關(guān)于正弦起搏器控制耦合神經(jīng)元的去同步探索*

李美生 陳偲? 張紅慧

（1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京 100191）（2.北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191）

引言

近年來，耦合神經(jīng)元系統(tǒng)的同步成為國內(nèi)外學(xué)者們研究的焦點(diǎn)，出現(xiàn)了新興的神經(jīng)動力學(xué).神經(jīng)元的同步在大腦的信息處理過程中發(fā)揮了至關(guān)重要的作用［1］.然而并非所有的同步模式都是有利的.過度的同步往往會導(dǎo)致某類生理疾?。?-3］，例如帕金森氏癥、手的顫抖和癲癇病，這種同步稱為病態(tài)同步.腦深部刺激治療（腦起搏器）是近年來帕金森病治療中最大的突破.它通過植入體內(nèi)的腦起搏器發(fā)放弱電脈沖，刺激腦內(nèi)控制運(yùn)動的相關(guān)神經(jīng)核團(tuán)，抑制引起帕金森病癥狀的異常腦神經(jīng)信號從而消除了帕金森病的癥狀［4-6］.同步和不同步之間的轉(zhuǎn)化是為了適應(yīng)系統(tǒng)機(jī)能調(diào)節(jié)的形態(tài)改變［7］.因此，對神經(jīng)元間的同步和去同步化機(jī)制的研究都是很有意義的.

目前，神經(jīng)元耦合系統(tǒng)的同步問題的研究有著較豐富的結(jié)論［8-11］.而去同步方面的研究則相對較少，Popovych等［12-13］提出了利用非線性延遲反饋控制可以有效地消除神經(jīng)系統(tǒng)的病態(tài)同步，于海濤等［14］在該方法的基礎(chǔ)上采用差分反饋和直接反饋實現(xiàn)了離散神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的去同步化.于洪潔等［15］利用正弦延遲反饋法對單個HR神經(jīng)元模型的動力學(xué)特性進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)對HR神經(jīng)元進(jìn)行反控制的正弦延遲自適應(yīng)反饋法是有效的.目前的耦合神經(jīng)元去同步研究都沒有專門針對去同步的系統(tǒng)去同步性程度的分類和度量.

本文針對兩個全同HR神經(jīng)元的耦合系統(tǒng)，采用正弦起搏器控制其中一個神經(jīng)元的方式來達(dá)到系統(tǒng)的去同步化，對豐富的去同步效果進(jìn)行分類，并設(shè)計相應(yīng)的度量指標(biāo)，最后使用這些指標(biāo)對正弦起搏器控制下的神經(jīng)元耦合系統(tǒng)進(jìn)行進(jìn)一步的數(shù)值分析.

1 去同步系統(tǒng)模型

考慮兩個全同HR神經(jīng)元N1和N2通過雙向電突觸耦合，其中N1受到起搏器的控制，如圖1.本文中，起搏器對神經(jīng)元的控制是在神經(jīng)元的外界直流刺激上再加入一個較弱的正弦的交流信號.它們的動力學(xué)行為由以下微分方程描述：

其中，x代表神經(jīng)細(xì)胞的膜電位，y是與內(nèi)電流（例如Na+和K+）相關(guān)的恢復(fù)變量，z表示與Ca2+激活的K+離子電流相關(guān)的慢變調(diào)節(jié)電流，I表示外界直流激勵.a，b，c，d，r，s以及 χ都是常數(shù)，取值參考文獻(xiàn)［10］.C是神經(jīng)元N1和N2之間的耦合強(qiáng)度，C0是起搏器對神經(jīng)元N1的控制強(qiáng)度，T是起搏器控制神經(jīng)元N1加在外界直流刺激上面的正弦信號的周期.

圖1 帶有起搏器的兩個全同神經(jīng)元耦合系統(tǒng)示意圖Fig.1 The diagram for the two identical neurons coupled system with a pacemaker

令

得到如下誤差方程：

（e1，e2，e3）＝（0，0，0）不是此方程的零解，此時對于任意初始條件，兩個神經(jīng)元都不能完全同步.所以只要起搏器對神經(jīng)元的膜電位激勵不恒等于零，那么就對上述系統(tǒng)具有一定的去同步效果.

