Morlet復(fù)小波變換的開(kāi)關(guān)電流電路共極點(diǎn)實(shí)現(xiàn)

童耀南　何怡剛　尹柏強(qiáng)　于文新　龍英

摘 要： 提出了一種時(shí)頻域混合共極點(diǎn)逼近的開(kāi)關(guān)電流電路Morlet復(fù)小波變換方法.將Morlet復(fù)小波構(gòu)成部件高斯包絡(luò)進(jìn)行分解，設(shè)計(jì)了高斯包絡(luò)時(shí)域逼近優(yōu)化模型，模型可采用常規(guī)優(yōu)化算法求解.利用正弦和余弦信號(hào)的周期性，及其與指數(shù)信號(hào)的乘積在頻率域具有相同極點(diǎn)的特性，簡(jiǎn)化了Morlet復(fù)小波函數(shù)的拉普拉斯變換，實(shí)現(xiàn)了實(shí)部和虛部的共極點(diǎn)有理逼近.基于雙線性變換積分器設(shè)計(jì)了一種開(kāi)關(guān)電流復(fù)二階節(jié)基本電路，繼而綜合了Morlet復(fù)小波變換基本電路.通過(guò)調(diào)節(jié)基本電路的開(kāi)關(guān)時(shí)鐘頻率可實(shí)現(xiàn)其它不同尺度的小波變換功能.對(duì)比分析表明，本文方法的逼近效果和系統(tǒng)穩(wěn)定性均明顯優(yōu)于現(xiàn)有的Padé變換法和Maclaurin級(jí)數(shù)法；與現(xiàn)有方法相比，本文設(shè)計(jì)的復(fù)小波變換電路具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、功耗低和體積小等優(yōu)點(diǎn).仿真結(jié)果表明了方法的有效性.

