噪聲擴(kuò)散過程數(shù)值分析

摘要：采用常微分方程建立了一種以個(gè)體交流為傳播方式的泄漏式噪聲在種群間擴(kuò)散的過程方程。模型揭示了傳播噪聲的種群人數(shù)變化的兩個(gè)特征和峰值到達(dá)時(shí)間。最后用MATLAB模擬了模型中各參數(shù)變化對種群演化的影響。初始傳播者、傳播能力、未知情者學(xué)習(xí)能力與傳播者人數(shù)的峰值成正相關(guān)，傳播終止率與峰值成負(fù)相關(guān)。初始傳播者越多、傳播能力越強(qiáng)，傳播高峰來得越早。同時(shí)傳播終止率和未知情者學(xué)習(xí)能力對傳播高峰到達(dá)時(shí)間影響不大。

關(guān)鍵詞：噪聲擴(kuò)散 數(shù)值模型

1 噪聲擴(kuò)散方式

關(guān)于噪聲的擴(kuò)散方式，可以借由信息傳播進(jìn)行描述，因?yàn)樾畔⒑驮肼暤纳蠈痈拍疃际窍?，二者的傳播方式非常相近?/p>

基于非確定信息網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的研究，非確定性網(wǎng)絡(luò)是指個(gè)體間通過隨機(jī)碰撞傳遞信息。非確定性信息網(wǎng)絡(luò)刻畫了金融系統(tǒng)信息傳播的非同時(shí)性、異質(zhì)性。Cont和Bouchaud （2000）提出了基于完全隨機(jī)碰撞交互的金融系統(tǒng)信息傳播模型。該模型的優(yōu)點(diǎn)是和真實(shí)金融系統(tǒng)的情況非常接近，個(gè)體無需任何關(guān)于整個(gè)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)信息就可以進(jìn)行決策。模型較好地刻畫了群體性從眾行為從形成、演化、消失的動態(tài)規(guī)律。應(yīng)尚軍等（2001，2003）[1][2]、楊春霞等（2005）[3]改進(jìn)了個(gè)體間交互的規(guī)則，通過多種信息傳播模型的構(gòu)建，刻畫了信息傳播的途徑、速度、范圍等動態(tài)特征，還模擬了價(jià)格泡沫的形成和破滅。

基于特定復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究。這類研究的思路是由研究者根據(jù)其對金融市場的觀察與理解，指定金融系統(tǒng)遵循小世界網(wǎng)絡(luò)或無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模式，進(jìn)而探索復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)演化特征及其對資產(chǎn)價(jià)格的影響。Hein和Schwind （2008）等研究了基于小世界網(wǎng)絡(luò)的股市信息交互結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)了個(gè)體數(shù)量和信息交互強(qiáng)度的變化將影響價(jià)格形成過程。陳彥錕（2010）[4]基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)建立的信息傳播結(jié)構(gòu)，研究了泡沫的形成與崩饋的條件。

此外，林俊波（2005）[5]借用Shannon的無線電信號傳遞原理模型，界定證券市場的信源、信道和信宿，構(gòu)建了證券市場信息傳遞模型，比較全面而抽象地概括了證券市場信息擴(kuò)散過程。

鄧憶瑞（2008）[6]借用物理學(xué)中“場”的概念，建立了信息擴(kuò)散場，基于場論，采用邏輯推理和數(shù)學(xué)分析相結(jié)合的方法，構(gòu)建并求解信息擴(kuò)散場的擴(kuò)散狀態(tài)模型，將信息擴(kuò)散機(jī)理用“場”語言描述出來，并利用馬氏漂移鏈原理建立信息時(shí)空擴(kuò)散模型，描述了信息擴(kuò)散的時(shí)間擴(kuò)展規(guī)律與空間分布特征，并利用計(jì)算機(jī)對模型進(jìn)行了模擬。

宋逢明等（2002）[7]對中國股票市場的收益率與交易量進(jìn)行大量實(shí)證研究的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了中國股票市場區(qū)別于成熟資本市場的特殊信息傳導(dǎo)模型，并驗(yàn)證了模型的適用性，還發(fā)現(xiàn)不同類型股票的投資者的構(gòu)成不同，其信息傳導(dǎo)結(jié)構(gòu)也不同。