2 去同步類型

對于由（1）式定義的系統(tǒng)，不同的起搏器參數(shù)C0、T會使得神經(jīng)元N1和N2之間的去同步性出現(xiàn)很大差別.圖2顯示，逐漸增大起搏器耦合強(qiáng)度C0時，兩個神經(jīng)元的同步性受到了不同程度的破壞.當(dāng)系統(tǒng)的其他參數(shù)發(fā)生變化時，系統(tǒng)會出現(xiàn)更為多變的去同步情況.圖3中可見，正弦起搏器控制下的神經(jīng)元耦合系統(tǒng)出現(xiàn)了其中一個神經(jīng)元周期性出現(xiàn)靜息態(tài)、兩神經(jīng)元都轉(zhuǎn)遷成周期簇放電、其中一個神經(jīng)元轉(zhuǎn)遷成周期簇放電三種情況.

I＝1.4時的單個HR神經(jīng)元的放電模式應(yīng)該是周期峰放電，圖3（a）中的兩個耦合HR神經(jīng)元的放電模式在起搏器控制下仍然是周期峰放電，它們的峰峰間期（ISI）只有不大的個體差別，它們的平均峰峰間期仍然相等.可見這兩個神經(jīng)元還有較強(qiáng)的同步性，我們姑且把這種兩個神經(jīng)元的峰放電時間不完全相等，而平均峰峰間期相等且神經(jīng)元放電模式保持去同步以前的模式的去同步情況叫做“弱去同步”.對比圖3中的（a）和（b）兩種去同步效果，由于（b）情況中兩個神經(jīng)元放電的平均峰峰間期已經(jīng)不相等了，所以我們認(rèn)為：（b）情況中兩個神經(jīng)元的同步性得到了很大的削弱，去同步性遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于（a）情況.因此，我們將這種兩個神經(jīng)元放電的平均峰峰間期不相等，且神經(jīng)元放電模式保持去同步以前的模式的去同步情況叫做“強(qiáng)去同步”.圖2中的（c）情況中，神經(jīng)元N1的放電模式發(fā)生了轉(zhuǎn)遷，變成了周期簇放電，兩個神經(jīng)元之間的同步性也受到了很大程度的削弱.同樣，圖3中的三種情況中，神經(jīng)元的放電模式也都發(fā)生了不同程度的轉(zhuǎn)遷.于是，我們將這些神經(jīng)元的放電模式發(fā)生了改變的情況統(tǒng)稱為“破壞性去同步”.

圖2 I＝1.4、T＝180、C＝0.02時，系統(tǒng)（1）的膜電位時間歷程圖（a）C0＝0.01，（b）C0＝0.03，（c）C0＝0.05Fig.2 The time course of system（1），I＝1.4、T＝180、C＝0.02（a）C0＝0.01，（b）C0＝0.03，（c）C0＝0.05

3 去同步效果的度量

為了便于對上文中的去同步情況進(jìn)行更加細(xì)致的研究，我們對“弱去同步”和“強(qiáng)去同步”設(shè)計了一些指標(biāo)來量化去同步性的大小，由于“破壞性去同步”具有很強(qiáng)的多樣性，并且這種改變的神經(jīng)元原有放電模式的去同步是我們不愿意看到的，所以我們沒有對“破壞性去同步”設(shè)計度量指標(biāo).在系統(tǒng)“弱去同步”的前提下，我們利用神經(jīng)元的峰峰間期來構(gòu)造度量指標(biāo).這個指標(biāo)為Q1，定義如下，若兩個神經(jīng)元的峰峰間期分別是F1n、F2n（n＝1，2，3…），N→+∞，則：

圖3 I＝1.4、T＝180時，系統(tǒng)（1）的膜電位時間歷程圖（a）C＝0.02，C0＝0.02，（b）C＝0.08，C0＝0.08，（c）C＝0.04，C0＝0.3Fig.3 The time course of system（1），I＝1.4、T＝180（a）C＝0.02，C0＝0.02，（b）C＝0.08，C0＝0.08，（c）C＝0.04，C0＝0.3

在系統(tǒng)“強(qiáng)去同步”的時候，平均峰峰間期不相等，神經(jīng)元的放電次數(shù)也不等，因此不能使用Q1作為指標(biāo).由于“強(qiáng)去同步”具有神經(jīng)元的平均峰峰間期不相等的特點(diǎn)，所以以此構(gòu)造度量指標(biāo).平均峰峰間期的不同也就意味著放電次數(shù)不同，于是如下定義指標(biāo)Q2，令兩個神經(jīng)元在0～t時間內(nèi)的峰放電次數(shù)分別是B1（t）和B2（t），t→∞，則：

于是有：“弱去同步”時，Q1值越大則去同步性越大；“強(qiáng)去同步”時，Q2值越大則去同步性越大；Q1和Q2的值始終為非負(fù)數(shù).

