如何提高運算能力

謝高峰

運算求解能力主要是指根據(jù)數(shù)學(xué)概念、公式、法則對數(shù)、式等進行正確運算和變形的能力；分析條件，尋求并設(shè)計合理、簡捷的運算途徑的能力；根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計，并進行正確運算的能力.運算求解能力是影響學(xué)生數(shù)學(xué)成績的主要因素之一. 事實上，我們的數(shù)學(xué)運算求解能力存在許多問題：如運算速度慢，正確率低，機械套用公式，只注重運算結(jié)論而不注重求解過程，求解步驟不合理，過繁或過簡等.因此，如何采取具有針對性的能改善運算求解能力的措施，是一個需要認真研究的問題.

對研究對象的理解和建模能力

對數(shù)學(xué)研究對象（包括數(shù)學(xué)定義、公式、法則和定理等）的準確理解和把握是提高我們運算求解能力的基礎(chǔ)和前提.我們的運算求解過程，實際上就是從問題的條件和求解目標出發(fā)，分析其中涉及的概念、公式、法則或定理，并尋求它們的關(guān)系，抽象出其中的數(shù)學(xué)模型. 這種數(shù)學(xué)模型也往往表現(xiàn)出一種特定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或關(guān)系（數(shù)學(xué)表達式），通過建模求解，最終算出結(jié)果.求解同樣一個模型時所選用的依據(jù)不同，就會造成運算求解過程的繁簡程度不同.

例1 求[|x+1x|]的最小值.

普解 （1）當[x>0]時，[|x+1x|=x+1x≥2]，當且僅當[x=1]時等號成立.

（2）當[x<0]時，[|x+1x|=-x+1-x≥2]，并且當且僅當[x=-1]時等號成立.

綜上所述，當且僅當[x=±1]時，[|x+1x|]最小值是2.

優(yōu)解 [|x+1x|=|x|+1|x|≥2]，

當且僅當[|x|=1|x|]，即[x=±1]時取等號.

所以[|x+1x|]的最小值是2.

對運算求解方法的選擇能力

對運算求解方法選擇的恰當與否直接決定著運算過程的繁簡和運算量的大小.少數(shù)同學(xué)的運算求解能力比較強，主要體現(xiàn)在其能選擇合理的運算求解方法，減少運算量，從而保證運算的準確、迅速.

例2 當[a=45-1]時，求[12a3-a2-2a+1]的值.

普解 部分同學(xué)直接將[a=45-1]代入多項式，運算非常麻煩且容易出錯.

優(yōu)解 而懂得運用技巧的會注意到[a]的分母是無理式，先將其變形為[a=5+1]，再進一步變?yōu)閇a-1=5]，并把多項式進行變形，從中析出[（a-1）2]，進而簡化運算.

[∴12a3-a2-2a+1=12a（a-1）2-52a+1=52a-52a+1.]

挖掘信息的能力

充分挖掘已知條件、結(jié)論中所隱含的信息是尋求與設(shè)計合理、簡捷的運算求解途徑的必要條件.研究中發(fā)現(xiàn)，考生能否準確、快速地進行運算并求出結(jié)果，這在很大程度上取決于其能否深入挖掘題目中的信息.

例3 已知[an]是等比數(shù)列，且[an>0，a2a4+2a3a5][+a4a6=25]，那么[a3+a5=]（ ）

A. 5 B. 10

C. 15 D. 20

普解 設(shè)首項為[a1]，公比為[q]， 則由題意得，

[a1q?a1q3+2a1q2?a1q4+a1q3?a1q5=25].

所以[a21q4（1+2q2+q4）=25].

又[a1>0，q>0，]

所以[a1q2（1+q2）=5]，

即[a1q2+a1q4=5].所以[a3+a5=5].

優(yōu)解 對條件“[an]是等比數(shù)列”進行深度挖掘.根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知[a2a4+2a3a5+a4a6=25]，

即[a23+2a3a5+a25=25].

所以[（a3+a5）2=25].

又[a3+a5>0]，所以[a3+a5=5].

運用數(shù)學(xué)思想和方法的能力

高中階段的數(shù)學(xué)思想主要有數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.具體的數(shù)學(xué)方法還包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、配方法等. 對這些數(shù)學(xué)思想和方法的運用能力也是運算求解能力的一個重要組成部分.

例4 求函數(shù)[y=（x-3）2+x2+（x-4）2+（x-1）2]的最小值.

簡析 此題若直接反復(fù)平方計算，肯定不可取，大部分同學(xué)無從下手.而少部分人則會考慮從幾何意義入手，[y]為平面直角坐標系中直線[y=x]上的點[（x，x）]到點（3，0）與點（4，1）的距離之和，因此只需找出點（3， 0）關(guān)于直線[y=x]的對稱點（0， 3），求出點（0， 3）與點（4，1）之間的距離即可.解得[zmin=（0-4）2+（3-1）2=25].

運算求解過程的簡捷性

運算求解過程的簡捷性是指運算求解過程中所選擇的運算路徑短、運算步驟少、運算用時省.運算求解過程的簡捷是運算合理性的標志，也是提高運算速度的要求.高考對運算簡捷性的考查，主要體現(xiàn)在運算過程中對概念的靈活應(yīng)用、公式的恰當選擇.運算求解過程的簡捷性也是對考生思維深刻性、靈活性的考查.

例5 設(shè)橢圓的兩個焦點分別為[F1]，[F2]，過點[F2]作橢圓長軸的垂線交橢圓于點[P]. 若[△F1PF2]為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為 .

普解 如圖，設(shè)[P（c，y）]，代入橢圓的方程可求得[y=b2a].

由題意可知，[2c=b2a].

又[b2=a2-c2]，

所以[a2-c2=2ac]，

即[c2+2ac-a2=0].

兩邊同除以[a2]得，[e2+2e-1=0].

解方程得[e=2-1]或[e=-2-1]（舍）.

優(yōu)解 對知識掌握較好的人則會充分利用[△F1PF2]為等腰直角三角形這個條件求解.

由[F1F2=2c]可得，

[PF2=2c，PF1=22c].

所以[2a=2c+22c].

則[e=2c2a=2c2c+22c=12+1=2-1].