高考對(duì)數(shù)學(xué)能力考查例說(shuō)

孫文雙

考試大綱明確指出：數(shù)學(xué)學(xué)科的考試遵循“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”“以能力立意命題”. 這是近幾年來(lái)高考數(shù)學(xué)題遵循的原則與命題指導(dǎo)思想，將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測(cè)同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 考查同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)基本能力的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解. 體現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀等目標(biāo)的要求.能力主要指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).本文選取幾個(gè)加以說(shuō)明.

數(shù)據(jù)處理能力

數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計(jì)或統(tǒng)計(jì)案例中的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析，并解決給定的實(shí)際問(wèn)題.統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的科學(xué)，它可以為人們制定決策提供依據(jù)，逐漸成為一個(gè)必備常識(shí). 統(tǒng)計(jì)的教學(xué)具有重要的地位，新課標(biāo)高考對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的考查力度得到加強(qiáng).

數(shù)據(jù)處理能力考查主要表現(xiàn)在： （1）在概率統(tǒng)計(jì)中命制試題，它是把有關(guān)數(shù)據(jù)處理與概率統(tǒng)計(jì)題綜合在一起，其側(cè)重點(diǎn)在概率統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí).具體表現(xiàn)在抽樣方法、統(tǒng)計(jì)圖表、用樣本估計(jì)總體等.（2）在線性回歸分析中命制試題，具體表現(xiàn)在求回歸方程并由此解決其他有關(guān)問(wèn)題，其側(cè)重點(diǎn)在最小二乘估計(jì). 此類(lèi)試題有較復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程，同時(shí)考查運(yùn)算能力.

例1 （2014年高考山東卷）乒乓球臺(tái)面被網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖1所示，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域[A，B]，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域[C，D].某次測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來(lái)球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在[C]上記3分，在[D]上記1分，其他情況記0分.對(duì)落點(diǎn)在[A]上的來(lái)球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在[C]上的概率為[12]，在[D]上的概率為[13]；對(duì)落點(diǎn)在[B]上的來(lái)球，小明回球的落點(diǎn)在[C]上的概率為[15]，在[D]上的概率為[35].假設(shè)共有兩次來(lái)球且落在[A，B]上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：

（1）小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；

（2）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望.

圖1

解析 （1）記[Ai]為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在[A]上的來(lái)球回球的得分為[i]分”（[i]=0，1，3），

則[P（A3）=12]，[P（A1）=13]，[P（A0）=1-12]-[13]=[16].

記[Bi]為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在[B]上的來(lái)球回球的得分為[i]分”（[i]=0，1，3），

則[P（B3）=15]，[P（B1）=35]，[P（B0）=1-15]-[35]=[15].

記[D]為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”.

由題意知，[D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3]，由事件的獨(dú)立性和互斥性得，

[P（D）=P（A3B0+A1B0+A0B1+A0B3）]

[=P（A3B0）+P（A1B0）+P（A0B1）+P（A0B3）]

[=P（A3）P（B0）+P（A1）P（B0）+P（A0）·P（B1）+P（A0）P（B3）]

=[12]×[15]+[13]×[15]+[16]×[35]+[16]×[15]=[310].

所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為[310].

（2）由題意知，隨機(jī)變量ξ可能的取值為0，1，2，3，4，6.

由事件的獨(dú)立性和互斥性得，

[P（ξ=0）=P（A0B0）=][16]×[15]=[130]，

[P（ξ=1）=P（A1B0+A0B1）=P（A1B0）+P（A0B1）]

=[13]×[15]+[16]×[35]=[16]，

[P（ξ=2）=P（A1B1）=13]×[35]=[15]，

[P（ξ=3）=P（A3B0+A0B3）=P（A3B0）+P（A0B3）]

=[12]×[15]+[16]×[15]=[215]，

[P（ξ=4）=P（A3B1+A1B3）=P（A3B1）+P（A1B3）]

=[12]×[35]+[13]×[15]=[1130]，

[P（ξ=6）=P（A3B3）=12]×[15]=[110].

可得隨機(jī)變量[ξ]的分布列為：

[[ξ]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&4＼&6＼&[P]＼&[130]＼&[16]＼&[15]＼&[215]＼&[1130]＼&[110]＼&]

所以數(shù)學(xué)期望[Eξ=0×130]+1×[16]+2×[15]+3×[215]+4×[1130]+6×[110]=[9130].

應(yīng)用意識(shí)

縱觀近幾年高考試題，高考命題在“用”中必考，問(wèn)題的設(shè)計(jì)多與函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何等知識(shí)聯(lián)系. 考查貼近生活、有社會(huì)意義和時(shí)代意義的應(yīng)用題，立意考查“大眾”數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考命題的一個(gè)趨勢(shì)，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題. 在應(yīng)用題中主要考查閱讀能力、應(yīng)用能力和探究能力，關(guān)注當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的政治、經(jīng)濟(jì)、文化，緊扣時(shí)代的主旋律，凸現(xiàn)了學(xué)科綜合的特色，是高考命題的一道亮麗風(fēng)景線，其解題的關(guān)鍵在于構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型.

