耐人尋味的“余數(shù)”

蘇春峰

摘 要：“余數(shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，“到底余多少？”“連除式題中不同算法余數(shù)還一樣嗎？”可能并不是每個(gè)人都很清楚，這就需要深刻理解“余數(shù)”的概念，挖掘其內(nèi)涵，了解其性質(zhì)，才能真正揭開“余數(shù)”那神秘的面紗。

關(guān)鍵詞：概念本質(zhì)；余數(shù)；除數(shù)；性質(zhì)

新改版的人教課標(biāo)版五年級(jí)上第三單元在學(xué)習(xí)了用四舍五入法求商的近似值后，安排了例10（1）小強(qiáng)的媽媽要將2.5kg香油分裝在一些玻璃瓶里，每個(gè)瓶子最多可裝0.4kg。需要準(zhǔn)備幾個(gè)瓶子？（2）王阿姨用一根25m長(zhǎng)的紅絲帶包裝禮盒。每個(gè)禮盒要用1.5m長(zhǎng)的絲帶，這些紅絲帶可以包裝多少個(gè)禮盒？根據(jù)生活需要，一道題用“進(jìn)一法”求近似值，一道題用“去尾法”求近似值。教學(xué)中首先要讓學(xué)生清楚這兩種方法與“四舍五入”的區(qū)別，第（1）小題多數(shù)學(xué)生都會(huì)列式計(jì)算：2.5÷0.4=6.25（個(gè)），有些學(xué)生知道6個(gè)不夠用，用6+1=7（個(gè)），有些學(xué)生約等于6個(gè)，有些學(xué)生就等于6.25個(gè)。這時(shí)可展開討論，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)哪種答案正確，為什么，最終大家都能理解6個(gè)瓶子不夠裝，剩下的油不能扔掉，所以需要多準(zhǔn)備一個(gè)瓶子。但剩下多少油呢？部分學(xué)生比較困惑，有些學(xué)生認(rèn)為剩下0.25千克的油，如何讓學(xué)生理解到底剩多少油呢？我認(rèn)為可以用以下兩種方法：

一種方法可以讓學(xué)生算算6個(gè)瓶子能裝多少kg的油，用6×0.4=2.4kg，再用2.5-2.4=0.1kg。另一種可以借助學(xué)生剛才的除法算式，觀察 余下的0.1才是香油的重量，而不是余下的

0.25kg。同樣的方法第（2）小題中，25÷1.5=16.666…的含義是不夠17個(gè)包裝盒，到底余下多少紅絲帶可以模仿第（1）小題求得。

余數(shù)給學(xué)生帶來(lái)的困惑還不止這些，這不禁讓我想起在蘇州大學(xué)培訓(xùn)時(shí)徐文斌教授給我們講的一道有余數(shù)的問題：在教授三年級(jí)下冊(cè)“除法”練習(xí)課時(shí)，補(bǔ)充了“612÷2÷4”一題。同學(xué)們的解題方法歸納起來(lái)有以下三種：

[解法一] 612÷2÷4=306÷4=76……2

[解法二] 612÷2÷4=612÷8=76……4

[解法三] 612÷2÷4=153÷2=76……1

同樣一道題，為什么會(huì)有不同答案呢？我一時(shí)茫然，按說(shuō)只是不同的解題方法，答案應(yīng)該是一樣的呀，為什么會(huì)出現(xiàn)余數(shù)不同的結(jié)果呢？以前似乎沒有遇到過(guò)類似問題，也沒有認(rèn)真思考過(guò)，聽徐文斌教授講完才知道，余數(shù)是相對(duì)于除數(shù)而言的，這三個(gè)算式余數(shù)都是除數(shù)的一半，化成分?jǐn)?shù)都是1/2，或小數(shù)0.5，其實(shí)結(jié)果相同，只是表達(dá)形式不同而已。如果改成應(yīng)用題可以更好地幫學(xué)生理解余數(shù)的意義。612個(gè)同學(xué)，按三個(gè)算式的分法來(lái)分，最后余幾人是否相同呢？按第一種分法，先平均分成2大組，每組再平均分成4小組，每大組余2人，2大組共余4人。而按照第二種分法，直接分成8組，共余4人。按照第三種分法，先平均分成4大組，每一大組再平均分成2小組時(shí)都余1人，4大組共余4人?？磥?lái)總共余4是一樣的。關(guān)鍵是要分清余數(shù)是相對(duì)除數(shù)幾而言的，這點(diǎn)非常重要，我們?cè)俳虒W(xué)有關(guān)余數(shù)問題時(shí)應(yīng)引起老師們的注意，除了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“余數(shù)比除數(shù)小”以外，還應(yīng)該讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這樣一個(gè)問題，余數(shù)與相應(yīng)的除數(shù)有關(guān)，余數(shù)隨著除數(shù)的變化而變化，讓學(xué)生真正理解余數(shù)的本質(zhì)。