吳忠群（2011）描述了兩種特殊的信息模式，泄漏式和爆炸式。信息以漸次傳遞方式被個(gè)體獲知稱為“泄漏式”，信息瞬間擴(kuò)散到每一個(gè)系統(tǒng)中每個(gè)個(gè)體稱為“爆炸式”。信息的傳播途徑也可分為通過媒體披露和通過個(gè)人交流。這樣，不同傳播速度和傳播途徑交織組合在一起，構(gòu)成信息傳播方式的多樣性。

Kosfeld（2004）[8]用數(shù)理推導(dǎo)呈現(xiàn)了一個(gè)關(guān)于謠言對市場影響的模型，為其他關(guān)于謠言和資產(chǎn)價(jià)格的實(shí)證提供理論分析基礎(chǔ)。模型中個(gè)體通過與周圍鄰居進(jìn)行交流產(chǎn)生了謠言傳播的可能。推導(dǎo)的結(jié)果顯示，謠言最終消失，長期均衡價(jià)格等于謠言前價(jià)格；如果謠言仍存在，會造成與謠言有關(guān)資產(chǎn)的價(jià)格上升。

林春燕和朱東華（2005）[9]從股市內(nèi)部信息傳播如何影響股價(jià)的波動和交易量變化為研究角度，建立常微分方程組描述了在未知情者不具備學(xué)習(xí)能力的情況下，信息自身傳播過程，并預(yù)測傳播高峰，分析其過程中股票交易量的變化情況。該模型證明了兩個(gè)定理：一是傳播信息的投資者人數(shù)先單調(diào)增加，然后單調(diào)減少并趨于零；而是總有一部分人在信息公布前無法得知內(nèi)部消息。

2 噪聲的擴(kuò)散過程建模

股市噪聲從噪聲源產(chǎn)生以后總是要流動的，不存在靜止?fàn)顟B(tài)的噪聲。所謂噪聲流動也就是噪聲的擴(kuò)散，而噪聲擴(kuò)散又可稱為噪聲的傳遞，是指噪聲從噪聲源產(chǎn)生以后，經(jīng)過傳遞渠道送達(dá)給信息的全部活動過程。

股市噪聲擴(kuò)散依據(jù)傳播速度分類可分為兩種特殊形式，泄漏式和爆炸式。泄漏式代表信息是以漸次傳遞方式被公眾獲知的，爆炸式代表信息是瞬間擴(kuò)散到每一個(gè)受眾的；依據(jù)傳播途徑分類可分為，通過媒體披露以及個(gè)人之間交流。不同傳播速度和傳播途徑交織組合在一起，可以構(gòu)成信息傳播方式的多樣性。

本章重點(diǎn)研究以“泄漏式”為傳播方式和以“個(gè)人交流”為傳播途徑的噪聲的擴(kuò)散過程。此類噪聲是以“人”為載體進(jìn)行傳播的。每個(gè)傳播者只通過周圍有限個(gè)人漸次將噪聲擴(kuò)散出去。本章將建立模型，研究噪聲傳播者的變化規(guī)律來說明此類股市噪聲的擴(kuò)散特征，可以為控制此類噪聲擴(kuò)散提供一定的理論支持。

2.1 模型基本假設(shè)

設(shè)投資者集合I，噪聲產(chǎn)生時(shí)刻t。t時(shí)刻后，投資者開始分化成三個(gè)種群。第一類投資者在t時(shí)刻獲知噪聲并正在轉(zhuǎn)告他人，稱為噪聲傳播者，記為集合D；第二類投資者在t時(shí)刻獲知噪聲但不轉(zhuǎn)告他人，稱為傳播終止者，記為集合K；第三類投資者不知曉該噪聲，稱為不知情者，記為集合U，并且有：