關(guān)鍵詞： 開(kāi)關(guān)電流電路； Morlet復(fù)小波；小波變換；帶通濾波器；逼近算法

中圖分類號(hào)：TN713 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

小波變換是分析非平穩(wěn)信號(hào)強(qiáng)有力的工具，已有廣泛的工程應(yīng)用[1-2].小波變換通常采用數(shù)字方式實(shí)現(xiàn)，但其運(yùn)算量大，且需要進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換，不適合功耗要求嚴(yán)格的應(yīng)用場(chǎng)合.近年來(lái)，為滿足實(shí)時(shí)性和低功耗場(chǎng)合的要求，人們開(kāi)始致力于小波變換模擬電路實(shí)現(xiàn)的研究[3-13].其中文獻(xiàn)[3]提出了基于開(kāi)關(guān)電容電路的連續(xù)小波變換方法，但開(kāi)關(guān)電容是一種電壓模技術(shù)，需要線性浮置電容，與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字CMOS工藝不兼容.為克服開(kāi)關(guān)電容的缺陷，開(kāi)關(guān)電流技術(shù)[14-15]應(yīng)運(yùn)而生.開(kāi)關(guān)電流是一種新型的模擬電流數(shù)據(jù)采樣技術(shù)，具有高速度、低電壓、低功耗的優(yōu)點(diǎn).文獻(xiàn)[4-5]最早提出開(kāi)關(guān)電流電路實(shí)現(xiàn)小波變換的理論與方法.開(kāi)關(guān)電流小波變換電路有兩種主流的設(shè)計(jì)方法，一種是頻域設(shè)計(jì)法，另一種是時(shí)域設(shè)計(jì)法，均包括兩個(gè)關(guān)鍵的步驟，一是小波函數(shù)（或構(gòu)成部件）的有理逼近，即用一個(gè)頻域有理濾波器函數(shù)代替難以電路實(shí)現(xiàn)的小波函數(shù)；二是小波濾波器電路設(shè)計(jì).對(duì)于頻域設(shè)計(jì)法，這兩個(gè)步驟都在頻率域進(jìn)行.例如文獻(xiàn)[5]和[10]分別采用Padé逼近法和Maclaurin級(jí)數(shù)法進(jìn)行小波函數(shù)的頻域逼近，再針對(duì)逼近的小波濾波器傳遞函數(shù)進(jìn)行電路設(shè)計(jì).小波函數(shù)逼近實(shí)質(zhì)上尋找一個(gè)沖激響應(yīng)與待逼近小波函數(shù)波形盡可能相似的濾波器.Padé逼近法基本思想是先采用泰勒級(jí)數(shù)將小波復(fù)頻域函數(shù)展開(kāi)成多項(xiàng)式形式，再根據(jù)逼近有理式的階數(shù)要求保留適量的低階項(xiàng)，舍棄其它高階項(xiàng)，從而獲得小波復(fù)頻域函數(shù)的近似多項(xiàng)式，最后采用Padé變換將這個(gè)近似多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為有理式，從而獲得逼近的小波濾波器傳遞函數(shù).與Padé逼近法不同的是，Maclaurin級(jí)數(shù)法利用了信號(hào)時(shí)頻變換的時(shí)移特性，分別針對(duì)小波函數(shù)的分子和分母進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，方法更為簡(jiǎn)單.頻域設(shè)計(jì)法之外，另一種是時(shí)域設(shè)計(jì)法，即基于小波函數(shù)的時(shí)域特點(diǎn)進(jìn)行小波變換電路設(shè)計(jì)，方法直接明了，但電路較為復(fù)雜.例如文獻(xiàn)[12]提出了Morlet實(shí)小波變換的開(kāi)關(guān)電流電路模擬實(shí)現(xiàn)方法，采用Padé法在頻域進(jìn)行高斯包絡(luò)的有理逼近，再基于Morlet小波時(shí)域結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)進(jìn)行電路設(shè)計(jì)，需要用到正弦信號(hào)發(fā)生器、乘法器、高斯函數(shù)發(fā)生器和積分器等部件.綜上所述，現(xiàn)有開(kāi)關(guān)電流小波變換方法存在以下不足，一是時(shí)域設(shè)計(jì)法導(dǎo)致電路結(jié)構(gòu)復(fù)雜，二是頻域逼近效果不理想且不能自然保證電路的穩(wěn)定性，三是現(xiàn)有方法多關(guān)注于實(shí)小波變換的實(shí)現(xiàn)，少有研究復(fù)小波變換的模擬實(shí)現(xiàn)，然而復(fù)小波變換比實(shí)小波變換能提供更多的細(xì)節(jié)信息.

針對(duì)現(xiàn)有方法的不足，本文提出一種時(shí)頻混合共極點(diǎn)逼近的開(kāi)關(guān)電流電路Morlet復(fù)小波變換方法.首先，基于Morlet復(fù)小波函數(shù)的特點(diǎn)，對(duì)高斯包絡(luò)單獨(dú)進(jìn)行時(shí)域分解，并利用正弦信號(hào)的周期性，設(shè)計(jì)出一種時(shí)域逼近優(yōu)化模型，可采用現(xiàn)有優(yōu)化算法進(jìn)行逼近優(yōu)化問(wèn)題求解.其后，對(duì)逼近的時(shí)域復(fù)小波進(jìn)行拉普拉斯變換，獲得其實(shí)部和虛部傳遞函數(shù)，且實(shí)部和虛部具有相同的極點(diǎn).然后，設(shè)計(jì)一種單輸入雙輸出的開(kāi)關(guān)電流共極點(diǎn)復(fù)二階節(jié)基本電路，繼而綜合Morlet復(fù)小波變換電路.最后，通過(guò)電路仿真驗(yàn)證方法的有效性.

