(guān)鍵之處.

看結(jié)論——等價(jià)轉(zhuǎn)換尋方案

結(jié)論是解題的歸宿，審視題目結(jié)論，思考問題就有了目標(biāo)，解題就有了方向.解題時(shí)利用所學(xué)知識(shí)找尋條件與結(jié)論的聯(lián)系.

例2 已知函數(shù)[f（x）=12x2+alnx].

（1）若[a=-1]，求[f（x）]的極值，并指出是極大值還是極小值；

（2）若[a=1]，求[f（x）]在[[1，e]]上的最大值和最小值；

（3）若[a=1]，求證：在[[1，+∞）]上，[f（x）]的圖象在函數(shù)[g（x）=23x3]的圖象的下方.

分析 求函數(shù)[f（x）]的極值[→]求導(dǎo)函數(shù)[f（x）=0]的解，即函數(shù)[f（x）]的極值點(diǎn)[→]將極值點(diǎn)代入[f（x）]求對(duì)應(yīng)的極值[→]求[f（x）]在[[1，e]]上的單調(diào)性[→]比較端點(diǎn)值、極值，確定函數(shù)[f（x）]的最值[→]構(gòu)造新函數(shù)[F（x）=f（x）-g（x）][→]研究函數(shù)[F（x）]在[（1，+∞）]上的單調(diào)性.

解 （1）由于函數(shù)[f（x）]的定義域?yàn)閇（0，+∞）]，

當(dāng)[a=-1]時(shí)， [f（x）=x-1x=（x-1）（x+1）x].

令[f（x）=0]得[x=1]或[x=-1]（舍）.

當(dāng)[x∈（0，1）]時(shí) ， [f（x）<0]，即函數(shù)[f（x）]在（0，1）上單調(diào)遞減.

當(dāng)[x∈（1，+∞）]上， [f（x）>0]，即函數(shù)[f（x）]在[（1，+∞）]上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)[x=1]時(shí)，[f（x）]取極小值，極小值為[f（1）=12]，無極大值.

（2）當(dāng)[a=1]時(shí)，函數(shù)[f（x）]在[[1，e]]上為增函數(shù)，

[∴f（x）min=f（1）=12，f（x）max=f（e）=e2+22].

（3）設(shè)[F（x）=f（x）-g（x）=12x2+lnx-23x3]，

則[F（x）=x+1x-2x2=（1-x）（1+x+2x2）x].

當(dāng)[x∈（1，+∞）]時(shí)，[F（x）<0]，故函數(shù)[F（x）]在[（1，+∞）]上是減函數(shù)且[F（1）=-16<0]，

故在[（1，+∞）]上，函數(shù)[F（x）<0]恒成立，即[f（x）

所以在[[1，+∞）]上，函數(shù)[f（x）]的圖象在函數(shù)[g（x）=23x3]的圖象的下方.

點(diǎn)撥 （1）導(dǎo)數(shù)法是求解函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、參數(shù)等問題的有效方法，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是求不等式的解集. 最值問題關(guān)鍵在于比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小. 參數(shù)問題涉及的最值恒成立問題、單調(diào)性的逆向應(yīng)用等，求解時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用.（2）對(duì)于一些復(fù)雜問題，要善于將問題轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成熟知的導(dǎo)數(shù)來研究.

看數(shù)據(jù)——根據(jù)數(shù)值找聯(lián)系

數(shù)據(jù)是數(shù)學(xué)運(yùn)算中最基本的單元，數(shù)據(jù)之間的關(guān)系往往能暗示解題的方向，審視數(shù)據(jù)要善于觀察、分析數(shù)據(jù)，從它們之間的關(guān)系中去尋找解題的思路.

例3 求值：[cos20°cos35°1-sin20°=]（ ）

A. 1 B. [2]

C.[2] D.[3]

分析 先利用二倍角的正、余弦公式把[cos20°]以及[1-sin20°]轉(zhuǎn)化，再利用輔助角公式與誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.

解 [cos20°cos35°1-sin20°=cos210°-sin210°cos35°1-2sin10°cos10°]

[=cos210°-sin210°cos35°（cos10°-sin10°）=cos10°+sin10°cos35°]

[=222cos10°+22sin10°cos35°]

[=2sin55°sin55°=2].

答案 C

點(diǎn)撥 本題重點(diǎn)考查兩角和與差的三角公式、角的靈活拆分、二倍角公式的運(yùn)用.靈活運(yùn)用數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，尋找各角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

看結(jié)構(gòu)——特殊結(jié)構(gòu)助解題

數(shù)學(xué)問題中的條件和結(jié)論，很多都是以代數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行搭配和呈現(xiàn)的.在這些問題的數(shù)式結(jié)構(gòu)中，往往都隱含著某種特殊關(guān)系，認(rèn)真審視數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)數(shù)式結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入分析，加工轉(zhuǎn)化，可以尋找到解決問題的切入點(diǎn).

例4 已知數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和是[Sn]，[Sn=2an-1][n∈N*].

（1）求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列[bn]滿足[bn=2n?an]，求數(shù)列[bn]的前[n]項(xiàng)和[Tn]；

（3）若數(shù)列[cn]滿足[cn=3n+2-1n-1?λ?an]（[λ]為非零常數(shù)），確定[λ]的取值范圍，使[n∈N*]時(shí)，都有[cn+1>cn].

