正交異性復(fù)合材料板Ⅰ型三裂紋尖端場(chǎng)分析

王麗娟，張雪霞，韓桂花

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024）

正交異性復(fù)合材料板Ⅰ型三裂紋尖端場(chǎng)分析

王麗娟，張雪霞，韓桂花

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024）

研究了正交異性復(fù)合材料板三裂紋的平面問(wèn)題。通過(guò)復(fù)合材料斷裂中的力學(xué)模型，將此問(wèn)題歸結(jié)為一類偏微分方程的邊值問(wèn)題，構(gòu)造保角映射，將均勻分布三裂紋映射為復(fù)平面上的平行周期裂紋，通過(guò)引入適當(dāng)?shù)膚estergaard應(yīng)力函數(shù)，采用復(fù)變函數(shù)方法和待定系數(shù)法對(duì)復(fù)合材料Ⅰ型平行周期裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)進(jìn)行了力學(xué)分析。最后再利用該保角映射的逆變換，將平行周期裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)變換到原均勻分布三裂紋的應(yīng)力場(chǎng)，得到了遠(yuǎn)場(chǎng)受均勻分布載荷作用下的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的解析解。研究結(jié)果為結(jié)構(gòu)和材料的強(qiáng)度設(shè)計(jì)提供了有意義的參考。

正交異性板;均勻分布三裂紋;保角映射;westergaard應(yīng)力函數(shù);復(fù)變函數(shù)

近年來(lái)，學(xué)者對(duì)多裂紋尖端場(chǎng)問(wèn)題作了大量研究。20世紀(jì)80年代，Chen Y Z研究了無(wú)限板上多裂紋的奇異積分方程，計(jì)算得到了Gk(-k)值和Gk(k)值［1］。Huang J Y和So H確定了多裂紋的動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子［2］。到了20世紀(jì)90年代，Han X L和Wang Tzuchiang提出了對(duì)于張開型和閉合型多裂紋的一種普遍解法［3］。Wang L H和Atluri S N用Schwartz-Neumann交替的方法研究了在同一直線上混合邊界條件的多個(gè)裂縫問(wèn)題［4］。進(jìn)入21世紀(jì)，Hejazi A A采用錯(cuò)位技術(shù)研究了沖擊載荷下半平面的多裂紋問(wèn)題，得到了應(yīng)力強(qiáng)度因子［5］。Dong Q B研究了半平面下的多裂紋問(wèn)題，提出了一種優(yōu)化解決方案，得到了裂紋之間相互影響的關(guān)系［6］。目前，僅得到了理想模型和簡(jiǎn)單的邊界條件上的應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析解，因此，尋求更好地反應(yīng)實(shí)際裂紋分布的多裂紋尖端場(chǎng)的解析解顯得尤為重要。本文研究了三裂紋在遠(yuǎn)場(chǎng)均勻分布載荷作用下的應(yīng)力場(chǎng)問(wèn)題，得到了Ⅰ型三裂紋尖端附近的應(yīng)力強(qiáng)度因子和應(yīng)力場(chǎng)的解析表達(dá)式。所得結(jié)果對(duì)于復(fù)合材料斷裂理論研究具有重要意義。

圖2 周期平行裂紋Fig.2 Cycle parallel cracks

1 力學(xué)模型

Ⅰ型三裂紋問(wèn)題的力學(xué)模型:

設(shè)無(wú)限大線彈性正交異性纖維增強(qiáng)復(fù)合材料板，2個(gè)坐標(biāo)軸平行于正交異性體的材料彈性主方向，復(fù)合材料板上的裂紋長(zhǎng)是l，裂紋尖點(diǎn)距離坐標(biāo)原點(diǎn)分別是h和l+h的均勻分布三裂紋，在遠(yuǎn)場(chǎng)受均勻分布拉應(yīng)力σ作用，如圖1所示。

裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)問(wèn)題歸結(jié)為下列偏微分方程的邊值問(wèn)題:

圖1 三裂紋Fig.1 Three cracks

其中U為應(yīng)力函數(shù)，σ為應(yīng)力，b11，b12，b22，b66為彈性主方向的柔度系數(shù)。

2 Westgaard應(yīng)力函數(shù)

由文獻(xiàn)可知，構(gòu)造一個(gè)保角映射函數(shù)，將數(shù)學(xué)平面上的簡(jiǎn)單邊界保角映射到物理平面上包含三裂紋的無(wú)限大平面，是復(fù)變函數(shù)法求三裂紋問(wèn)題時(shí)的關(guān)鍵。為此，我們構(gòu)造如下保角映射函數(shù):

此映射將w(=ξ+iη)平面(物理平面)上帶均勻分布三裂紋的無(wú)限大平面(如圖1)保角映射到z(= x+iy)平面(數(shù)學(xué)平面)上的周期平行裂紋(如圖2所示)。

在z平面上選取Westergaard應(yīng)力函數(shù):

情形1:判別式△＞0時(shí)，將式(4)代入式(1)的邊界條件，得:

情形2:判別式△＜0時(shí)，將式(4)代入式(1)的邊界條件，得:

將式(5)，式(6)分別代入到式(1)中得到滿足控制方程和邊界條件的實(shí)值解析解U，從而偏微分方程邊值問(wèn)題(1)有解。

3 應(yīng)力強(qiáng)度因子

考慮到裂紋是周期裂紋，在每個(gè)裂紋的尖端附近，我們定義應(yīng)力強(qiáng)度因子:

4 應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)

由式(8)，在裂紋尖端附近有:

其中極徑r為任意點(diǎn)到距離它最近的裂紋尖點(diǎn)的距離。

對(duì)于△＞0時(shí)的正交各向異性復(fù)合材料，將式(5)、式(9)代入式(1)，以及應(yīng)力-應(yīng)變、應(yīng)變-位移關(guān)系可以得到裂紋面均勻分布?jí)簯?yīng)力作用下的三裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的解析表達(dá)式:

對(duì)于△＜0時(shí)的正交各向異性復(fù)合材料，將式(6)、式(9)代入式(1)，以及應(yīng)力-應(yīng)變、應(yīng)變-位移關(guān)系可以得到裂紋面均勻分布?jí)簯?yīng)力作用下的三裂紋尖端附近的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的解析表達(dá)式:

利用特征根關(guān)系式(5)和式(6)及式(11)和式(12)，上述△＞0和△＜0時(shí)的應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)公式可以統(tǒng)一利用極坐標(biāo)表示為:

5 結(jié)束語(yǔ)

主要研究正交異性復(fù)合材料板在遠(yuǎn)場(chǎng)受均勻分布拉應(yīng)力作用的Ⅰ型三裂紋尖端場(chǎng)問(wèn)題。利用保角映射，引入Westergaard應(yīng)力函數(shù)，利用復(fù)變函數(shù)方法和待定系數(shù)法，把力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為偏微分方程邊值問(wèn)題。借助于不同的邊界條件，解含有未知參數(shù)的方程組，并確定應(yīng)力函數(shù)。定義了三裂紋尖端處的應(yīng)力強(qiáng)度因子，推導(dǎo)出了正交各向異性復(fù)合材料板Ⅰ型三裂紋尖端附近由應(yīng)力強(qiáng)度因子表示的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的解析表達(dá)式。

［1］CHEN Y Z.A Procedure for regularizatton of singular integral equation of the multiple crack problem in an infinite plate［J］.International Journal of Fracture，1987，34:53-56.

［2］HUANG J Y，SO H.Determination of dynamic stress intensity factors of multiple cracks［J］.International Journal of Fracture，1988，36:187-198.

［3］HAN X L，WANG TZUCHIANG.A general method for solving the problem of both open and closed multiple cracks［J］.International Journal of Solids and Structures，2013，50:3166-3183.

［4］WANG L H，ATLURI S N.An implementation of the Schwartz-Neumann alternating method for collinear multiple cracks with mixed type of boundary conditions［J］.Computational Mechanics，1995，16:266-271.

［5］HEJAZI A A，AYATOLLAHI M，BAGHERI R，et al.Dislocation technique to obtain the dynamic stress intensity factors for multiple cracks in a half-plane under impact load［J］.Arch Appl Mech，2014，84:95-107.

［6］DONG Q B，ZHOU K.Elastohydrodynamic lubrication modeling for materials with mutiple cracks［J］.Acta Mech，2014，225: 3395-3408.

［7］楊維陽(yáng)，李俊林，張雪霞.復(fù)合材料斷裂復(fù)變方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2005.

Abstract:This paper studies the plane problems about three cracks of orthotropic composite materials.Plane fracture problems of composite materials can be converted into a class of boundary value problems of partial differential equation by fracture mechanics model of composite materials.It can be mapped to cracks parallel to the cycle on the complex plane by introducing the appropriate conformal mapping.The right westergaard stress function，together with the complex function method and the method of undetermined coefficients，is properly chosen to deduce the crack-tip stress on cycle of parallel cracks of orthotropic composite materials for modeⅠ.The parallel cycle uniform distribution of crack-tip stress field can be transformed into the original three of stress field of crack by using the inverse transformation of conformal mapping，far field of analytical solutions of stress field and displacement field was obtained under the uniformly distributed load.The results provides a meaningful reference to the strength design of structure and material.

Crack-Tip Stress Analysis on Three Cracks of Orthotropic Composite Materials for ModeⅠ

WANG Li-juan，ZHANG Xue-xia，HAN Gui-hua
(School of Applied Sciences，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)

orthotropic plate，evenly-distributed three crack，conformal mapping，westergaard stress function，complex function method.

O346.1;TB330.1

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2015.03.015

1673-2057(2015)03-0233-05

2014-12-19

太原科技大學(xué)博士啟動(dòng)資金(20122005);太原科技大學(xué)研究生科技創(chuàng)新項(xiàng)目(20125027)

王麗娟(1989-)，女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槌Ｎ⒎址匠碳捌鋸?fù)合材料斷裂復(fù)變方法。