1 Morlet復(fù)小波濾波器共極點(diǎn)逼近原理

SymboleB@ f（t）ψ*（t-ba）dt，a≠0.（1）

式中：*表示共軛，a和b分別是尺度和位移因子，均為連續(xù)變量，因此式（1）被稱為連續(xù)小波變換.若a=2j（j∈Z），上述小波變換稱為二進(jìn)制小波變換，工程應(yīng)用通常采用二進(jìn)制小波變換.根據(jù)模擬濾波器理論可知，在尺度a時(shí)的小波變換可以看成是輸入信號(hào)通過(guò)沖激響應(yīng)為ψa（-t）的濾波器后的輸出.因此，模擬小波變換可通過(guò)構(gòu)造沖激響應(yīng)為小波基函數(shù)及其膨脹函數(shù)的濾波器組來(lái)實(shí)現(xiàn).就開(kāi)關(guān)電流小波變換而言，由于不同尺度下的小波膨脹函數(shù)可通過(guò)調(diào)節(jié)基本小波濾波器的開(kāi)關(guān)時(shí)鐘頻率來(lái)實(shí)現(xiàn)[15]，故采用開(kāi)關(guān)電流電路實(shí)現(xiàn)小波變換的關(guān)鍵在于基本小波濾波器（尺度a=1）的設(shè)計(jì).

Morlet復(fù)小波基（尺度a=1）時(shí)域表達(dá)式為：

ψ（t）=π-1/4ejω0te-t2/2=

π-1/4[cos （ω0t）+jsin （ω0t）]e-t2/2， ω0≥5.（2）

式中：ω0是中心頻率，在ω0=5和7兩種情況下，時(shí)域波形如圖1所示.可見(jiàn)，Morlet復(fù)小波是高斯包絡(luò)下的單頻率復(fù)正弦函數(shù)，且對(duì)于不同的中心頻率ω0，其實(shí)部和虛部的高斯包絡(luò)相同.Morlet復(fù)小波時(shí)域支撐區(qū)約為-3～3.

時(shí)間（a） ω0=5

時(shí)間（b） ω0=7

根據(jù)小波變換的濾波器實(shí)現(xiàn)原理，應(yīng)該對(duì)（2）式進(jìn)行共軛和翻轉(zhuǎn)操作.此外，Morlet復(fù)小波是雙邊信號(hào)，與濾波器電路的因果性要求不符，因此還應(yīng)對(duì)（2）式進(jìn)行右移處理.處理后的Morlet復(fù)小波基函數(shù)為：

（t）=ψ*（t0-t）=

π-1/4{cos [ω0（t-t0）]+jsin [ω0（t-t0）]}e-（t-t0）2/2. （3）

式中t0表示時(shí)移量，時(shí)移量的選擇是截?cái)嗾`差[8]與濾波器階數(shù)的零和博弈.如果選擇較小的t0則會(huì)產(chǎn)生較大的截?cái)嗾`差（即零時(shí)刻以前的小波波形因?yàn)V波器因果性而忽略），然而較大的t0需要較高的濾波器階數(shù)才能有效逼近小波函數(shù). 根據(jù)Morlet復(fù)小波的時(shí)域支撐區(qū)分布，時(shí)移量t0通常在2.5～3的范圍內(nèi)選擇，以達(dá)到截?cái)嗾`差與電路規(guī)模的折中.

理論上，式（3）可以通過(guò)單獨(dú)構(gòu)建兩個(gè)沖激響應(yīng)波形分別與其實(shí)部和虛部相似的基本濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)，但這種雙濾波器方法會(huì)導(dǎo)致電路面積與功耗均較大.為簡(jiǎn)化電路結(jié)構(gòu)，特對(duì)式（3）進(jìn)行共極點(diǎn)有理式逼近.由于Morlet復(fù)小波是高斯包絡(luò)下的單頻率復(fù)正弦函數(shù)，通過(guò)對(duì)高斯包絡(luò)進(jìn)行指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的線性組合近似逼近，再將各組成部分與正弦和余弦相乘，并進(jìn)行拉普拉斯變換， 即可獲得Morlet復(fù)小波濾波器的逼近函數(shù).根據(jù)同頻率正弦信號(hào)和余弦信號(hào)與指數(shù)信號(hào)的乘積在頻域具有相同極點(diǎn)的基本原理，逼近的Morlet復(fù)小波濾波器實(shí)部和虛部具有相同的極點(diǎn).

