二元一次方程的整數(shù)解

黃細把

學(xué)習了二元一次方程后，我們知道，二元一次方程的解有無數(shù)個.但是，我們在解決日常生活中的實際問題時，列出的二元一次方程，往往具有有限個整數(shù)解.

例1 （2014年衡陽）某班組織活動，班委會準備把15元錢全部用來購買筆記本和中性筆兩種獎品，已知筆記本2元/本，中性筆1元/支，且每種獎品都要有.有多少種購買方案？請列舉所有可能的方案.

分析：要確定有幾種購買方案，只需確定符合條件的購買筆記本和中性筆的情況有幾種.

解：設(shè)應(yīng)購買筆記本x本，中性筆y支.依題意，得2x+y=15，即y=15-2x.

由題意知x、y都是正整數(shù)，所以x=1時，y=13；x=2時，y=ll；x=3時，y=9；x=4時，y=7；x=5時，y=5；x=6時，y=3；x=7日寸，y=l.

故符合條件的購買方案有7種，它們分別是：購買筆記本1本，中性筆13支；購買筆記本2本，中性筆11支；購買筆記本3本，中性筆9支；購買筆記本4本，中性筆7支；購買筆記本5本，中性筆5支；購買筆記本6本，中性筆3支：購買筆記本7本，中性筆1支.

說明：本題中購買的是筆記本和中性筆兩種獎品，x、y都是正整數(shù).

例2（2013年黃石）四川雅安地震期間，為了緊急安置60名災(zāi)民，需要搭建可容納6人或4人的帳篷.若所搭建的帳篷恰好（即不多不少）能容納這60名災(zāi)民，則不同的搭建方案有（）.

A.4種

B.6種

C.9種

D.11種

分析：要確定有幾種搭建方案，只需確定符合條件的搭建可容納6人或4人的帳篷的情況有幾種.

解：設(shè)搭建容納6人的帳篷x頂，容納4人的帳篷y頂，依題意，得6x+4y=60.

故符合要求的搭建方案有6種，一是搭建容納6人的帳篷O頂，容納4人的帳篷15頂：二是搭建容納6人的帳篷2頂，容納4人的帳篷12頂；三是搭建容納6人的帳篷4頂，容納4人的帳篷9頂：四是搭建容納6人的帳篷6頂，容納4人的帳篷6頂：五是搭建容納6人的帳篷8頂，容納4人的帳篷3頂：六是搭建容納6人的帳篷10頂，容納4人的帳篷0頂，應(yīng)選B.

說明：本題中搭建的帳篷可以全是容納6人的帳篷，也可以全是容納4人的帳篷，還可以是既有容納6人的帳篷，又有容納4人的帳篷.

例3（2014年龍東）學(xué)校舉行足球聯(lián)賽，共賽17輪（即每隊均需參賽17場）.記分辦法是：勝l場得3分，平1場得1分，負1場得0分，在這次足球比賽中，小虎所在足球隊得16分，且踢平場數(shù)是所負場數(shù)的整數(shù)倍，則小虎所在足球隊所負場數(shù)的情況有（）.

A.2種

B.3種

C.4種

D.5種

分析：要確定小虎所在足球隊所負場數(shù)的情況有幾種，只需確定小虎所在足球隊所負場數(shù)和踢平場數(shù)有幾種符合條件的情況.

說明：本題中小虎所在足球隊不可能全勝，根據(jù)踢平場數(shù)是所負場數(shù)的整數(shù)倍，且x、y都是正整數(shù)即可得解.

1.（2014年齊齊哈爾）將一張面值100元的人民幣，兌換成10元或20元的零錢，兌換方案有（）.

A.6種 B.7種 C.8種 D.9種

2.（2013年綏化）某班組織20名同學(xué)去春游，同時租用兩種型號的車輛，一種車每輛有8個座位，另一種車每輛有4個座位，要求租用的車輛不留空座，也不能超載，則有____種租車方案.

參考答案

1.A 2.2