解析 （1）當(dāng)[n=1]時(shí)，[a1=S1=2a1-1，∴a1=1].

又[Sn+1=2an+1-1]與原式兩邊分別相減得，

[an+1=2an+1-2an，即an+1=2an].

所以數(shù)列[an]是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

則[an=2n-1].

（2）因?yàn)閇bn=2nan=n?2n]，

所以[Tn=2+2?22+3?23+…+n?2n，]

[2Tn=22+2?23+3?24+…+n?2n+1]，

兩式相減得[-Tn=2+22+23+…+2n-n?2n+1]

[=2-2n+11-2-n?2n+1=1-n?2n+1-2]，

所以[Tn=n-1?2n+1+2].

（3）∵[cn=3n+2?（-1）n+1?λ?2n-1][=3n+（-1）n+1?λ?2n]，

∴[cn+1>cn]，

即[3n+1+（-1）n+2?λ?2n+1>][3n+（-1）n+1?λ?2n].

即[3n+1-3n+（-1）n?λ?2n+1+（-1）n?λ?2n>0]，

即[2?3n+（-1）n?3λ?2n>0].

∴[（-1）n?λ>][-2?3n3?2n]，即[（-1）n?λ>][-（32）n-1].

當(dāng)[n]為偶數(shù)時(shí)，[-（32）n-1≤][-32]，∴[λ>-32].

當(dāng)[n]為奇數(shù)時(shí)，[-（32）n-1≤][-1]，∴[-λ>-1]，即[λ<1].

又∵[λ≠0].

∴[-32<λ<1]且[λ≠0].

點(diǎn)撥 一般遇到數(shù)列的前[n]項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系時(shí)，通常先轉(zhuǎn)化為單一的通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系再進(jìn)行解答. 對(duì)于數(shù)列求和問題，常從通項(xiàng)公式特征判斷求和思路.

看圖象——數(shù)形結(jié)合探思路

圖象是數(shù)學(xué)問題的幾何形式，審視圖象要把握?qǐng)D象的本質(zhì)特征，或賦予問題中的某些代數(shù)關(guān)系以幾何意義，借助圖象作出分析，從而提供解題途徑.

例5 設(shè)平面點(diǎn)集[A={（x，y）|（y-x）（y-1x）≥0}，][B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}]，則[A?B]所表示的平面圖形的面積為 .

分析 由題意知，集合[A，B]具有幾何特征，可先作出集合A、集合B對(duì)應(yīng)的圖象，利用圖象進(jìn)行分析.

解 由[（y-x）（y-1x）≥0]可知，

[y-x≥0，y-1x≥0，]或[y-x≤0，y-1x≤0.]

在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)集合所表示的平面區(qū)域（如圖）.

由圖象可知，[A?B]對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)殛幱安糠?

根據(jù)對(duì)稱性可知，兩部分陰影面積之和為圓面積的一半，所以面積為[π2].

點(diǎn)撥 突破本題的關(guān)鍵是，要抓住圖象的特點(diǎn)，根據(jù)圖象分析，則可快速解答.

看特征——類比聯(lián)想定方法

要善于抓住題目中數(shù)、式子的關(guān)鍵特征進(jìn)行聯(lián)想，“是否做過一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且已解決過的問題”、“如何把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題”、“課本上的習(xí)題或往年高考題是否有類似的影子”.通過聯(lián)想，確定解題的思路和方法.

例6 函數(shù)[f（x）=x-1-alnx（a<0），]且[?x1，x2∈（0，1]，]都有[|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|]，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍.

分析 對(duì)條件中的數(shù)學(xué)式子[|f（x1）-f（x2）|][≤4|1x1][-1x2|]如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵. 難點(diǎn)是式子中含有絕對(duì)值符號(hào)，聯(lián)想我們已經(jīng)熟悉的變形，[|f（x1）-f（x2）|≤][f（x）max-f（x）min]，但不等式右邊是含變量[x1，x2]的式子，至此思路受阻.那么如何調(diào)整呢？關(guān)鍵是先去掉絕對(duì)值符號(hào)再想辦法轉(zhuǎn)化.

解 由[x1，x2]的對(duì)稱性，不妨設(shè)[0

而函數(shù)[y=1x]在[（0，1]]上是減函數(shù)，

則[|f（x1）-f（x2）|=f（x2）-f（x1）]，[|1x1-1x2|=1x1-1x2]，

所以[|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|]

[?f（x2）-f（x1）≤4（1x1-1x2）].

整理得，[f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1].

構(gòu)造函數(shù)[h（x）=f（x）+4x≤x-1-alnx+4x] ，

則[|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|?]函數(shù)[h（x）]在[x∈（0，1]]上是減函數(shù).

[∴h（x）=1-ax-4x2=x2-ax-4x2≤0]在[x∈（0，1]]上恒成立，即[a≥x-4x]在[x∈（0，1]]上恒成立，即[a≥-3].

又[a<0]，所以[a∈[-3，0）].

點(diǎn)撥 本題的關(guān)鍵是[|f（x1）-f（x2）|≤4|1x1-1x2|][?f（x2）-f（x1）≤4（1x1-1x2）][?f（x2）+4x2|≤f（x1）+4x1?]函數(shù)[h（x）]在[x∈（0，1]]是減函數(shù).