我們現(xiàn)在對（1）式定義的系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，計算出不同參數(shù)下去同步度量指標(biāo)Q1和Q2的值.由于度量指標(biāo)定義中N和t的取值都是正無窮大，并且系統(tǒng)在非“破壞性去同步”的時候不會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，所以在一定誤差范圍內(nèi)，我們認(rèn)為系統(tǒng)進(jìn)入周期狀態(tài)，以此計算度量值.為了便于觀察，我們令“弱去同步”時，Q2＝-0.01；令“強(qiáng)去同步”時，Q1＝-0.02；令“破壞性去同步”時，Q1＝-0.03，Q2＝-0.03.

圖4 I＝1.4，T＝165時，系統(tǒng)（1）的度量指標(biāo)值Fig.4 The value of system（1）’smetric indexes，I＝1.4、T＝165

從圖4中可以看到，當(dāng)C＜0.016時，隨著C0增大，系統(tǒng)依次出現(xiàn)“弱去同步”、“強(qiáng)去同步”、“破壞性去同步”；當(dāng)C＞0.016時，隨著C0增大，系統(tǒng)的去同步程度直接從“弱去同步”變成“破壞性去同步”；而當(dāng)C＝0.016時，隨著C0增大，系統(tǒng)依次出現(xiàn)“弱”、“強(qiáng)”、“弱”、“破壞性”去同步.因此C＝0.016是T＝165的系統(tǒng)的去同步性態(tài)的一條明顯分隔線.其次，在0＜C＜0.026、0.014＜C0＜0.038的這一范圍內(nèi)，Q1和Q2對C變化的敏感性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于C0的敏感性，即此時Q1和Q2幾乎只受C影響.還可以看到，當(dāng)C0＞0.05時，無論C取何值，系統(tǒng)一定出現(xiàn)“破壞性去同步”.

由于I＝1.4時，單個HR神經(jīng)元的峰放電間期約為156，上面的仿真結(jié)果是起搏器周期T大于原神經(jīng)元放電周期的結(jié)果，因此我們又做了T小于156時的數(shù)值仿真，如圖5.可見，T＝150時：“弱去同步”有兩塊嚴(yán)格分離的區(qū)域，其中一塊“弱去同步”區(qū)域完全處于“破壞性去同步”的包圍中，形成孤島；仍然存在一個參數(shù)范圍，使得這個參數(shù)范圍內(nèi)中的指標(biāo)值對C變化的敏感性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于對C0的敏感性；系統(tǒng)不再具有一條明顯的去同步性態(tài)分隔線.

圖5 I＝1.4，T＝150時，系統(tǒng)（1）的度量指標(biāo)值Fig.5 The value of system（1）’smetric indexes，I＝1.4、T＝150

4 小結(jié)

正弦起搏器能有效控制神經(jīng)元去同步，本文通過用正弦起搏器刺激單個神經(jīng)元的方式對兩個全同HR神經(jīng)元耦合系統(tǒng)進(jìn)行了去同步探索，實現(xiàn)了豐富的去同步效果.仿真結(jié)果表明：系統(tǒng)（1）中的參數(shù)I＝1.4，T＝165時，起搏器耦合強(qiáng)度只要大于0.05就能破壞原神經(jīng)元的放電模式；一定參數(shù)范圍內(nèi)，去同步效果對神經(jīng)元耦合強(qiáng)度變化的敏感性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于正弦起搏器耦合強(qiáng)度；總能找到參數(shù)使得系統(tǒng)出現(xiàn)“破壞性去同步”.本文的結(jié)果對耦合神經(jīng)元的去同步研究具有參考價值.

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