灰色理論在基線解算中的應用研究

吝志勇，藍悅明

(1.保定市城市設計院，河北 保定071000;2.武漢大學 測繪學院，湖北 武漢430079)

如何在盡可能短的時間內(nèi)，獲得盡可能高精度的結(jié)果，是GNSS 應用研究領域的熱點問題。目前的研究多是基于大樣本數(shù)據(jù)考慮的，對小樣本數(shù)據(jù)的情況考慮較少，而灰色系統(tǒng)理論的特色就是研究“小樣本”、“貧信息”的不確定性問題?；疑到y(tǒng)理論認為，盡管客觀系統(tǒng)的表象復雜，數(shù)據(jù)凌亂，但它們總有自身的整體功能，必然蘊藏某種內(nèi)在規(guī)律，關鍵是如何選擇適當?shù)姆椒ㄈネ诰蚝屠盟?］。

1 灰色理論序列算子構(gòu)造與數(shù)據(jù)重生成

1.1 序列算子

對于GNSS 測量而言，由于觀測過程中受到諸如與衛(wèi)星有關的誤差、信號傳播誤差、與接收機有關的誤差，以及其他誤差等的影響，相應的觀測值序列是一個沖擊擾動序列，要從沖擊擾動序列出發(fā)實現(xiàn)對真實行為序列系統(tǒng)變化規(guī)律的正確把握和認識，必須首先設法排除系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)所受到的沖擊波干擾，還數(shù)據(jù)以本來面目。設：

式(1)為系統(tǒng)真實行為序列，而觀測到的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為：

式中：ε=(ε1，ε2，…，εn)為沖擊擾動項，X為沖擊擾動序列。

設D為作用于X的算子，X經(jīng)算子D作用后所得序列記為：

其中，XD為一階算子作用序列。

序列算子的作用可以進行多次，相應地，有二階、三階算子作用序列。

1.2 實用緩沖算子的構(gòu)造

設原始觀測值序列為：

則當X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或震蕩序列時，D皆為弱化算子。

2 方程病態(tài)性及其改善

2.1 方程病態(tài)性討論

利用少數(shù)幾個歷元的觀測數(shù)據(jù)進行基線解算時，由誤差方程組成的法方程是一個病態(tài)方程［2-3］。由于法矩陣條件數(shù)較大，法矩陣求逆不穩(wěn)定，觀測值微小的變化會導致解不穩(wěn)定。

Gauss-Markov 模型為：

式中：A為系數(shù)矩陣;X為待求參數(shù)向量;L為觀測值;Δ 是觀測噪聲;P為相應觀測值的權(quán)陣。相應參數(shù)X的最小二乘解為：

其中：N=ATPA;W=ATPL。當法矩陣非奇異時，參數(shù)解存在且唯一;假設N、W有微小的擾動δN、δW，引起估計量有偏差δ，可表示為：

顯然，δN、δW對δ的影響與N-1密切相關。如果N的條件數(shù)比較大，當N、W有一個微小的變化時，參數(shù)解相應將產(chǎn)生較大的變化。

2.2 方程病態(tài)性改善

有偏估計中的嶺估計是克服方程病態(tài)性的常用方法，而嶺參數(shù)的選擇又是其中的關鍵和難點。根據(jù)TIKHONOV 正規(guī)化原理，對應式(5)嶺估計的估計準則為：

相應嶺估計的解為：

考慮到少數(shù)幾個歷元數(shù)據(jù)組成的法矩陣特征值較大，選取正規(guī)化矩陣R代替式(9)中的單位矩陣I，相應的方法稱為修正的TIKHONOV 正規(guī)化方法，估計準則為：)

經(jīng)大量實際算例研究證明，用L 曲線法選取正規(guī)化參數(shù)α =1 時效果最好，正規(guī)化矩陣R的選取方式有很多［4-7］，筆者采用如下的形式：

式中：j為組成法方程的歷元數(shù);I為3 ×3 的單位矩陣;β 為權(quán)比系數(shù)，可以根據(jù)待定點近似坐標的偏差和相位觀測值的精度比來確定，經(jīng)多個實例驗證，其取值范圍為10-6～10-4。于是，正規(guī)化后的參數(shù)解為：

與最小二乘中的法矩陣相比，式(12)中的法矩陣中增加了R項。該措施的實質(zhì)是在基線分量對應的部分附加微小的約束，并讓正規(guī)化矩陣隨著歷元數(shù)的變化而變化，正是由于R的參與，法矩陣的病態(tài)性得到抑制。

3 實例分析

灰色理論緩沖算子的引入可以減弱觀測數(shù)據(jù)中某些不確定性誤差的影響，改善觀測值的質(zhì)量。從定性分析的角度來看，利用緩沖處理后的數(shù)據(jù)進行參數(shù)解算應能取得較好的結(jié)果。為了體現(xiàn)小樣本數(shù)據(jù)的特點，實驗中均選取了5 個歷元的觀測值。觀測值選取時，盡量選在衛(wèi)星觀測信號連續(xù)且穩(wěn)定的時間段內(nèi)，以避免粗差或周跳等帶來的影響。實驗中，首先利用軟件TGO 對整個時段(1.5 h)內(nèi)的觀測值進行平差計算，作為待求基線解的真值。實驗中筆者設計了3 種不同的方案：

(1)利用原始觀測數(shù)據(jù)組成同步觀測值，建立單差、雙差模型，在雙差模式下求解模糊度浮動解，再根據(jù)模糊度浮動解及方差協(xié)方差陣，進行模糊度搜索與固定，最終求得基線參數(shù)的固定解。

(2)利用原始觀測值φi進行序列算子構(gòu)造并對原始觀測值序列φ 進行緩沖處理，得到新的觀測值序列φ'(虛擬觀測值序列)后再建立雙差模型進行參數(shù)求解計算，參數(shù)解算同實驗方案(1)。

(3)利用兩個不同測站的原始觀測值φi、φj，組成雙差觀測值φ▽Δ，然后用雙差觀測值來構(gòu)造緩沖序列算子，進行雙差觀測值序列的重生成，最后用新生成的雙差觀測值φ'▽Δ進行參數(shù)的求解計算。3 種實驗方案解算過程如圖1 所示。

圖1 基線解算處理流程圖

為了驗證上述3 種方案的解算效果，筆者選取了3 條不同長度的基線觀測數(shù)據(jù)進行解算，解算結(jié)果如表1 所示。

表1 基線解算結(jié)果對比表

從表1 可以看出：對于第一條基線來說，方案(2)、方案(3)的解算效果要優(yōu)于方案(1)，利用緩沖后的數(shù)據(jù)求得的結(jié)果更接近真值;對于后兩條基線來說，方案(2)的效果最好，解算的結(jié)果更接近真值。

4 結(jié)論

對于給定不同長度的基線觀測數(shù)據(jù)，尤其是短基線觀測數(shù)據(jù)來說，利用灰色理論緩沖算子對少數(shù)幾個歷元的觀測數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)重生成，然后再進行參數(shù)求解計算，其結(jié)果比數(shù)據(jù)直接解算的效果要好，說明灰色理論在短基線解算中具有一定的優(yōu)越性。

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