Euler積分的探究與應(yīng)用

張杰

摘 要：利用B函數(shù)和Γ函數(shù)的定義和一些性質(zhì)， 方便計算某些三角函數(shù)積分和反常積分，用以說明Euler函數(shù)的優(yōu)越性。Γ函數(shù)和B函數(shù)最早由Euler引入，它作為一種特殊函數(shù)， 具備了豐富和優(yōu)美的特征， 在數(shù)學(xué)的許多分支以及物理、工程等學(xué)科中都起著重要的作用。本文通過一些實例， 說明它的一些應(yīng)用，對比出其優(yōu)勢，旨在拋磚引玉。

關(guān)鍵詞：Euler積分；Γ函數(shù)；B函數(shù)

一、Euler積分[1]

含參量積分Γ（s）=∫xs-1 e-xdx（s>

0）。

B（p，q）=∫xp-1 （1-x）q-1dx（p>

0，q>0）。

在應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)，統(tǒng)稱為Euler積分，分別稱為Γ-函數(shù)與B-函數(shù)。

1.Γ-函數(shù)

（1）Γ（s）在定義域s>0內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)。

（2）遞推公式 Γ（s=1）=sΓ（s）=

Γ（s）=（s-1）（s-2）…（s-n）Γ（s-n），

n∫e-xdx=1。

Γ（n+1）=n！

由于Γ（s）=—以及

Γ（1）=1，所以limΓ（s）=+∞。

（3）余元公式[2]。Γ（p）Γ（1-p）=

—（0