先對(duì)高斯包絡(luò)進(jìn)行指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的線性組合近似分解：

e-（t-t0）2/2≈aebt+

∑ni=1cieσitsin （ωit）+dieσitcos （ωit）.（4）

式中：a，b，ci，di，σi和ωi為待求的參數(shù).

考慮正弦與余弦信號(hào)的周期性特點(diǎn)，即如果滿足t0=m·2π/ω0，m∈Z，則有

cos （ω0（t-t0））=cos （ω0t），

sin （ω0（t-t0））=sin （ω0t）.（5）

將式（4）和（5）代入式（3），獲得時(shí)域近似的Morlet復(fù)小波表達(dá)式，然后分別對(duì)其實(shí)部和虛部進(jìn)行拉普拉斯變換（忽略式中常數(shù)π-1/4項(xiàng)），得到實(shí)部和虛部的頻域有理式逼近.

Hreal（s）=L [cos （ω0（t-t0））e-（t-t0）2/2]≈

a（s-b）（s-b）2+ω20+

12∑ni=1di（s-σi）+ci（ωi+ω0）（s-σi）2+（ωi+ω0）2+

di（s-σi）+ci（ωi-ω0）（s-σi）2+（ωi-ω0）2； （6）

Himag（s）=L [sin （ω0（t-t0））e-（t-t0）2/2]≈

aω0（s-b）2+ω20+

12∑ni=1-ci（s-σi）+di（ωi+ω0）（s-σi）2+（ωi+ω0）2+

ci（s-σi）-di（ωi-ω0）（s-σi）2+（ωi-ω0）2. （7）

對(duì)比分析式（6）和（7）可知，實(shí)部和虛部的有理逼近式具有相同的分母項(xiàng)，即實(shí)現(xiàn)了Morlet復(fù)小波的共極點(diǎn)有理逼近.如果t0≠m·2π/ω0，m∈Z，上述共極點(diǎn)逼近方法仍然適用，只是式（6）和（7）的表達(dá)式較為復(fù)雜而已.

2 高斯包絡(luò)時(shí)域逼近

上述共極點(diǎn)有理逼近的精度完全依賴于高斯包絡(luò)的逼近，即式（4）中未知參數(shù)a，b，ci，di，σi和ωi的求解.為方便起見(jiàn)，將式（4）中未知參數(shù)定義為一向量：

r=[a，b，c0，c1，…，cn，d1，…，dn，σ1，…，σn，ω1，…，ωn]. （8）

將高斯包絡(luò)的時(shí)域逼近式重寫(xiě)如下：

h（r，t）=aebt+

∑ni=1cieσitsin （ωit）+dieσitcos （ωit）. （9）

我們希望找到一個(gè)合適的參數(shù)向量r，使得h（r，t）與高斯包絡(luò)波形盡可能地相似，因此設(shè)計(jì)如下時(shí)域逼近優(yōu)化模型：

min e（r）=min ∫

SymboleB@ 0[h（r，t）-（t）]2dt；

s.t. b<0， σi<0， 1≤i≤n. （10）

式中：（t）=e-（t-t0）2/2為處理后的高斯包絡(luò)，b<0， σi<0， （1≤i≤n）表示約束條件，保證所求逼近式的穩(wěn)定性.模型（10）是一個(gè)典型的多維度非線性約束優(yōu)化問(wèn)題，解的維度和精度與參數(shù)n有著密切的聯(lián)系.較小的n使得求解計(jì)算量小、優(yōu)化問(wèn)題的維度低，最終逼近的濾波器階數(shù)低，實(shí)現(xiàn)電路的面積小，但濾波器函數(shù)逼近精度較低.反之，如果選擇較大的n，則逼近精度高，但優(yōu)化問(wèn)題維度高，最終濾波器階數(shù)較高，需要較大的電路來(lái)實(shí)現(xiàn).實(shí)驗(yàn)表明，n=2是比較合適的選擇，此時(shí)對(duì)于高斯包絡(luò)是一個(gè)5階有理函數(shù)逼近，最終逼近的基本復(fù)小波濾波器則是10階函數(shù).此外，由于padé變換和Maclaurin級(jí)數(shù)逼近是一種確定的頻域函數(shù)轉(zhuǎn)換方法，需要手工或編程推導(dǎo)變換結(jié)果，而本文方法只需要建模和運(yùn)行優(yōu)化算法即可獲得結(jié)果，因此方法使用更為簡(jiǎn)便.