余數(shù)問題在小學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要且應(yīng)用廣泛，余數(shù)有如下一些重要性質(zhì)需要我們了解：（其中a，b，c均為自然數(shù)）

（1）余數(shù)小于除數(shù)。

（2）被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)；除數(shù)=（被除數(shù)-余數(shù)）÷商；商=（被除數(shù)-余數(shù)）÷除數(shù)。

（3）如果a，b除以c的余數(shù)相同，那么a與b的差能被c整除。例如，20與14除以3的余數(shù)都是2，所以20-14能被3整除。

（4）a與b的和除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之和（或這個(gè)和除以c的余數(shù)）。例如，28，21除以5的余數(shù)分別是3和1，所以（28+21）除以5的余數(shù)等于3+1=4。注意：當(dāng)余數(shù)之和大于除數(shù)時(shí)，所求余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如，28，24除以5的余數(shù)分別是3和4，所以（28+24）除以5的余數(shù)等于（3+4）除以5的余數(shù)。

（5）a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之積（或這個(gè)積除以c的余數(shù)）。例如，28，21除以5的余數(shù)分別是3和1，所以（28×21）除以5的余數(shù)等于3×1=3。注意：當(dāng)余數(shù)之積大于除數(shù)時(shí)，所求余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如，28，24除以5的余數(shù)分別是3和4，所以（28×24）除以5的余數(shù)等于（3×4）除以5的余數(shù)。

運(yùn)用這些性質(zhì)，可以巧解很多題目，下面我僅舉三道實(shí)例：

例1.5122除以一個(gè)兩位數(shù)得到的余數(shù)是66，求這個(gè)兩位數(shù)。

分析與解：由性質(zhì)（2）知，除數(shù)×商=被除數(shù)-余數(shù)。5122-66=5056，5056應(yīng)是除數(shù)的整數(shù)倍。將5056分解質(zhì)因數(shù)，得到5056=26×79。由性質(zhì)（1）知，除數(shù)應(yīng)大于66，再由除數(shù)是兩位數(shù)，得到除數(shù)在67～99之間，符合題意的5056的約數(shù)只有79，所以這個(gè)兩位數(shù)是79。

例2.有一個(gè)整數(shù)，用它去除70，110，160得到的三個(gè)余數(shù)之和是50。求這個(gè)數(shù)。

分析與解：先由題目條件，求出這個(gè)數(shù)的大致范圍。因?yàn)?0÷3=16……2，所以三個(gè)余數(shù)中至少有一個(gè)大于16，推知除數(shù)大于16。由三個(gè)余數(shù)之和是50知，除數(shù)不應(yīng)大于70，所以除數(shù)在17～70之間。由題意知（7+110+160）-50=290應(yīng)能被這個(gè)數(shù)整除。將290分解質(zhì)因數(shù)，得到290=2×5×29，290在17～70之間的約數(shù)有29和58。因?yàn)?10÷58=1……52>50，所以58不合題意。所求整數(shù)是29。

例3.求478×296×351除以17的余數(shù)。

分析與解：先求出乘積再求余數(shù)，計(jì)算量較大。根據(jù)性質(zhì)（5），可先分別計(jì)算出各因數(shù)除以17的余數(shù)，再求余數(shù)之積除以17的余數(shù)。478，296，351除以17的余數(shù)分別為2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。所求余數(shù)是1。

由此可見，“余數(shù)”知識(shí)可以拓展思路，幫助我們思考解題。深刻理解“余數(shù)”概念的內(nèi)涵，探究問題本質(zhì)，我們?nèi)沃囟肋h(yuǎn)！真是小小知識(shí)點(diǎn)，蘊(yùn)含大學(xué)問??！

參考文獻(xiàn)：

閆銀夫.自主學(xué)習(xí)與創(chuàng)新教育.人民日?qǐng)?bào)出版社，2011-03.