I=D+K+U （2-1）

設(shè)t時(shí)刻上述三類投資者占總投資者的比例分別用D（t）、K（t）、U（t） 表示，所以有：

D（t）+K（t）+U（t）=1 （2-2）

對模型作出如下假設(shè)：

①噪聲傳播者通過有限個(gè)個(gè)體交流，逐漸將噪聲傳播出去；

②變量D（t）、K（t）、U（t）為連續(xù)可微變量。

③只有噪聲傳播者D傳播給不知情者U才算有效傳播。

假設(shè)③說明，噪聲從人群D到D、D到K兩種傳播都是無效的，因?yàn)镈、K兩類人群均已知此噪聲。

設(shè)噪聲傳播者平均傳播率為常數(shù)λ，λ為大于等于1的常數(shù)，意味著單位時(shí)間內(nèi)，平均每個(gè)噪聲傳播者有向λ個(gè)人傳播噪聲的傳播能力，但只有向人群U傳播才是有效傳播，故噪聲傳播者在單位時(shí)間內(nèi)傳播噪聲的有效能力為：

λU（t）（2-3）

設(shè)總體投資者的人數(shù)為N，單位時(shí)間內(nèi)傳播者傳播噪聲的有效傳播人數(shù)為：

λNU（t）D（t）（2-4）

上式也表示噪聲傳播者D單位時(shí)間的增加量，即噪聲傳播者D增加的速度，可以用它來衡量噪聲傳播的速度。它是U（t）、D（t）的函數(shù)。

④傳播者D會轉(zhuǎn)換為傳播終止者K，傳播終止率正比于噪聲傳播者數(shù)量ND，比例系數(shù)為μ，μ為大于0且小于1的常數(shù)，所以噪聲傳播者D單位時(shí)間減少量為：

μN(yùn)D（t） （2-5）

A4：不知情者具有學(xué)習(xí)能力。當(dāng)股價(jià)波動，成交量擴(kuò)大時(shí)，會引起持有或?qū)υ摴善备信d趣的投資者的關(guān)注。當(dāng)有高于（或低于）均衡價(jià)的大筆訂單成交時(shí)，將引起原本不知情的交易者改變他們對該股票的預(yù)期價(jià)格，有可能對該股進(jìn)行買賣。噪聲傳播者越活躍，不知情者參與的概率越大。

設(shè)不知情者參與的概率為P（t），隨時(shí)間的變化而變化，且與D（t）成正比，為不知情者學(xué)習(xí)能力參數(shù)，為大于0且小于1的常數(shù)，則有：

（2-6）

學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的投資者會從交易量的變化中猜測噪聲，并加入到傳播人群中去，這部分人群的單位時(shí)間增加量為：

NP（t）U（t） （2-7）

2.2 噪聲傳播模型

2.2.1 噪聲傳播方程

當(dāng)噪聲出現(xiàn)時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)種群開始分化。不知情者接收到噪聲，變成噪聲傳播者，將噪聲擴(kuò)散出去；之后噪聲傳播者不再傳播，變成傳播終止者。

投資者的角色轉(zhuǎn)換過程是U?D?K，三類投資者數(shù)量隨時(shí)間推移呈現(xiàn)“此消彼長”的特征。三類投資者所占比例的變化速率分別記為D′（t）、K′（t）、U′（t）。建立常微分方程組（2-8）如下：

U′（t）=-λU（t）D（t）-p（t）U（t）

D′（t）=λU（t）D（t）-μD（t）+p（t）U（t）

K′（t）=μD（t）

P（t）=D（t）

U（t）+D（t）+K（t）=1

U0>0，D0>0，K0>0（2-8）

2.2.2 種群的演化特征一

噪聲是通過個(gè)體交流的方式逐漸在人群中擴(kuò)散的，所以噪聲擴(kuò)散者應(yīng)該是逐漸增加的。隨著時(shí)間的推移，不斷有新消息進(jìn)入系統(tǒng)取代先前的噪聲成為決策依據(jù)。噪聲逐漸淪為過時(shí)的消息，傳播者沒有動力去傳播噪聲，表現(xiàn)為人群D數(shù)量的減少。