3 開(kāi)關(guān)電流共極點(diǎn)復(fù)二階節(jié)電路設(shè)計(jì)

根據(jù)式（6）和（7）， Morlet復(fù)小波變換電路實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵在于開(kāi)關(guān)電流共極點(diǎn)復(fù)二階節(jié)電路模塊設(shè)計(jì).為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，將式（6）和（7）中單個(gè)二階節(jié)的實(shí)部和虛部傳遞函數(shù)分別定義為：

Hr（s）=ior（s）i（s）=a1s+a0s2+b1s+b0； （11）

Hi（s）=ioi（s）i（s）=c1s+c0s2+b1s+b0. （12）

式中：i（s）表示二階節(jié)的輸入電流，ior（s）和ioi（s）分別表示實(shí)部和虛部的輸出電流.式中分子和分母項(xiàng)的系數(shù)容易從式（6）和（7）推導(dǎo). 根據(jù)系統(tǒng)信號(hào)流圖理論，式（11）和（12）可通過(guò)兩個(gè)共用的積分器s-1，兩個(gè)共享的和4個(gè)獨(dú)立的電流拷貝器來(lái)實(shí)現(xiàn).

由于開(kāi)關(guān)電流電路采樣保持系統(tǒng)，需要對(duì)連續(xù)時(shí)間積分器s-1進(jìn)行離散化，通常是采用雙線性z變換方法，即s→（2/T）（z-1）/（z+1），T表示離散化采樣周期.雙線性z變換法的開(kāi)關(guān)電流雙輸入雙輸出積分器電路[7]如圖2所示，其中圖2（a）為電路原理圖，圖2（b）為簡(jiǎn)化符號(hào)圖.雙線性積分器由同相無(wú)損積分器和反相無(wú)損積分器組合而成.圖中晶體管M1，M2，M4和M5的寬長(zhǎng)比（W/L）為1（歸一化值），M3和M6的寬長(zhǎng)比k=T/2. M2的柵極為正極性輸出拷貝端，通過(guò)M4和M5反相之后，M5的柵極為負(fù)極性輸出拷貝端.

圖2 開(kāi)關(guān)電流雙線性積分器

Fig.2 SI bilinear integrator

對(duì)于式（11）和（12），采用兩個(gè)圖2所示的積分器，并從其正負(fù)極性輸出端分別拷貝電流進(jìn)行前饋或反饋，由MOS管的寬長(zhǎng)比實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)各節(jié)的系數(shù).據(jù)此原理，構(gòu)建如圖3所示的基本電路模塊，這是一個(gè)單輸入雙輸出的共極點(diǎn)復(fù)二階節(jié)電路，i表示輸入電流，ior和ioi分別表示實(shí)部和虛部輸出電流.根據(jù)開(kāi)關(guān)電流雙線性積分器工作原理，電流拷貝MOS管的寬長(zhǎng)比參數(shù)與采樣周期T及式（11）和（12）的系數(shù)之間的關(guān)系為：

k=T/2， r1=ka1， r2=ka0，

r3=kc1， r4=kc0， r5=kb1， r6=kb0.（13）

在電路設(shè)計(jì)時(shí)，如果某個(gè)參數(shù)為負(fù)，則實(shí)現(xiàn)該參數(shù)的電流拷貝器應(yīng)該從積分器的另一極性輸出端進(jìn)行取樣.