例2 （2014年高考江蘇卷）如圖2，為了保護(hù)河上古橋[OA]，規(guī)劃建一座新橋[BC]，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū). 規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m. 經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處， 點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處（OC為河岸），[tan∠BCO=43].求新橋BC的長(zhǎng)？

[北][東]

圖2 圖3

解析 法1：（兩角差的正切）如圖3，連結(jié)[AC]，由題意知，[tan∠ACO=617]，則由兩角差的正切公式可得，

[tan∠ACB=tan（∠BCO-∠ACO）=23.]

故[BC=AC?cos∠ACB=150m].

答：新橋[BC]的長(zhǎng)度為[150]m.

法2：由題意可知，[A（0，60），B（170，0）]. 由 [tan∠BCO=43]可知直線[BC]的斜率[k=-43]，則直線[BC]所在直線的方程為[y=-43（x-170）]. 又由[AB⊥BC]可知，[AB]所在的直線方程為[y=34x+60]；聯(lián)立方程組[y=-43（x-170），y=34x+60，]解得[x=80，y=120].

即點(diǎn)[B（80，120）]，則[BC=（80-170）2+1202=150].

答：新橋[BC]的長(zhǎng)度為[150]m.

點(diǎn)撥 從考試角度來(lái)說(shuō)，應(yīng)用題主要考查兩個(gè)方面的能力：建立數(shù)學(xué)模型的能力（簡(jiǎn)稱“建?！蹦芰Γ?、解決數(shù)學(xué)模型的能力（簡(jiǎn)稱“解?！蹦芰Γ? 從應(yīng)試方法上如何突破呢？首先要系統(tǒng)研究所有可能出現(xiàn)的應(yīng)用題并做到能對(duì)癥下藥，?？疾榈膽?yīng)用題類(lèi)型有：函數(shù)應(yīng)用題（以分式函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題、以分段函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題、以二次函數(shù)為載體的函數(shù)應(yīng)用題）、三角測(cè)量應(yīng)用題（以三角函數(shù)的定義為載體的三角應(yīng)用題、以三角函數(shù)的圖象為載體的三角應(yīng)用題、以解三角形為載體的三角應(yīng)用題、以立體幾何為載體的三角應(yīng)用題、以追擊問(wèn)題為載體的三角應(yīng)用題）、數(shù)列應(yīng)用題、線性規(guī)劃應(yīng)用題、解析幾何應(yīng)用題.

創(chuàng)新意識(shí)

對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查是對(duì)高層次理性思維的考查，要求考生不僅能理解一些概念、定義，掌握一些定理、公式，更重要的是能夠應(yīng)用這些知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活中的比較新穎的問(wèn)題.回顧近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn)：關(guān)注探究創(chuàng)新意識(shí)，考查數(shù)學(xué)理性思維，已成為高考命題的一種趨勢(shì).在高考試題中常常通過(guò)創(chuàng)設(shè)一些比較新穎的問(wèn)題情境，構(gòu)造一些具有一定深度和廣度、能體現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的問(wèn)題，著重考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容.題型主要有：（1）條件探究型，（2）結(jié)論開(kāi)放型，（3）條件和結(jié)論都發(fā)散型，（4）信息遷移型，（5）存在型，（6）解題策略開(kāi)放型.

例3 （2014年高考重慶卷）設(shè)[a1=1]，[an+1]=[a2n-2an+2+b（n∈N*）].

（1）若[b=1]，求[a2，a3]及數(shù)列[{an}]的通項(xiàng)公式；

（2）若[b=-1]，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)[c]使得[a2n解析 （1）法一：[a2=2]，[a3=2]+1.

再由題設(shè)條件知，（[an+1]-1）2=（[an]-1）2+1.

從而{（[an]-1）2}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，

故（[an]-1）2=[n]-1，即[an]=[n-1]+1（[n∈N*]）.

法二：[a2=2]，[a3=2]+1.

改寫(xiě)為[a1=1-1]+1，[a2]=[2-1]+1，[a3]=[3-1]+1.因此猜想[an]=[n-1]+1.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式.

當(dāng)[n=1]時(shí)，結(jié)論顯然成立.

假設(shè)[n=k]時(shí)結(jié)論成立，即[ak=k-1]+1，

則[ak+1=（ak-1）2+1]+1=[（k+1）-1]+1.

這就是說(shuō)，當(dāng)[n=k+1]時(shí)結(jié)論成立.

所以[an]=[n-1]+1（[n∈N*]）.

（2）法一：設(shè)[f（x）=（x-1）2+1]-1，則[an+1=f（an）].

令[c=f（c）]，即[c=（c-1）2+1]-1，解得[c=14].

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明命題[a2n