所以噪聲有如下傳播特征一：

噪聲傳播者的種群人數(shù)變化規(guī)律有兩種可能：或單調(diào)減少，或先逐漸增加，達(dá)到峰值后逐漸減少。

2.2.3 種群的演化特征二

從現(xiàn)實(shí)情況來看，噪聲的擴(kuò)散不會至整個(gè)系統(tǒng)。由于信息不對稱總是存在，交易者在有關(guān)交易信息之?dāng)?shù)量和質(zhì)量的擁有上不相等，股市消息不會到達(dá)每一個(gè)人。也就是說，人群中總有人不知道噪聲。

如下傳播特征二：

不知情者不會隨時(shí)間的推移而完全消失。

2.2.4 噪聲擴(kuò)散的峰值

根據(jù)噪聲傳播者的變化規(guī)律可知，傳播者人數(shù)必然會在某一時(shí)刻達(dá)到峰值。到達(dá)峰值的時(shí)間與初始傳播人數(shù)、傳播終止率、噪聲傳播者的傳播能力和不知情者的學(xué)習(xí)能力有關(guān)。一般地，初始傳播人數(shù)越大，噪聲傳播者的傳播能力越強(qiáng)，不知情交易者學(xué)習(xí)能力越強(qiáng)，峰值就會越大，到達(dá)峰值的時(shí)間就越早；傳播終止率則與峰值成負(fù)相關(guān)。

3 數(shù)值模擬與分析

3.1 分析工具的選擇

MATLAB是使用較為廣泛的模擬工具，提供了7個(gè)求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)：ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb。ode45是解決數(shù)值解問題的首選方法，將選擇ode45進(jìn)行方程求解。同時(shí)，將選擇二維畫圖函數(shù)plot進(jìn)行函數(shù)曲線繪制。

3.2 模擬分析

用MATLAB求解微分方程組，并畫出D（t）、K（t）、U（t）三個(gè)種群人數(shù)演化曲線（演化曲線略）。模型中需要賦值的變量有：

①噪聲傳播者的初始比例D0在0～1內(nèi)由隨機(jī)數(shù)生成；

②噪聲傳播者的初始比例D0與未知情者的初始比例U0之和為1；

③傳播終止者的初始比例K0為0；

④參數(shù)λ大于或等于1的常數(shù)；

⑤參數(shù)μ、的取值范圍是（0，1）。

3.3 結(jié)果分析

①初始時(shí)刻，系統(tǒng)中噪聲傳播者為固定值，是整個(gè)系統(tǒng)的噪聲傳播源，其余人群則是不知情者。當(dāng)噪聲產(chǎn)生后，傳播者開始傳播噪聲，不知情者人數(shù)逐漸減少。隨著噪聲的傳播，知曉噪聲但不傳播的傳播終止者人數(shù)從0開始逐漸增多。噪聲傳播者的變化規(guī)律與傳播能力、傳播終止率、未知情者學(xué)習(xí)能力和初始噪聲傳播人數(shù)都有關(guān)。

②其他條件不變，初始狀態(tài)下，系統(tǒng)中知曉并傳播噪聲的人數(shù)越多，傳播高峰來的越快，峰值越大。這符合邏輯推理和實(shí)際觀察。

③其他條件不變，當(dāng)傳播者傳播噪聲的能力越強(qiáng)，傳播高峰來的就越快，峰值就越大，符合邏輯推理和實(shí)際觀察。

④其他條件不變，當(dāng)傳播終止率越小，峰值越大，但傳播高峰時(shí)間變化不明顯。

⑤其他條件不變，當(dāng)未知情者學(xué)習(xí)能力越大，峰值越大，傳播高峰時(shí)間變化也不明顯。

⑥曲線均未涉及當(dāng)時(shí)間足夠長時(shí)，三類人群的數(shù)量特征。但上一章經(jīng)過理論已經(jīng)證明，噪聲傳播者最終會消失，整個(gè)系統(tǒng)只有未知情交易者和傳播終止者。

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[3]楊春霞，王杰，周濤，等.基于自組織逾滲的金融市場模型[J].科學(xué)通報(bào)，2005（20）：127-131.

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作者簡介：

劉芷彤（1992-），女，內(nèi)蒙古通遼人，大學(xué)本科，學(xué)士，華北電力大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院。