圖3 開(kāi)關(guān)電流復(fù)二階節(jié)電路

Fig.3 SI complex second order section circuit

4 設(shè)計(jì)實(shí)例

4.1 高斯包絡(luò)逼近

根據(jù)Morlet復(fù)小波時(shí)域支撐區(qū)分布，通常在2.5～3之間選擇t0.若采用5階有理函數(shù)進(jìn)行高斯包絡(luò)逼近，即式（8）中的n=2，則式（10）是一個(gè)10維度的優(yōu)化問(wèn)題.當(dāng)ω0=5時(shí)，可定m=2，t0=2·2π/ω0=2.513 3，從而按照式（6）和（7）來(lái)計(jì)算復(fù)小波逼近函數(shù).類似地，若ω0=7，可定m=3，則t0=2.692 8；若ω0=9，定m=4，則t0=2.792 5，這樣就可以利用正弦和余弦的周期性來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算.不失一般性，這里以ω0=5為例說(shuō)明方法的具體實(shí)施流程.將相關(guān)參數(shù)代入模型（10），并采用混合粒子群算法[6] 進(jìn)行求解，獲得一組優(yōu)化參數(shù)，見(jiàn)表1.

采用本文方法，以及Padé法[5，12]和Maclaurin級(jí)數(shù)法[10-11]逼近的5階高斯包絡(luò)在時(shí)域和頻域的效果對(duì)比分別如圖4和圖5所示. 由圖可知，通過(guò)本文方法能有效逼近高斯包絡(luò)函數(shù)，且逼近效果優(yōu)于現(xiàn)有的兩種方法. 圖中，Maclaurin級(jí)數(shù)逼近是經(jīng)過(guò)極點(diǎn)平移處理后的結(jié)果，說(shuō)明該方法不能自然保證逼近有理式的穩(wěn)定性.事實(shí)上，Padé逼近法亦存在類似的穩(wěn)定性問(wèn)題，例如文獻(xiàn)[13]基于Padé法構(gòu)造了一個(gè)10階的Morlet實(shí)小波函數(shù)，其中有6個(gè)極點(diǎn)是不穩(wěn)定的.

4.2 基本復(fù)小波濾波器共極點(diǎn)逼近

將表1中的參數(shù)，以及ω0=5代入式（6）和（7），求得Morlet復(fù)小波基實(shí)部和虛部傳遞函數(shù)，分別為：

Hreal（s）=8.144s+7.783s2+1.911s+25.91+

-3.26s-58.68s2+2.157s+40.89+-3.26s+28.84s2+2.157s+14.83+

-0.776s+42.46s2+2.652s+45.24+-0.776s-23.49s2+2.652s+13.36； （16）

Himag（s）=40.72s2+1.911s+25.91+

8.752s-11.11s2+2.157s+40.89+-8.752s-21.49s2+2.157s+14.83+

-6.595s-13.86s2+2.652s+45.24+6.595s+6.101s2+2.652s+13.36 （17）

可見(jiàn)，逼近的實(shí)部和虛部函數(shù)均由5個(gè)基本二階節(jié)并聯(lián)組成，且具有相同的極點(diǎn).至此，實(shí)現(xiàn)了Morlet復(fù)小波濾波器的時(shí)頻域混合共極點(diǎn)有理逼近.

4.3 Morlet復(fù)小波變換開(kāi)關(guān)電流電路實(shí)現(xiàn)

基于圖3所示的開(kāi)關(guān)電流復(fù)二階節(jié)電路，可以綜合出Morlet復(fù)小波傳遞函數(shù)式（16）和（17）.按照式（13）進(jìn)行電路參數(shù)計(jì)算時(shí)，考慮Morlet復(fù)小波基頻率支撐域在0～2 Hz范圍內(nèi)，依照奈奎斯特采樣定理，定義采樣周期T=0.05 s.計(jì)算獲得5節(jié)電路的相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表3.表中參數(shù)是MOS管寬長(zhǎng)比歸一化‘1的相對(duì)值，在晶體管級(jí)電路設(shè)計(jì)時(shí)需要根據(jù)對(duì)應(yīng)的實(shí)際寬長(zhǎng)比進(jìn)行去歸一化.

