不確定拋物線型偏微分方程狀態(tài)空間模型的保性能控制研究

趙磊

摘 要：本文提出關于不確定線性空間分布過程的動態(tài)模型。該模型基于對空間分布過程的數(shù)學模型即拋物線型偏微分方程空間進行離散得到。首先，采用配置點譜方法對拋物線型偏微分方程空間進行離散，對瞬態(tài)項不做處理，這樣就得到了不確定線性空間分布過程的動態(tài)模型；接下來，以上面開發(fā)的動態(tài)模型為基礎采用線性矩陣不等式的方法設計保性能控制器；最后，用上面提出的建模和控制器的設計方法應用在催化反應棒的溫度控制上，方法有效，控制效果明顯。

關鍵詞：保性能控制器；參數(shù)分布系統(tǒng)；線性矩陣不等式

1 引言

大部分用來對空間分布過程建模的拋物線型PDEs是不確定的。當前的研究已經(jīng)取得了一些成果。

拋物線型偏微分方程組式的工業(yè)空間分布過程，如快速熱過程、等離子體反應器、晶體生長過程等。大部分用來對空間分布過程建模的拋物線型偏微分方程系統(tǒng)是不確定的，產(chǎn)生此不確定性的原因有：建模簡化、存在參數(shù)的漂移、系統(tǒng)周圍環(huán)境的變化、缺乏對系統(tǒng)某組成部分或某種特性的。如果這些不確定參數(shù)在控制器設計過程中沒有引起足夠的重視，可能使系統(tǒng)的性能極大惡化，甚至導致系統(tǒng)失穩(wěn)。

鑒于當前研究進展，本文將要解決拋物線型PDEs的保性能控制問題。本文保留非穩(wěn)態(tài)項，只在空間上采用配置點譜方法。本文提出模型的方法和不確定性考慮方法至今未見發(fā)表。

2 建模

3 保性能狀態(tài)反饋控制

方程（6）是關于 ，W和X的線性矩陣不等式，該線性不等式的解構(gòu)成一個凸集。因此，可以應用多種有效的最優(yōu)化算法來判斷該線性矩陣不等式是否有解。通過求解一個最優(yōu)化問題，最優(yōu)保性能控制器可以使閉環(huán)不確定系統(tǒng)的性能指標最小，下面給出該定理。

4 耗散反應過程的應用

分別代表反應棒的密度，熱容和導熱系數(shù)。k0和E分別代表指數(shù)的系數(shù)和活化能。 是反應棒的長度，q（t）是升溫速率。 和 是升溫速率的系數(shù)矩陣。升溫速率是可調(diào)的，本文把升溫速率看成是控制輸入，控制的目標是通過調(diào)整升溫速率來調(diào)整反應棒上的溫度。

對應的最優(yōu)的性能指標的上界為 。圖1分別顯示出閉環(huán)系統(tǒng)在配置點時狀態(tài)軌跡，圖2顯示出閉環(huán)系統(tǒng)控制輸入的軌跡。模擬結(jié)果顯示出保性能控制器能夠把溫度調(diào)整到穩(wěn)態(tài) 。

5 結(jié)語

本文對于一類不確定的線性偏微分方程系統(tǒng)提出了一個控制模型。具體的方法是通過對偏微分方程采用配置點譜方法對空間部分進行離散，保留瞬態(tài)項。從而得到了用于保性能控制設計的狀態(tài)空間表達式。接下來，采用Matlab線性矩陣不等式工具箱求解一個凸優(yōu)化問題實現(xiàn)最優(yōu)保性能控制的設計。最后，提出的方法成功的應用在催化棒的溫度控制中，得到的模擬結(jié)果顯示設計出的保性能控制器是有效的。

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