將表3中的參數(shù)分別代入圖3所示的電路模塊，即可設(shè)計(jì)出基本的Morlet復(fù)小波變換電路.分析可知， 電路由5個(gè)復(fù)二階節(jié)模塊并聯(lián)組成，共包括64J基本偏置電流；需要精確調(diào)試39個(gè)MOS寬長(zhǎng)比參數(shù)，其中有15個(gè)參數(shù)是相同的，即差異參數(shù)為24個(gè)；需要兩相非重疊時(shí)鐘； 最終電路規(guī)模是含40個(gè)開(kāi)關(guān)（通常由單個(gè)MOS管實(shí)現(xiàn)）和113個(gè)MOS管（不含開(kāi)關(guān)管）.

4]和高斯包絡(luò)發(fā)生器的最簡(jiǎn)方案，實(shí)現(xiàn)電路的相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表4.共需要4個(gè)乘法器，其中2個(gè)分別完成實(shí)部和虛部電路的小波函數(shù)發(fā)生功能，另2個(gè)則分別完成實(shí)部和虛部輸入信號(hào)與小波函數(shù)的乘積運(yùn)算.此外，還需要3個(gè)積分器，根據(jù)小波變換原理，實(shí)部和虛部電路輸出端需要2個(gè)積分器， 剩余的1個(gè)積分器通過(guò)復(fù)制振蕩器輸出信號(hào)并完成正弦至余弦的轉(zhuǎn)換，作為實(shí)部電路的輸入.基于上述方案實(shí)現(xiàn)Morlet復(fù)小波變換電路，由9個(gè)電路模塊和78J基本偏置電流源組成.共有25個(gè)參數(shù)（其中差異參數(shù)16個(gè)）需要精確調(diào)試.電路需要4相時(shí)鐘系統(tǒng).最終實(shí)現(xiàn)電路含60個(gè)開(kāi)關(guān)和166個(gè)MOS管（不含開(kāi)關(guān)管）.

由此可見(jiàn)，與文獻(xiàn)[12]相比，本文基于共極點(diǎn)濾波器方案設(shè)計(jì)的Morlet復(fù)小波變換電路具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、功耗低和體積小等優(yōu)點(diǎn).

kHz（對(duì)應(yīng)小波基電路，尺度為a=1），采用開(kāi)關(guān)電流電路仿真軟件ASIZ[16]進(jìn)行功能仿真，獲得基本電路的沖激響應(yīng)波形如圖6所示.圖中，連續(xù)的實(shí)線表示理想波形，鋸齒狀曲線表示電路仿真輸出.分析可見(jiàn)，實(shí)部和虛部電路沖激響應(yīng)的波峰分別出現(xiàn)在2.52 ms和2.82 ms，大小分別為1.003 mA和0.946 mA，時(shí)域支撐區(qū)約為0～5.9 ms.對(duì)比時(shí)移2.513個(gè)時(shí)間單位的Morlet復(fù)小波的理想情況：實(shí)部與虛部波峰位置分別出現(xiàn)是2.513和2.81，幅值大小分別是1和0.95，時(shí)域支撐區(qū)約為0～6.可見(jiàn)，所設(shè)計(jì)的復(fù)小波電路的沖激響應(yīng)有效地逼近了Morlet復(fù)小波的理想波形.

根據(jù)開(kāi)關(guān)電流電路的特性，通過(guò)調(diào)節(jié)上述基本復(fù)小波電路的開(kāi)關(guān)時(shí)鐘頻率，可以獲得其他不同尺度下的小波函數(shù)，從而可實(shí)現(xiàn)不同尺度的小波變換.若電路開(kāi)關(guān)時(shí)鐘頻率按照二進(jìn)制比例增加，電路沖激響應(yīng)波形則相應(yīng)地按照二進(jìn)制比例壓縮，即可實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制小波（即a=2j（j∈Z））.例如，以20 kHz為基礎(chǔ)，針對(duì)上述電路分別設(shè)定開(kāi)關(guān)時(shí)鐘頻率為40 kHz和80 kHz，則相應(yīng)地實(shí)現(xiàn)了尺度為a=2-1和a=2-2的Morlet復(fù)小波變換功能，其沖激響應(yīng)波形分別如圖7（a）和（b）所示，時(shí)域支撐區(qū)分別處在（0，3 ms）和（0，1.5 ms）的范圍內(nèi)，分別是小波基時(shí)域?qū)挾龋?，6ms）的1/2和1/4.即時(shí)域支撐區(qū)寬度呈二進(jìn)制規(guī)律壓縮.

圖8為該復(fù)小波電路的頻域仿真結(jié)果.圖中，a=1，a=0.5和a=0.25曲線分別表示相應(yīng)尺度下的二進(jìn)制復(fù)小波電路的頻率響應(yīng).3種尺度下的中心頻率分別約為0.78 kHz，1.58 kHz和3.12 kHz，通帶寬度分別約為（0.6 kHz，30.96 kHz），（1.18 kHz，1.92 kHz）和（2.38 kHz，3.84 kHz），可見(jiàn)通帶寬度基本按照二進(jìn)制規(guī)律遞增.對(duì)比分析圖6～圖8可知，隨著尺度a的二進(jìn)制遞減，電路沖激響應(yīng)的時(shí)域?qū)挾劝炊M(jìn)制規(guī)律壓縮，而頻域?qū)挾葎t按二進(jìn)制規(guī)律擴(kuò)展.由此可見(jiàn)所設(shè)計(jì)的開(kāi)關(guān)電流Morlet復(fù)小波電路仿真結(jié)果與小波時(shí)頻特性相符.

5 結(jié) 論

本文提出了一種時(shí)頻域混合共極點(diǎn)逼近的開(kāi)關(guān)電流電路Morlet復(fù)小波變換方法.針對(duì)頻域逼近方法的不足，將Morlet復(fù)小波構(gòu)成部件（高斯包絡(luò)）進(jìn)行時(shí)域分解，并設(shè)計(jì)了高斯包絡(luò)的時(shí)域逼近優(yōu)化模型，采用優(yōu)化算法求得了一組逼近參數(shù).結(jié)合Morlet復(fù)小波函數(shù)特點(diǎn)，利用正弦與余弦信號(hào)的周期性，簡(jiǎn)化了時(shí)域逼近式的拉普拉斯變換.利用正弦信號(hào)及余弦信號(hào)與指數(shù)信號(hào)的乘積在頻域具有相同極點(diǎn)的特性，實(shí)現(xiàn)了Morlet復(fù)小波實(shí)部和虛部的共極點(diǎn)逼近.基于雙線性變換積分器設(shè)計(jì)了一種開(kāi)關(guān)電流復(fù)二階節(jié)基本電路，繼而綜合了基本Morlet復(fù)小波電路.通過(guò)調(diào)節(jié)電路開(kāi)關(guān)時(shí)鐘頻率獲得了不同尺度下的小波函數(shù).對(duì)比分析表明，本文逼近方法能有效提高高斯包絡(luò)的逼近精度，逼近效果明顯優(yōu)于現(xiàn)有的Padé逼近法和Maclaurin級(jí)數(shù)法，且能確保逼近式的穩(wěn)定性. 與現(xiàn)有時(shí)域設(shè)計(jì)方法相比，本文方法具有電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、功耗低和體積小等優(yōu)點(diǎn).電路仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的Morlet復(fù)小波變換電路具有逼近效果好、小波尺度可調(diào)諧的特點(diǎn).根據(jù)本文研究，可進(jìn)行晶體管級(jí)電路仿真和版圖設(shè)計(jì)，最終制成復(fù)小波變換芯片.

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